精品解析：甘肃平凉市静宁县文萃中学2027届高三上学期第二次月考数学试题

文萃中学2026—2027学年度高三第二次月考数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：集合，函数，导数，三角函数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元一次不等式求出集合，再求出两集合的交集，最后求交集在实数集上的补集. 【详解】，解得， 所以， 所以， 所以． 2. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. 14 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的概念，可得结果. 【详解】由平均变化率定义得. 故选：C. 3. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，可得弧长、半径和圆心角的关系，结合面积公式，即可得答案. 【详解】设扇形的半径为r，弧长为l， 则，解得， 所以. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得， 又由对数函数的性质，可得， 所以，即． 故选：D． 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】因为，当且仅当时取等， 所以，所以“”能推出“”， 取，满足，但， “”不能推出“”, 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用公式降次变形，进而化简求值代入计算。 【详解】因为， 即，即， 所以. 7. 已知函数，若在R上有2个零点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据时，一定有一个零点，故只需在时有一个零点即可，列出不等式求解即可. 【详解】当时，有1个零点， 则当时，只有一个零点， 即方程在时有一个解，即方程在时有一个解， 因为函数为增函数，且当时，，则，即. 故选：A. 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数图像性质可得单调区间长度小于等于半周期，即可得，再利用整体代换法即可求得， 取即可得出结果. 【详解】函数的最小正周期， 所以，即． 当时，， 依题意知，， 解得，又 ∴当时成立，． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中有5个元素 D. 集合有个子集 【答案】AD 【解析】 【分析】先解不等式求出集合，再利用集合的表示方法、元素与集合的关系、集合间的关系及集合中元素的个数，逐一分析判断各选项． 【详解】， 选项A：，，故A正确； 选项B：，，故B错误； 选项C：，集合中有4个元素，故C错误； 选项D：中有4个元素，有个子集，故D正确． 故选：． 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】由奇函数的定义可求解A、B；用特值法可判断C；分段求解不等式可判断D. 【详解】，故A错误； 当时，，所以，故B正确； 因为，，又，故C错误； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，所以不等式的解集为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求最值，结合已知可得，可判断A；利用单调性可判断BC；将目标不等式转化为，构造函数，利用导数求最值可判断D. 【详解】对A，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以当时取得最大值，解得，A正确； 对B，由上可知，在上单调递增，在单调递减， 因为，所以，B错误； 对C，因为，所以，所以，C正确； 对D，当时，，不等式成立， 当时，， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得最大值， 综上，当时，不等式成立，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知偶函数，则______． 【答案】3 【解析】 【详解】因为是偶函数，所以， 即， 所以，即， 把代入得 . 13. 设，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】借助两角差的正切函数公式化简并计算可得，然后利用正切函数定义即可得解. 【详解】， 整理得， 因为，所以，所以， 则. 故答案为：. 14. 已知函数在处有极大值，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，由求得值，然后对所得结果加以检验即可． 【详解】由已知， 可得， 令，解得或， 由可得，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 不是极大值点，舍去； 由可得，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以是函数的极大值点． 综上． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并给予证明； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） 由题意知， 解得，即函数的定义域为， 又，所以函数是奇函数； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性定义判断即可； （2）根据函数单调性列不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，即， 又函数在上单调递增， 所以，又， 解得，即不等式的解集为． 16. （1）设曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）求得，得到，根据题意，列出方程，即可求解； （2）求得，得到，得出切线方程为，联立方程组，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】解：（1）由函数，可得，当时，， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得； （2）由函数，可得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线与曲线只有一个公共点， 联立方程组，整理得， 当时，可得，解得，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的值为或． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）求函数在区间上的单调递增区间． 【答案】（1）最小正周期，对称中心坐标 （2）和 【解析】 【分析】（1）由正弦二倍角公式、余弦二倍角公式和辅助角公式化简得到，再由周期公式和即可求解； （2）由求解即可. 【小问1详解】 ， 的最小正周期， 令，解得， 所以的对称中心的坐标为； 【小问2详解】 令， 解得， 又 取，得， 令，得， 所以在区间上的单调递增区间为和. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，. 【答案】（1） 若时，在上单调递减； 若时，在上单调递减，在上单调递增； 若时，在上单调递减，在上单调递增； （2） 若，由（1）可得，在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上有最大值，只需证明即可. 令，则， 当时，，所以在区间上单调递减， 由于，所以，即得证， 所以若，当时，. 【解析】 【分析】（1）求导可得的解析式，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，分析即可得答案. （2）由（1）可得的单调性和最大值，只需证即可，令，利用导数判断的单调性，分析即可得证. 【小问1详解】 由题意， ①若时，恒成立，则在上单调递减； ②若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； ③若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 19. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）证明如下; 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 要证，即证， 只需证明，即证， 令，则需证， 令， 求导， 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，所以， 所以， ∴. 【解析】 【分析】（1）求导，令，解得，进而可求得极小值； （2）令，求导，利用分类讨论求得的取值范围； （3）利用已知条件求得，利用分析法可知需证，利用换元法，进而构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时，，求导得， 令，解得， 当时，，当时，， 所以时，取得极小值， 极小值为，无极大值； 【小问2详解】 由，可得， 令，则， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以， 当时，所以， 函数在单调递增，则， 所以不等式恒成立， 当时， ， 所以函数在单调递增，， 所以不等式恒成立， 当时，令，， 令，， 存在，使得，在，，则在上单调递减，， ，，则在上单调递减，， 即在，，则在上单调递减， 又，故不等式不恒成立， 综上所述：的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文萃中学2026—2027学年度高三第二次月考数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：集合，函数，导数，三角函数. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. 14 C. 28 D. 56 3. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在R上有2个零点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 中有5个元素 D. 集合有个子集 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 11. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知偶函数，则______． 13. 设，若，则______. 14. 已知函数在处有极大值，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并给予证明； （2）求不等式的解集． 16. （1）设曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值； （2）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求a的值． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及对称中心坐标； （2）求函数在区间上的单调递增区间． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，. 19. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $