3.1.2 第1课时椭圆的简单几何性质同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

新课标高中数学分层梯度题型精练 第三章 圆锥曲线的方程 椭圆 第1课时椭圆的简单几何性质【解析】 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第三章 圆锥曲线的方程 分层梯度题型精练 一、单选题（共 题：中等题型 题、提高题型 题、近三年高考题型 题、创新题型 题） .（中等题型） 椭圆 的离心率为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】由 知 的分母较大，焦点在 轴上，、、，。 所以 。 故选 A。 .（中等题型） 椭圆 的焦点坐标为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】、、，； 的分母较大，焦点在 轴上，焦点坐标为 。 故选 A。 .（提高题型） 已知椭圆 的离心率为 ，则实数 的值为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】离心率 ，两边平方得 ，解得 。 （此时 、，椭圆为 。） 故选 A。 .（提高题型） 椭圆 的离心率与焦距分别为（　） A． 与 　　 B． 与 C． 与 　　 D． 与 【答案】A 【解析】，，焦距 ；。 故选 A。 .（提高题型） 椭圆 与椭圆 的扁圆程度相比较（　） A． 更扁　　 B． 更扁 C．一样扁　　 D．无法比较 【答案】A 【解析】 中 、，； 中 、，。 因为 ，所以 更扁。 故选 A。 .（近三年高考题型） 【6· 新高考变式】已知 、 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】B 【解析】由定义 （定值），所以 当且仅当 （ 在短轴端点处）时取等号。 故选 B。 .（近三年高考题型） 【 · 全国二卷 · () 同源考法】已知椭圆的离心率为 ，长轴长为 ，则它的短轴长为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】由长轴长 得 ；由 得 ；，短轴长 。 故选 A。 .（创新题型） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，则在该椭圆上，使得 为等边三角形的点 （　） A．有且只有 个，且恰为短轴的两个端点 B．有且只有 个 C．不存在 D．有无数个 【答案】A 【解析】、、，，。 若 为等边三角形，则点 必在 的垂直平分线（即 轴）上，且高为 。 椭圆在 轴上的点只有短轴端点 ，而 ，恰好构成等边三角形。 所以这样的点 有且只有 个，且恰为短轴的两个端点。 故选 A。 二、多选题（共 题：高考题型） .（高考题型） 已知椭圆 ，则下列说法正确的是（　） A．椭圆 的四个顶点坐标为 、 B．椭圆 的离心率为 C．椭圆 上任意一点到两焦点的距离之和为 D．椭圆 上的点的横坐标的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 、、、。 · A：顶点为 、，正确； · B：，正确； · C：由定义，距离之和为 ，正确； · D：横坐标范围是 ，错误（ 是纵坐标的界）。 故选 ABC。 .（高考题型） 已知椭圆 的离心率为 ，则下列说法正确的是（　） A． B．若半焦距 ，则 C．若长轴长为 ，则 D．此时椭圆 是一个圆 【答案】AB C 【解析】由 ： · A：，所以 ，正确； · B：， 时 ，正确； · C：长轴长 即 ，，正确； · D：，不是圆（圆对应 ），错误。 故选 ABC。 三、填空题（共 题：中等题型 题、提高题型 题） .（中等题型） 椭圆 的离心率为 ． 【答案】 【解析】把 化为标准形式 ，、、。 焦点在 轴上，。 .（提高题型） 椭圆 的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为 ． 【答案】2 【解析】通径长 。 （或直接计算：，把 代入方程得 ，，弦长为 。） 四、解答题（共 题：中等题型 题、近三年高考题型 题、创新题型 题） .（中等题型） 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． 【解析】把方程化为标准形式 ，所以 、、。 长轴长 ，短轴长 ，离心率 ； 焦点坐标为 、；顶点坐标为 、、、。 点评：注意本题焦点在 轴上（ 的分母大），、 的位置要与「焦点在 轴」的情形区分开。 .（中等题型） 已知椭圆的焦点在 轴上，焦距为 ，短轴长为 ，求它的标准方程与离心率． 【解析】由焦距为 得 ，；由短轴长为 得 ，。 所以 ，。 焦点在 轴上，标准方程为 离心率 。 .（近三年高考题型） 【 · 全国二卷 · () 同源考法】已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 。 （）求椭圆 的方程； （）求椭圆 的焦点坐标、四个顶点的坐标与通径的长． 【解析】（）由长轴长为 得 ，；由 得 。 所以 ，椭圆 的方程为 （）焦点坐标为 、；四个顶点坐标为 、、、； 通径长 。 .（近三年高考题型） 【5· 新高考题型】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆 上。 （）求 的取值范围； （）求 的最大值，并求出取最大值时点 的坐标． 