3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√",错误的打"×"). (1)椭圆的长轴长是.( ) (2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为.( ) (3)设为椭圆的一个焦点,为椭圆上任一点,则的最大值为(为椭圆的半焦距).( ) 2.椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A． B． C． D． 3.请思考并回答下列问题: (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上吗? (2)椭圆上到其中心的距离最小与最大的点分别是哪些? (3)椭圆上到焦点的距离最大与最小的点分别是哪些?距离的最大值与最小值分别是多少? 二、知识点自测 知识点1 根据椭圆的方程研究其几何性质 1.(多选)已知椭圆,则下列结论正确的是( ) A．长轴长为 B．焦距为 C．焦点坐标为 D．离心率为 2.下列关于椭圆和椭圆的说法,正确的是( ) A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 3.求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标. 知识点2 求椭圆的标准方程 1.(1)焦点在轴上,短轴长为6,离心率为的椭圆的标准方程是　　　　. (2)已知椭圆的方程为,右焦点为,且离心率为,则椭圆的标准方程为　　　　. 2.已知椭圆的离心率为,且过点,则椭圆的标准方程为　　　　. 3.焦点在轴上且中心为原点的椭圆与椭圆的离心率相同,且在第一象限内公共点的横坐标为1,则椭圆的方程为　　　　. 知识点3 求椭圆的离心率 1.已知椭圆,是左顶点,是右焦点,是短轴的一个端点,若,则该椭圆的离心率为　　　　. 2.设椭圆,的离心率分别为.若,则( ) A． B． C． D． 3.椭圆的左顶点为,点均在上,且关于轴对称.若直线的斜率之积为,则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 三、课后练习 A组　夯实基础 1.若点在椭圆的内部,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 2.(多选)已知椭圆,则下列说法正确的是( ) A．的焦点坐标为 B．的长轴长为10 C．的短轴长为8 D．的一个顶点为 3.已知椭圆的离心率为,分别为的左、右顶点,为的上顶点.若,则的方程为( ) A． B． C． D． 4.已知分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上不存在点使,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A． B． C． D． 5.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点.若椭圆中心到的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 6.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为,则实数 　　　. 7.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率为,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆的方程为　　　　. 8.已知是椭圆上的一个动点,则的取值范围是　　　　. 9.已知椭圆,的上顶点为,两个焦点为,若中,,则椭圆的离心率是　　　　. 【答案】 【详解】设椭圆的焦距. 因为的上顶点为,,所以,即,所以. B组　能力提升 1.已知椭圆的离心率,则下列椭圆中不满足条件的为( ) A． B． C． D． 2.设是椭圆的两个焦点,若椭圆上任意一点都满足,则椭圆离心率的取值范围是( ) A． B． C． D． 3.(多选)椭圆上的一点到椭圆两焦点的距离的乘积为,当取最大值时,点的坐标不可能为( ) A．(3,0) B．(0,5) C．(-3,0) D．(0,-5) 4.与椭圆有相同的离心率,且长轴长与椭圆的长轴长相等的椭圆的标准方程为　　　　. 5.(新定义)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用"逼近法"得到了椭圆的面积公式.设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,则椭圆的面积公式为.若椭圆的焦点在轴上,离心率为,面积为,则椭圆的标准方程为　　　　. 6.已知椭圆,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,,则　　　　. 7.设椭圆的左、右焦点分别为,点满足,则椭圆的离心率为　　　　. 8.已知椭圆的离心率为,且椭圆经过点,是椭圆的左、右焦点. (1)求椭圆的方程; (2)若为椭圆上一点,,求的面积. C组 思考题 1.已知椭圆的离心率为,左、右顶点分别为,椭圆上有一动点(异于椭圆的左、右顶点),设直线的斜率分别为,求的值. 2.已知椭圆,是左顶点,是右焦点,是短轴的一个端点,若∠为锐角,则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 一、概念自检 1.判断正误(正确的打"√",错误的打"×"). (1)椭圆的长轴长是.(×) (2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为.(×) (3)设为椭圆的一个焦点,为椭圆上任一点,则的最大值为(为椭圆的半焦距).(√) 2.椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将椭圆方程化为标准方程为,则,故长轴长、短轴长、离心率依次是. 3.请思考并回答下列问题: (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上吗? 【答案】椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)椭圆上到其中心的距离最小与最大的点分别是哪些? 【答案】椭圆上到其中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到其中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (3)椭圆上到焦点的距离最大与最小的点分别是哪些?距离的最大值与最小值分别是多少? 【答案】椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,故距离的最大值为,最小值为. 二、知识点自测 知识点1 根据椭圆的方程研究其几何性质 1.(多选)已知椭圆,则下列结论正确的是( ) A．长轴长为 B．焦距为 C．焦点坐标为 D．离心率为 【答案】CD 【详解】将椭圆方程化为标准方程为,可得,所以长轴长为,短轴长为,焦距为,焦点坐标为,离心率.故选CD. 2.下列关于椭圆和椭圆的说法,正确的是( ) A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【答案】B 【详解】由题意知,椭圆的焦点在轴上,椭圆的焦点在轴上.对于椭圆,焦距为;对于椭圆,焦距为.故选B. 3.求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标. 【答案】见详解 【详解】将方程变形为,得,所以. 故椭圆的长轴长和短轴长分别为和,焦点坐标为,顶点坐标为. 知识点2 求椭圆的标准方程 1.(1)焦点在轴上,短轴长为6,离心率为的椭圆的标准方程是　　　　. (2)已知椭圆的方程为,右焦点为,且离心率为,则椭圆的标准方程为　　　　. 【答案】(1)　(2) 【详解】(1)由题意,得,,,解得.又椭圆的焦点在轴上,故此椭圆的标准方程是. (2)由题意,得椭圆的半焦距,且,所以.又,所以椭圆的标准方程为. 2.已知椭圆的离心率为,且过点,则椭圆的标准方程为　　　　. 【答案】 【详解】由题意可得,,,解得,,故椭圆的标准方程为. 3.焦点在轴上且中心为原点的椭圆与椭圆的离心率相同,且在第一象限内公共点的横坐标为1,则椭圆的方程为　　　　. 【答案】 【详解】在椭圆中,,,故椭圆的离心率为,即. 对于,令得,故在第一象限内公共点的坐标为. 设,将代入可得,又,即,联立解得,. 故椭圆的方程为. 知识点3 求椭圆的离心率 1.已知椭圆,是左顶点,是右焦点,是短轴的一个端点,若,则该椭圆的离心率为　　　　. 【答案】 【详解】如图所示,由题意知,,,,. 因为,由勾股定理得,即. 所以 又,所以,两边同时除以,得,即,解得或(舍去). 2.设椭圆,的离心率分别为.若,则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由,得,因此.即,解得,又,所以. 3.椭圆的左顶点为,点均在上,且关于轴对称.若直线的斜率之积为,则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设,则,又,则由,得. 由,得, 所以,所以椭圆的离心率.故选A. 三、课后练习 A组　夯实基础 1.若点在椭圆的内部,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知,解得,即.故选A. 2.(多选)已知椭圆,则下列说法正确的是( ) A．的焦点坐标为 B．的长轴长为10 C．的短轴长为8 D．的一个顶点为 【答案】BC 【详解】由椭圆,可得,则. 对于A,椭圆的焦点坐标为,所以A错误;对于B,椭圆的长轴长为,所以B正确;对于C,椭圆的短轴长为,所以C正确;对于D,顶点坐标为和,所以D错误.故选BC. 3.已知椭圆的离心率为,分别为的左、右顶点,为的上顶点.若,则的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为离心率,解得,所以. 因为分别为的左、右顶点,为上顶点,则,所以,. 因为,所以. 将代入,解得,,故椭圆的方程为.故选A. 4.已知分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上不存在点使,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆上不存在点使,即恒成立,当点在短轴端点时,最大,即,即.故选D. 5.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点.若椭圆中心到的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图,,,,. 在中,,即,解得,故椭圆的离心率.故选C. 6.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为,则实数 　　　. 【答案】 【详解】因为椭圆的焦点在轴上,所以,则,解得,即. 7.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率为,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆的方程为　　　　. 【答案】 【详解】由题意,知,,所以,,所以,故椭圆的方程为. 8.已知是椭圆上的一个动点,则的取值范围是　　　　. 【答案】[1,4] 【详解】因为是椭圆上的一个动点,所以,即,所以. 又因为,所以,所以.故的取值范围是[1,4]. 9.已知椭圆,的上顶点为,两个焦点为,若中,,则椭圆的离心率是　　　　. 【答案】 【详解】设椭圆的焦距. 因为的上顶点为,,所以,即,所以. 又,所以. B组　能力提升 1.已知椭圆的离心率,则下列椭圆中不满足条件的为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A,,则,即,故,满足条件; 选项B,,则,即,故,满足条件; 选项C,,则,即,故,满足条件; 选项D,,则,即,故,不满足条件.故选D. 2.设是椭圆的两个焦点,若椭圆上任意一点都满足,则椭圆离心率的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知,当点位于短轴端点时,最大,此时在中,由余弦定理的推论得.要使恒成立,只需,所以,即.又因为,所以.故选B. 3.(多选)椭圆上的一点到椭圆两焦点的距离的乘积为,当取最大值时,点的坐标不可能为( ) A．(3,0) B．(0,5) C．(-3,0) D．(0,-5) 【答案】BD 【详解】记椭圆的两个焦点分别为,有, 则知,当且仅当,即点位于椭圆的短轴的端点处时,取得最大值25.所以点的坐标为或.故选BD. 4.与椭圆有相同的离心率,且长轴长与椭圆的长轴长相等的椭圆的标准方程为　　　　. 【答案】或 【详解】由题意得,椭圆的离心率为,椭圆的长轴长为, 所以,,解得,,故. 又因为所求椭圆的焦点既可在轴上,也可在轴上,所以其标准方程为或. 5.(新定义)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用"逼近法"得到了椭圆的面积公式.设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,则椭圆的面积公式为.若椭圆的焦点在轴上,离心率为,面积为,则椭圆的标准方程为　　　　. 【答案】 【详解】由题意可设椭圆的方程为. 由离心率为,即,得. 因为椭圆的面积为,所以由,得, 所以,,,解得,,. 所以椭圆的标准方程为. 6.已知椭圆,分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,,则　　　　. 【答案】 【详解】(方法一)由焦半径公式,设,则,, 所以,解得,所以. (方法二)易知,||=.由焦点三角形面积公式,得. 又,所以. 又因为,所以,所以. 7.设椭圆的左、右焦点分别为,点满足,则椭圆的离心率为　　　　. 【答案】 【详解】易知.因为,则, 整理得,即,即. 两边同除以,得,即,所以(舍)或. 所以椭圆的离心率. 8.已知椭圆的离心率为,且椭圆经过点,是椭圆的左、右焦点. (1)求椭圆的方程; (2)若为椭圆上一点,,求的面积. 【答案】（1），（2） 【详解】 (1)由题意可得,,,解得,,. 所以椭圆的方程为. (2)在中,,. 设,,则, 由勾股定理得. 将代入,得,即,解得. 所以. C组 思考题 1.已知椭圆的离心率为,左、右顶点分别为,椭圆上有一动点(异于椭圆的左、右顶点),设直线的斜率分别为,求的值. 【答案】. 【详解】因为点为椭圆上的动点,所以设. 又,所以=-=-. 2.已知椭圆,是左顶点,是右焦点,是短轴的一个端点,若∠为锐角,则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　. 【答案】 【详解】如图所示,由题意知,,,,. 因为,由勾股定理得,即. 所以 又,所以,两边同时除以,得,即,解得,又. 所以 学科网（北京）股份有限公司 $