2.2 分式的加法和减法 第2课时 分式的通分 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式 2.2　分式的加法和减法 第2课时　分式的通分 关键词：最简公分母 系数取最小公倍数 因式取最高次幂 先分解 ↓ 通分 分母相同，值不变 授课班级：八（　）班　　授课教师：________ 【课件说明】本课件用于湘教版八年级上册第2章 2.2“分式的加法和减法”第2课时（分式的通分），共27页。 【请教师核对】据教习网同步资源，2.2 分3课时：第1课时 同分母分式的加法和减法，第2课时 分式的通分，第3课时 异分母分式的加法和减法。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 1 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 2 学习目标与评价任务 学习目标 评价任务 达成标准 1. 类比分数的通分，说出分式通分的意义和依据 回顾分数通分、修路与骑行两个情境、概念（第4~7页） 能说出“化成同分母，值不变，依据是基本性质” 2. 会确定单项式分母的最简公分母，会通分 三定法、为什么取最简、例1、通分三步（第8~11页）；检测第1、3题 系数取最小公倍数，字母取最高次幂 3. 会把多项式分母先分解，再确定最简公分母并通分 例2、例3、分母归类、批改、变式（第12~18页）；检测第2、4、5题 先分解；相反因式只取一个；分子同乘 4. 会给三个分式通分，能辨析约分与通分的异同 例4、辨一辨（第19~20页）；检测第5题 能说出“缺什么乘什么”和两者的共同依据 重点 确定最简公分母；分式的通分。　难点 多项式分母先分解；分母含相反因式时的符号处理。 【学习目标与评价任务】每个目标都对应课件中的评价任务和当堂检测的题号。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 2 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 3 情境导入 课前热身：两项旧知 最小公倍数 6 和 8 的最小公倍数 答：24 4 和 6：12 12 和 18：36 因式分解（第1章） (1) 平方差 (2) 提公因式 (3) 完全平方 本课的多项式分母，都要先这样分解。 【课前热身】(1) 6 与 8 的最小公倍数 24；(2) x² − 4 = (x + 2)(x − 2)；(3) x² − 2x = x(x − 2)；(4) a² − 6a + 9 = (a − 3)²。通分要用到“最小公倍数”和“因式分解”两项旧知。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 3 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 4 情境导入 回顾：异分母分数怎样化成同分母？ 分数条等长，按比例绘制；第2、4条每格 公分母取 6 和 8 的最小公倍数 24； 依据：分数的基本性质——分子分母同乘一个不为 0 的数，值不变。 【回顾：分数的通分】1/6 与 3/8 化为分母 24：1/6 = 4/24，3/8 = 9/24。两条分数条等长、按比例绘制，下面一条按 1/24 等分，看出 4 格和 9 格。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 4 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 5 情境导入 情境1　修路进度：分母不同怎么办？ 甲队单独修完要 天，乙队要 天（情境设定）。两队每天各完成全部工程的几分之几？ 甲 每天 乙 每天 整条表示全部工程，按 绘制，每格 公分母为什么取 ？ 当 时： 甲每天 3 格，乙每天 2 格 【情境1 修路进度（情境设定）】甲队单独修完一段路要 2a 天，乙队要 3a 天，每天分别完成 1/(2a) 和 1/(3a)。分母不同，怎样化成同分母比较或合并？1/(2a) = 3/(6a)，1/(3a) = 2/(6a)。按 a = 4 绘制：1/8 = 3/24，1/12 = 2/24（每格 1/24）。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 5 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 6 情境导入 情境2　骑行用时：多项式分母 上坡 9 km，速度 km/h；平路 6 km，速度 km/h（情境设定）。 上坡用时 1.5 h（90 min） 平路用时 40 min 按 绘制，时间条长度与用时成正比 分母是 和 ，公分母取它们的积 。 【情境2 骑行用时（情境设定）】上坡 9 km，速度 x km/h；平路 6 km，速度 (x + 3) km/h。用时 9/x 和 6/(x + 3)。分母是 x 和 x + 3，公分母取 x(x + 3)。按 x = 6 绘制：上坡 1.5 h，平路 2/3 h（时间条长度与用时成正比）。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 6 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 7 概念探究 分式的通分 利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，这样的变形叫作分式的通分。 依据 分式的基本性质：分子、分母同乘一个不为 0 的整式，值不变 目标 各分式分母相同，每个分式的值都不变 关键 找到一个“最简单”的公分母——最简公分母 约分：一个分式化简　↔　通分：几个分式化成同分母　（都是恒等变形） 【通分的概念】（据同步资源转述）利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，这样的变形叫作分式的通分。【请教师核对课本原文】 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 7 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 8 概念探究 最简公分母：三定法 第一个分母 第二个分母 取 定系数 4 6 12（最小公倍数） 定字母 （最高次幂） 定字母 定字母 — （只在一个分母中也要取） 最简公分母 ① 系数：最小公倍数 ② 字母（因式）：全都要 ③ 指数：取最高次幂 【最简公分母：三定法】1/(4a²b) 与 5/(6ab³c)：系数 4、6 的最小公倍数 12；字母 a 取 a²，b 取 b³，c 取 c；最简公分母 12a²b³c。（据同步资源：取各分母所有因式的最高次幂的积）【请教师核对课本原文】 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 8 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 9 概念探究 想一想：直接把两个分母相乘行不行？ 取两个分母的积 可以，但次数高、式子繁，后面还要约分 取最简公分母 次数最低，计算最简单 类比：6 和 8 的公分母可以取 48，但取最小公倍数 24 最简便。 【想一想：为什么取最简公分母？】两个分母的乘积 4a²b · 6ab³c = 24a³b⁴c 也是公分母，但次数更高、更繁；后面加减后还要约分。取最简公分母，计算最简单。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 9 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 10 例题与变式 例1　通分（单项式分母） 题目 最简公分母 通分结果 (1) (2) (3) 每个分式的分子、分母都乘“最简公分母 原分母”所得的单项式。 【例1 单项式分母通分】(1) 最简公分母 6xy：3y/(6xy)，4x/(6xy)；(2) 12a²b³c：9b²c/(12a²b³c)，10a/(12a²b³c)；(3) 6x²y²：2x³/(6x²y²)，3y³/(6x²y²)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 10 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 11 例题与变式 通分三步：定 → 求 → 乘 一 定 确定最简公分母 二 求 最简公分母 ÷ 各分母 三 乘 分子、分母同乘所得因式 以例1(2)为例 定： 求： 　　　 【通分三步】一定：确定最简公分母；二求：用最简公分母除以各分母，求出各分式要乘的因式；三乘：分子、分母同乘这个因式。以例1(2)为例：12a²b³c ÷ 4a²b = 3b²c，12a²b³c ÷ 6ab³c = 2a。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 11 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 12 例题与变式 例2　通分（多项式分母） (1) 最简公分母： (2) 最简公分母： 多项式因式看作一个整体： 与 取 【例2 分母是多项式（已是积的形式）】(1) 最简公分母 (x − 3)(x + 3)：(x + 3)/[(x − 3)(x + 3)]，x(x − 3)/[(x − 3)(x + 3)]；(2) 最简公分母 a(a + 1)²：2(a + 1)/[a(a + 1)²]，a/[a(a + 1)²]。多项式因式当作一个整体，也取最高次幂。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 12 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 13 例题与变式 例3　通分（先分解因式） (1) ① 分解 ② 最简公分母 ③ 结果 (2) ① 分解 ② 最简公分母 ③ 结果 (3) ① 分解 ② 最简公分母 ③ 结果 【例3 先分解因式，再找最简公分母】(1) x² − 4 = (x + 2)(x − 2)，x² − 2x = x(x − 2)，最简公分母 x(x + 2)(x − 2)，结果 x/LCD，3(x + 2)/LCD；(2) a² − 9 = (a + 3)(a − 3)，2a + 6 = 2(a + 3)，最简公分母 2(a + 3)(a − 3)，结果 2a/LCD，(a − 3)/LCD；(3) x² − 6x + 9 = (x − 3)²，9 − x² = −(x + 3)(x − 3)，最简公分母 (x − 3)²(x + 3)，结果 (x + 3)/LCD，−(x − 3)/LCD。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 13 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 14 例题与变式 归纳：不同的分母，怎样找最简公分母？ 分母类型 做法 例子 最简公分母 单项式 系数取最小公倍数；字母取最高次幂 ， 多项式（已是积） 每个因式都取，指数取最高 ， 多项式（未分解） 先分解因式，再按上面的方法 ， 含相反因式 如 与 ，只取一个，符号提到分式前 ， 口诀：系数最小公倍数，因式全取最高次；多项式，先分解 【分母归类】单项式：三定法；多项式（已是积）：每个因式取最高次幂；多项式（未分解）：先分解；含相反因式：如 x − 3 与 3 − x，只取一个，并把符号提到分式前面。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 14 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 15 例题与变式 当小老师：最简公分母找对了吗？ 错误写法 错因 正确结果 ✗ 字母取最高次幂，不是相加 ✓ ✗ 分母乘了，分子没乘 ✓ ✗ 没分解，不是最简 ✓ ✗ 系数取最小公倍数 ✓ 【当小老师（一）】四个错例为典型错误示例：字母指数取了和；只改分母不改分子；公分母不是最简；系数取了乘积。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 15 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 16 例题与变式 变式练习一：写出最简公分母（抢答） (1) 答 18 是 6、9 的最小公倍数 (2) 答 两个不同因式都取 (3) 答 ， (4) 答 【变式一：只写最简公分母】(1) 18x²y³；(2) (a + b)(a − b)；(3) m(m + 1)(m − 1)；(4) (2x − 1)²。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 16 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 17 例题与变式 变式练习二：通分（同桌互查） (1) 最简公分母 (2) 最简公分母 (3) 最简公分母 第(3)题：，负号提到分式前面。 【变式二：通分】(1) 12a²b²：8a/(12a²b²)，3b/(12a²b²)；(2) (x + 2)(x − 2)：(x − 2)/LCD，4/LCD；(3) 2x − 2 = 2(x − 1)，1 − x² = −(x + 1)(x − 1)，最简公分母 2(x + 1)(x − 1)：(x + 1)/LCD，−2x/LCD。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 17 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 18 例题与变式 当小老师：相反因式与符号 错误写法 错因 正确结果 ✗ 相反因式只取一个 ✓ ✗ 改了分母符号，丢了负号 ✓ ✗ 分子 要整体乘 ✓ 【当小老师（二）：相反因式】三个错例为典型错误示例：x − 2 与 2 − x 不需要相乘；1 − x² 变号后负号丢失；通分后漏乘分子中的因式。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 18 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 19 例题与变式 例4　三个分式通分：先分解，再“缺什么补什么” ① 分解每个分母 ② 最简公分母 系数取 2；因式 、、 各取一次 ③ 缺什么，乘什么 乘 乘 乘 【例4 三个分式通分】分母依次分解：a² − 4 = (a + 2)(a − 2)，a² + 2a = a(a + 2)，2a − 4 = 2(a − 2)。系数取 2，因式 a、a + 2、a − 2 都取一次，最简公分母 2a(a + 2)(a − 2)。各分式分子分母分别乘 2a、2(a − 2)、a(a + 2)，结果为 2a/[2a(a + 2)(a − 2)]，2(a − 2)/[2a(a + 2)(a − 2)]，a²(a + 2)/[2a(a + 2)(a − 2)]。可让学生说出“每个分母缺什么，就乘什么”。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 19 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 20 拓展应用 辨一辨：约分与通分有什么异同？ 约分 做法：分子、分母同除以它们的公因式 目的：化为最简分式 通分 做法：分子、分母同乘适当的整式 目的：化为同分母（最简公分母） 相同点：依据都是分式的基本性质，变形前后分式的值不变。 易错点：通分时分子、分母要乘同一个整式，不能只乘分母。 【辨析：约分与通分】两者的依据都是分式的基本性质，变形前后分式的值不变。约分是分子分母同除以公因式，目的是化为最简分式；通分是分子分母同乘适当的整式，目的是化为同分母。易错：通分时只乘分母、不乘分子。例：6x²y/(9xy²) = 2x/(3y)；1/(2x) = 3y/(6xy)，1/(3y) = 2x/(6xy)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 20 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 21 拓展应用 易错点汇总 易错一　系数取了乘积 与 → ，不是 系数取最小公倍数 易错二　指数相加 与 → ，不是 同一字母取最高次幂 易错三　多项式没分解 与 → 先分解，再找公分母 易错四　分子漏乘、丢负号 ，负号提到前面 分子分母同乘；符号别丢 【易错汇总】四个易错点：系数取乘积；指数相加；多项式没分解；分子漏乘或符号丢失。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 21 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 22 检测与小结 当堂检测　限时 7 分钟 A. B. C. D. 要求：第3~5题先写出最简公分母，再写通分结果；第4、5题写出分解过程。 【当堂检测】限时7分钟，5题每题2分，满分10分。题目为教师自编。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 22 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 23 检测与小结 检测答案与评分 题号 最简公分母（答案） 通分结果 1 A 系数 6； 取 ， 取 2 ，已含 3 4 5 评分：每题2分　9～10分 ★★★ 6～8分 ★★ 5分及以下 ★ 【答案与评分】第1、2题各2分；第3~5题最简公分母1分、通分结果1分。第5题丢负号扣1分。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 23 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 24 检测与小结 课堂小结：通分的知识结构 分式的通分 依据 分式的基本性质 （同乘不为 0 的整式） 关键：最简公分母 系数：最小公倍数 因式：全都取 指数：取最高次幂 多项式：先分解 步骤 一定：最简公分母 二求：公分母 ÷ 各分母 三乘：分子分母同乘 思想方法：类比（分数通分 → 分式通分）；转化（异分母 → 同分母） 【课堂小结】树状图：通分 → 依据（基本性质）、关键（最简公分母：系数、因式、指数）、步骤（定、求、乘）。连线全部用横线和竖线画出。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 24 25 板书设计 2.2　分式的通分 一、通分：异分母 → 同分母，依据基本性质 二、最简公分母： 　　系数取最小公倍数；因式全取，指数取最高 　　多项式先分解；相反因式只取一个 三、步骤：定 → 求 → 乘 学生板演区 最简公分母： 【板书设计】左侧主板书：概念—最简公分母—三步；右侧学生板演例3(3)。 25 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 26 评价与作业 评价量表与自我评价 评价维度 ★★★ ★★ ★ 通分的意义（目标1） 能类比分数说出通分的意义和依据 能说出意义 与约分混淆 单项式分母（目标2） 系数、字母、指数三定都正确 偶有指数或系数错 常取乘积 多项式分母（目标3） 先分解；相反因式处理正确；分子同乘 会分解，偶有符号错 不分解或漏乘分子 三个分式与辨析（目标4） 三个分式正确通分，能说清约分与通分的异同 能通分，辨析不完整 漏乘或只乘分母 我的自评：☆☆☆　　我最容易错的是：____________________　　我还想知道：____________________ 【评价量表】学生对照自评，小组长复核，教师抽查。 26 湘教版 数学 八年级上册　第2章 分式　2.2 分式的加法和减法（第2课时） 27 评价与作业 分层作业 A 基础（必做） B 提高（必做） C 拓展（选做） 6. 通分： 7. 三个分式通分： 预习：下一课时 异分母分式的加法和减法——通分以后怎样加减？ 【分层作业参考答案】1. 12a²b；2. 5x/(15x²)，6/(15x²)；3. (x + 1)/[(x + 1)(x − 1)]，2/[(x + 1)(x − 1)]；4. b/[ab(a − b)]，a/[ab(a − b)]；5. (x − 2)/[(x + 2)²(x − 2)]，−(x + 2)/[(x + 2)²(x − 2)]；6. 最简公分母 (a + b)(a − b)：a(a + b)/[(a + b)(a − b)]，−b(a + b)/[(a + b)(a − b)]，1/[(a + b)(a − b)]；7. 最简公分母 x(x + 1)(x − 1)，分子依次为 x + 1、x、x − 1。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）核对，记录见 计算核验记录_2-2-2_v2.txt。 27 $