精品解析：甘肃省部分学校2026-2027学年高三上学期10月诊断考试数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，再把所得范围与对比，用集合的包含关系判断条件类型. 【详解】由得，解得或. 因为为或的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系求解. 【详解】由题可知， 所以， 解得. 4. 函数的极值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导并令导数为解出，再通过判断该点两侧导数符号确定其为极小值 【详解】函数的定义域为， 求导得：， 令，即， 因为对任意实数，都有，所以，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以，当时，函数取得极小值,即函数的极值点为. 5. 若实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件等式利用指数幂的运算得，代入中结合二次函数的性质求最小值. 【详解】实数，满足，即， 设，则有，即， 可得，解得，即，所以， ，当时，有最小值. 6. 已知，分别是定义在上的奇函数、偶函数，且，均在上单调递增，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以， 定义域为R关于原点对称，所以函数为偶函数，其图象关于轴成轴对称. 设，因为，均在上单调递增， 且是定义在上的奇函数，所以. 所以，所以， 所以在上单调递增. 只有选项B符合要求. 7. 如图，某测绘小组为了测量一座电视塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，两点相距，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 200 m B. 210 m C. 220 m D. 230 m 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由正弦定理可得，再利用点测得塔顶的仰角为，可求解的值. 【详解】在中，，由正弦定理得， 则． 因为在点A测得塔顶P的仰角为，所以且， 又，从而． 8. 如图，当光线从介质δ射入介质ε时，光线会发生折射，入射光线与法线l的夹角为入射角，折射光线与法线l的夹角为折射角．物理学家斯涅耳发现，介质δ和介质ε固定不变的情况下，入射角的正弦值与折射角的正弦值始终成正比．当入射角为α时，折射角为β，其中，若将入射角变为2α，设此时的折射角为θ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为介质δ和介质ε固定不变的情况下，入射角的正弦值与折射角的正弦值始终成正比，所以设比例系数为， 所以，解得， 因为， 所以， 所以， 因为，由正弦函数的单调性可得， 又，即，即， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. 的虚部为3 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】，则的虚部为3，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 10. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上的最小值为 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据图象的平移变换，得到的解析式，可得选项A错误；再根据正弦函数的图象性质，可知选项B、C正确；根据函数的周期性，先求得、，进而可判断选项D正确. 【详解】对于A选项，函数的图象向左平移个单位长度，可得，故A错误； 对于B选项，当时，可得， 可知当时，取得最小值，即，因此在上的最小值为，故B正确； 对于C选项，因为，令（），解得（）， 取时，可得，因此点是的对称中心，故C正确； 对于D选项，由，可得，则，， 所以，所以，故D正确. 综上所述，选项BCD正确. 11. 若直线与曲线、均相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分别设出直线与两曲线的切点，利用导数的几何意义写出两切线方程；由两切线重合，对比斜率和截距建立方程组，整体代换求出的值，再利用求出的二次函数范围，即可判断各选项的正误. 【详解】设直线与曲线切于点，与曲线（即 ，）切于点， 对求导得，所以在点处的切线方程为：，即， 对求导得，所以在点处的切线方程为：，即， 因为这两条切线是同一直线，对比系数可得：①，②， 由①得，代入②得； 两边同乘得：， 所以，故A错误，B正确； ， 因为，由①知； 又因为，由②知，即，所以， 因此，从而，故C错误，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得. 所以，则. 所以，则. 13. 在平行四边形中，，，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】结合向量线性运算的几何意义，用表示出向量，即可求出的值，代入求值即可. 【详解】平行四边形中，，则有， 由，， ， 又，所以，. 14. 的内角，，的对边分别为，，，的面积为．已知，，则_________，周长的最大值为_________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】由余弦定理，， 又，所以， 又，所以， 又，所以，所以. 因为，所以， 所以，所以（当且仅当时取等号）. 所以周长的最大值为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数的图象经过点，函数． （1）求的解析式； （2）证明：存在唯一的零点，且． 【答案】（1）， （2）易得函数在上单调递增， 函数在上单调递减， 故在上单调递增． 因为，， 所以存在唯一的零点，且． 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的概念，利用待定系数法得出，即可得； （2）根据单调性，结合零点存在定理即可得结果. 【小问1详解】 设，则， 解得，则， 则，. 【小问2详解】 略 16. 已知向量，． （1）若，，三点共线，求的值． （2）证明：对任意的，与均不垂直． （3）求与的夹角的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：． 假设，则， 所以，整理得． 因为，所以该方程无解，所以假设不成立，则对任意的，与均不垂直． （3） 【解析】 【分析】（1）由三点共线得，再由向量共线的坐标表示可得答案； （2）利用向量垂直的坐标表示可得答案； （3）利用向量夹角坐标公式计算可得答案. 【小问1详解】 因为，，三点共线，所以， 所以，解得； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ． 因为， 所以，则， 所以． 又，所以， 即与的夹角的取值范围是． 17. 在锐角中，，且，，． （1）求； （2）若是的中点，证明：． 【答案】（1） （2）设，，所对的边分别为，，，由（1）可得，， 则，． 因为是的中点，所以， 则． 由，得，则， 则， 则，即. 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角的正切关系得到，利用两角和的正切展开式和，化简得到，因为，，且，所以，，即可得到； （2）利用向量的运算得到，则，由正弦定理得到，则，则，即. 【小问1详解】 因为，所以． 又，且是锐角三角形，所以， 则，即，． 因为，，且，所以，， 则． 【小问2详解】 略 18. 已知函数，． （1）求的最小正周期和值域； （2）若在上的最大值为，求的最小值； （3）若在上的图象与直线的交点个数为奇数，求的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，值域为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简解析式，由的正负分类讨论得解析式，可得的最小正周期和值域； （2）依题意，在上的最大值为或，代入解析式求的取值范围得最小值； （3）由，可得或，，结合函数图象和周期性，求的取值范围． 【小问1详解】 ． 当，，即，时， ，则． 当，，即，时， ，则． 故 可得的最小正周期为，值域为 【小问2详解】 （方法一）由的图象可知，若，则在上的最大值为2，不符合题意． 若，则在上的最大值为或， 若在上的最大值为，则，得， 则由的图象可得，，且，得． 若在上的最大值为，则，得， 则由的图象可得，，，且，，得 ，． 因为，所以的最小值为． （方法二）由，得． 因为，所以，． 又在上的最大值为，所以的最小值满足， 解得的最小值为． 【小问3详解】 由，可得，得， 则或，， 解得或，． 结合的图象可知，当，时，在上的图象与直线的交点个数为0，不符合条件； 当，时，在上的图象与直线的交点个数为奇数，符合条件； 当，时，在上的图象与直线的交点个数为偶数，不符合条件． 综上所述，的取值范围为． 19. 已知函数． （1）求的最大值； （2）若，，求的取值范围； （3）记函数的零点分别为和，证明：． 【答案】（1）0 （2） （3）不妨令，则由（1）可知． 令，则 在上恒成立，则在 上单调递增，则，则在上恒成立． 由，得．因为，所以． 又，，且在上单调递减，所以，即 ． 由，得． 因为，所以易得， 则由，得，则， 即，得， 从而． 同理，由，，得． 由，得， 则，即． 因为在上单调递增，所以，故． 由（2）可知，当时，由，得． 因为，所以， 则，即． 设， 则，当时，， 则在上单调递减．因为，， 所以，则，则． 故． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导函数得到的单调性，即可求最大值； （2）分离参数得，，令， 利用导数得到在上单调递减，则，故的取值范围为； （3）先由的单调性知道，下界采用极值点偏移的对称构造法，设，求导得在递增、，即，结合在单调递减推得，故；上界采取分而治之的放缩思路，先用时得到，再由推出单调递减，借助第（2）问结论证明最大的，从而，两式相加即得. 【小问1详解】 因为，，所以． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的最大值为． 【小问2详解】 由，，得，． 令，则． 令，则在上恒成立，则在 上单调递增，则， 从而在上恒成立，则在上单调递减，则， 故的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的极值点为（ ） A. B. C. D. 5. 若实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 已知，分别是定义在上的奇函数、偶函数，且，均在上单调递增，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某测绘小组为了测量一座电视塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，两点相距，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 200 m B. 210 m C. 220 m D. 230 m 8. 如图，当光线从介质δ射入介质ε时，光线会发生折射，入射光线与法线l的夹角为入射角，折射光线与法线l的夹角为折射角．物理学家斯涅耳发现，介质δ和介质ε固定不变的情况下，入射角的正弦值与折射角的正弦值始终成正比．当入射角为α时，折射角为β，其中，若将入射角变为2α，设此时的折射角为θ，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，，则（ ） A. 的虚部为3 B. C. D. 10. 若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上的最小值为 C. 的图象关于点对称 D. 11. 若直线与曲线、均相切，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_________． 13. 在平行四边形中，，，若，则_________． 14. 的内角，，的对边分别为，，，的面积为．已知，，则_________，周长的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知幂函数的图象经过点，函数． （1）求的解析式； （2）证明：存在唯一的零点，且． 16. 已知向量，． （1）若，，三点共线，求的值． （2）证明：对任意的，与均不垂直． （3）求与的夹角的取值范围． 17. 在锐角中，，且，，． （1）求； （2）若是的中点，证明：． 18. 已知函数，． （1）求的最小正周期和值域； （2）若在上的最大值为，求的最小值； （3）若在上的图象与直线的交点个数为奇数，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）求的最大值； （2）若，，求的取值范围； （3）记函数的零点分别为和，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $