江苏连云港市赣榆高级中学2026-2027学年高二上学期数学周练（2）

江苏省赣榆高级中学高二数学周练二 编写 张红志 一、单选题 1．在等差数列中，若，，则的公差为（   ） A．3 B．-3 C．5 D．-5 【答案】A 【详解】在等差数列中，由性质：，则，解得， 已知，则公差. 2．在等比数列中，，，则公比（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【详解】因为，，所以. 3．已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】根据等差数列的前项和公式，，所以，解得. 4．设等比数列的前n项和为，若，，则公比 q=（    ） A．2 B． C．1或 D．2 或 −1 【答案】C 【详解】若，则，， 符合； 若，则，解得， ，代入， 得到，即得， 即，因，则得，解得. 综上可得，或. 5．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 6．等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，得或（舍）， 则. 7．《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（    ） A．284 B．381 C．384 D．484 【答案】C 【分析】结合等差、等比数列性质，先求前三项，再求等比数列公比，最后分组求和得到总粟米铢. 【详解】已知 ， 成等差数列，则 ， 所以又 ， 所以得，， 后7项成等比数列，设公比为，则， 由 ，得，得解得 或 因为粟米质量从小到大，数列递增，舍去负根，得， 所以， 所以， 则这9人所得粟米质量和的铢数为. 8．设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（    ） A．42 B． C． D． 【答案】A 【分析】由定义令，解出对应的区间，每一个对应连续项，分段求和：算出到对应的项数与累加和，得到，进而时列不等式，求出m的最大值即可求解. 【详解】已知是不超过的最大整数，设（为整数）， 则.变形得，即. 因为是正整数，所以的整数取值为， 所以对，满足的正整数共有个，每个项的值为，该组的和为. 则时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时， 设，解得，即最大取. 此时，； 若，，不符合要求. 因此使得的最大正整数为，则选项A正确. 二、多选题 9．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（    ） A．数列的公差 B．数列的通项公式 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】ACD 【分析】先根据等差数列已知的首项和项的关系求出公差，再依次验证通项公式、前n项和公式、新数列的公比即可. 【详解】选项A：设等差数列的公差为，由，可得： ，代入得，解得，故A正确. 选项B：等差数列通项公式为，故B错误. 选项C：前项和，故C正确. 选项D：令，则，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 10．在数列中，，，．则（    ） A．数列为等比数列 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．若，则数列的前项和 【答案】ABC 【分析】利用已知条件对数据通项进行求解，利用错位相减求解前项和. 【详解】已知，所以，因为，因此，所以，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，正确； 所以，即，正确； 数列的前项和，正确； 因为，所以，所以， 等式两边同时乘：，所以， 所以，错误. 11．已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】A. 利用等比数列性质，若下标和相等则对应项乘积相等，因，故该项正确；B. 将各项用与公比表示后作差，因式分解得差恒为正，故原不等式方向错误；C. 由前项积公式取对数作差，得两式比值与有关，其大小关系随变化而不恒成立，故该项错误；D. 将前项和公式代入作差，化简后差值为负，故原不等式恒成立，该项正确. 【详解】已知是各项为正的等比数列，则. 选项A：根据等比数列性质可知，若，则. 由于，因此，A正确； 选项B：作差比较得， 因为，，，所以差大于0， 即，B错误； 选项C：是前项积，对两边取对数推导得， 即. 若，则； 若，，则 ，C错误； 选项D：等比数列前项和，作差得 ， 因此，D正确. 三、填空题 12．已知为数列的前项和，若，则__________． 【答案】 【分析】利用可得答案. 【详解】当时，， 当且时， ，将代入得，与不符， 故不满足上式. 综上，. 13．《九章算术》中的“竹九节”问：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________. 【答案】． 14. 设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.已知等差数列是“数列”，首项，公差，记，若数列的前项和，则正整数的最小值为________. 【答案】5 【分析】根据“数列”定义得到存在正整数，使得即可求出公差；将代入后利用裂项相消法求得，解不等式得到结果. 【详解】等差数列的通项公式，前n项和公式， 因为等差数列是“数列”，根据“数列”定义，当时，存在正整数，使得， 即，整理得； 因为，为正整数，所以仅当时满足条件，因此； 所以， 因此数列的前项和 ， 令，则，所以； 所以正整数的最小值为5. 四、解答题 15．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得； （2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，化简得， 解得，，所以. （2）由（1）可知. 由，得，即， 即，解得或. 因为，所以n的最小值是6. 即使成立的n的最小值为6. 16．已知数列为等差数列，是其前项和，且．数列满足， (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，即， 又因为，即， 可得，，所以； 因为，，可知数列是首项和公比均为的等比数列， 所以. （2）因为，则， 可知数列是首项为，公比为的等比数列， 是以. 17．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用之间的关系，结合等比数列的定义进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）， 当时，，即，① 当时，， ， 是等比数列，∴公比② 将②代入①得：， 是以2为首项，3为公比的等比数列， . （2）依题意，， ， ③. 将③得 ④. 由③-④得 ， ， ， . 18．已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． ①设数列的前项和为，求证：； ②若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①因为，所以为等差数列， 设公差为，又，，所以， 所以，则； 所以， 所以 ； ② 【分析】（1）利用退一作差法求得. （2）①先判断出为等差数列，并求得，进而求得，利用裂项求和法证得.②将转化为，结合作差比较法求得实数的取值范围. 【详解】（1）， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． （2）①略 ②因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 令，则， 所以当时，当时， 所以， 所以，所以． 19．如果数列对任意的，则称为“速增数列”. (1)判断数列是否为“速增数列”？说明理由； (2)若数列为“速增数列”，且任意项，求正整数的最大值； (3)已知项数为的数列是“速增数列”，且的所有项的和等于，若，证明：. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)63 (3)证明见解析 【分析】（1）计算，可得到答案. （2）根据题意得到，计算当时，，当时，，得到答案. （3）证明，得到，得到，代入计算得到证明. 【详解】（1）因为，则， 又，故，数列是“速增数列”. （2）， 因为，且数列为“速增数列”，所以. 当时，， 即， 当时，，当时，， 故正整数k的最大值为. （3），故，即； ，故， 即， 同理可得：， 故， 所以，所以，得证. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省赣榆高级中学高二数学周练二 编写张红志 一、单选题 1.在等差数列a中，若4+a+a=33,4=8,则a的公差为（) A.3 B.-3 C.5 D.-5 2在等比数列a 中，a+a=3.a+a,=9 则公比9=() 1 A.3 B.3 C.5 D.9 3.已知5是等差数列a,的前”项和，若8=36，则%=（) A.4 B.5 C.6 D.7 4.设等比数列 的前1项和为，若4=4,8=2 an ,则公比F() 1 1 A.2 B.2 C.1或-2 D.2或-1 5.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,且S,4,则S2() A.5 3 B.5 D.g 6.等比数列a的各项均为正数，且0a,+a=12,则8影4+log影4+log,4++og,4=（） A.2+l0g;5 181og32 B C9 D.10 7.《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”，现有9人分粟米，每人所得粟米质量 《单位：铁)从小到大枸成数列a,该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且4=1， a42+43=5a4+a5=18 ,则这9人所得粟米质量和的铢数为() A.284 B.381 C.384 D.484 8,设为不超过×的最大整数，若数fa的通项公式为.=[e,(2m+儿，记a,的前”项和为S 1 n≤200 则使得 的最大正整数”的值为() A.42 B.43 C.44 D.45 二、多选题 9.已知等差数列a}的首项马=2.且4+a,=8, 下列说法正确的是（) A.数列a的公差d= B.数列a的通项公式“，=2n C数列a的前”项和成= 2 D.数列2}是公比为2的等比数列 10,在数列a}中，4=2，au=3a-2,neN.则（) A数列a,-为等比数列 B.数列a}的通项公式为”，=3刊 C.数列a}的前n顶和-+n 43n+4 D.者么=lg(a-少，则数列军的前n顶和-9”4 11.已知等比数列 fa. 的公比为9，前”项和为9，前”项积为乙，若0，>0,91，则 () A. a202302026=a202442025 B.awm3+aa2s<az4+a0ns C. T2023T2026<T2024T2025 D S2023S2026<S2024S2025 三、填空题 12.已知S为数列a,}的前”项和，若8=-7+9咖+3，则8， 13.《九章算术》中的“竹九节”问：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的 2 容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为一 14设数列a,}的前”项和为，若对任意正整数”，总存在正整数m,使得S=0,则称a,}是“D 7-2an 数列已知等差数列1a,}是“D数列”，首项4=1，公若d<0,记8B-4-a了，若数列6} 的前顶和>号，则整数的装小位为 四、解答题 15.已知公差不为0的等差数列a的前n项和为，且8=45,4，。，“成等比数列 )求a的通项公式 ②求使>a, 成立的n的最小值： 16,已知数列a}为等老数别，3是共前n项和，且5=4+4=18·数州，}清足4 6(neN) ④求数列a,}和}的通项公式， （2设=6。，求数列的前”项和. 17.己知等比数列{a,}的前n项和为S.,且24=S,+l(neN) (1)求数 {a.}的通项公式： 3 ②若，=(+)小-a,求数列，}的前”项和 18.已知数列a}的首项4=2，且满足 2a+22a+2%++2a=4-4 3. ①求数列a,}的通项公式： ②若数列，}满足对任意n∈N,2b=6,+b,且4=3，么=4+1，设其前”项和为S。 1 2 ①设数列8的前n项和为工，求证：T<有： ②若对任意n∈N,6,-5≤a 恒成立，求实数的取值范围. 19.如果数列a对任意的”∈N,a2a1>a0,则称 ,}为“速增数列” ①判断数列2是香为“速增数列”？说明理由： (②考数列a为“速增数列”，且任态项0，e乙4=4=3a=2026,求正整数k的最大值， (3)已知项数 2(k之2k∈）的数列，}是“速指数列”，且}的所有项的和等于太，若 Cn=2,n=1,2,3,,2k 证明：99<2