【解析】（）由椭圆的几何性质，椭圆上的点到焦点 的距离满足 由方程知 、，所以 的取值范围是 。 （最小值 在左顶点处取得——点 与 同侧且紧邻；最大值 在右顶点处取得。） （）由定义，（定值）。由基本不等式， 当且仅当 时取等号，此时点 在短轴端点 或 处。 所以 的最大值为 ，取最大值时点 的坐标为 或 。 点评：第()问用「焦半径范围」，第()问用「定义＋基本不等式」，取等位置都落在顶点或短轴端点上——椭圆的最值问题几乎总在顶点、焦点处取得，先想特殊位置再作代数验证。 .（创新题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · 同源考法】把圆 上所有点的横坐标保持不变、纵坐标压缩为原来的 倍（），得到曲线 。 （）当 时，求曲线 的方程与离心率； （）当 从 逐渐减小到 时，曲线 的形状如何变化？离心率 与 满足怎样的关系？由此说明「圆可以看作特殊的椭圆」． 【解析】（）设圆上一点 压缩后对应曲线 上的点 ，则 ，，即 ，。 代入 ，得 ，即 所以 、、，离心率 （）一般地，压缩后曲线 的方程为 其中 、、，离心率 当 从 逐渐减小到 时： 时曲线是圆（，两焦点重合于圆心）； 时曲线是椭圆，且 越小， 越大，椭圆越扁； 时 ，椭圆压得极扁，趋于一条线段。 因为圆恰好是 （即 、、两焦点重合）时的特殊情形，所以圆可以看作两焦点重合、离心率为 的特殊椭圆。 点评：本题是「伸缩变换＋离心率」的探究型创新题：从特殊值 到一般比例 ，再到极限讨论，完整走了一遍「特殊—一般—极限」的探究路径；结论 与公式 完全一致（此处 ），体现了公式的普适性。 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学分层梯度题型精练 第三章 圆锥曲线的方程 椭圆 第1课时椭圆的简单几何性质 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第三章 圆锥曲线的方程 分层梯度题型精练 一、单选题（共 题：中等题型 题、提高题型 题、近三年高考题型 题、创新题型 题） .（中等题型） 椭圆 的离心率为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（中等题型） 椭圆 的焦点坐标为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 已知椭圆 的离心率为 ，则实数 的值为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 椭圆 的离心率与焦距分别为（　） A． 与 　　 B． 与 C． 与 　　 D． 与 .（提高题型） 椭圆 与椭圆 的扁圆程度相比较（　） A． 更扁　　 B． 更扁 C．一样扁　　 D．无法比较 .（近三年高考题型） 【6· 新高考变式】已知 、 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（近三年高考题型） 【 · 全国二卷 · () 同源考法】已知椭圆的离心率为 ，长轴长为 ，则它的短轴长为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（创新题型） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，则在该椭圆上，使得 为等边三角形的点 （　） A．有且只有 个，且恰为短轴的两个端点 B．有且只有 个 C．不存在 D．有无数个 二、多选题（共 题：高考题型） .（高考题型） 已知椭圆 ，则下列说法正确的是（　） A．椭圆 的四个顶点坐标为 、 B．椭圆 的离心率为 C．椭圆 上任意一点到两焦点的距离之和为 D．椭圆 上的点的横坐标的取值范围是 .（高考题型） 已知椭圆 的离心率为 ，则下列说法正确的是（　） A． B．若半焦距 ，则 C．若长轴长为 ，则 D．此时椭圆 是一个圆 三、填空题（共 题：中等题型 题、提高题型 题） .（中等题型） 椭圆 的离心率为 ． .（提高题型） 椭圆 的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为 ． 四、解答题（共 题：中等题型 题、近三年高考题型 题、创新题型 题） .（中等题型） 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标． .（中等题型） 已知椭圆的焦点在 轴上，焦距为 ，短轴长为 ，求它的标准方程与离心率． .（近三年高考题型） 【 · 全国二卷 · () 同源考法】已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 。 （）求椭圆 的方程； （）求椭圆 的焦点坐标、四个顶点的坐标与通径的长． .（近三年高考题型） 【5· 新高考题型】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆 上。 （）求 的取值范围； （）求 的最大值，并求出取最大值时点 的坐标． .（创新题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · 同源考法】把圆 上所有点的横坐标保持不变、纵坐标压缩为原来的 倍（），得到曲线 。 （）当 时，求曲线 的方程与离心率； （）当 从 逐渐减小到 时，曲线 的形状如何变化？离心率 与 满足怎样的关系？由此说明「圆可以看作特殊的椭圆」． 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $