精品解析：江苏省赣榆高级中学2026-2027学年高二上学期10月学情检测数学试题

高二月考试卷 一、单选题 1. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A. B. 60° C. 120° D. 150° 2. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 310 B. 320 C. 330 D. 340 3. 在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线l沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后，回到原来位置，则直线l的斜率为 A. B. 一 C. D. 5. ，则数列的前项和为（    ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 6. 设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗）.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距（ ） A. mm B. mm C. mm D. mm 8. 已知数列的前项和为．．，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不能表示过点且斜率为的直线方程 B. 在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为 C. 直线与轴的交点到原点的距离为 D. 设，，若直线：与线段有交点，则实数的取值范围是 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（ ） A. ， B. 当时，最小 C. 使得成立的最小自然数 D. 11. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若图①中的正三角形边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，．则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 三、填空题 12. 已知是等差数列，，公差为其前项和，若成等比数列，则__________. 13. 若数列是等比数列，且其前项和为，则实数________． 14. 已知数列满足，，是其前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为__________． 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知直线l过点 （1）它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． （2）若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 17. 已知数列的前n项和满足. （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前n项和，并证明：. 18. 已知数列的前项和为，且， （1）求数列通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 19. 已知数列前n项和为，满足（，A为常数） （1）若，求的值； （2）若，，求数列的通项公式； （3）若，求证：数列为等差数列的充要条件为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二月考试卷 一、单选题 1. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A. B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】先由方程求出直线的斜率，再求出直线倾斜角即可. 【详解】直线的方程为，，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又，即. 故选：D. 2. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 310 B. 320 C. 330 D. 340 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】由题可得：. 3. 在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设该等比数列为，，由题意得，, 根据等比数列通项公式代入 可得：， 将、代入上式：， 整理得， 所以． 4. 若直线l沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后，回到原来位置，则直线l的斜率为 A. B. 一 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据题意有其倾斜角的正切值为，故选B． 考点：直线的平移和直线的斜率． 5. ，则数列的前项和为（    ） A. 112 B. 48 C. 80 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求出,根据数列判断出正负情况，进而求得答案 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 6. 设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】通过转化可知为常数列，求得后继而求得，再表示出，再利用基本不等式即可得解. 【详解】由可得，故为常数列，因此有， 得，故，则， ，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 7. 如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗）.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距（ ） A. mm B. mm C. mm D. mm 【答案】B 【解析】 【分析】据题意，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间面带体积与最终出口处两疵点间面带体积相等，因宽度不变，可得到，由此求出， 进而求出. 【详解】轧辊的周长为， 由题意可知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长， 因为在此处出口的两疵点间面带的体积与最终出口处两疵点间面带的体积相等， 又因为宽度不变，有，所以， 而， 所以数列是以为公比的等比数列， 所以，即. 故选：B 8. 已知数列的前项和为．．，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用分组求和法列式求解. 【详解】依题意，，则， 又，则， ，由， 得，所以. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不能表示过点且斜率为的直线方程 B. 在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为 C. 直线与轴的交点到原点的距离为 D. 设，，若直线：与线段有交点，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线方程的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A：由可知，所以不过点，故选项A正确； 对于选项B：当时， 在轴、轴上的截距分别为0的直线不可用表示，故选项B错误； 对于选项C：直线与轴的交点为， 到原点的距离为，故选项C正确； 对于选项D：直线方程可化为，恒过定点，画出图形，如图所示， ，，若直线：与线段有交点， 则，或，即或，故选项D错误. 故选：AC 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（ ） A. ， B. 当时，最小 C. 使得成立的最小自然数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设不等式作差可得公差，数列递增，且，所以前14项为负，从15项起为正，由且可推出即可判断A选项；前14项均为负,15项后均为正，结合数列递增可判断B选项；计算，，据此判断满足的最小，从而判断C选项； 将等价化简为，而该式已知成立，即可判断D选项． 【详解】由得由得 故，因此公差， 由得 对于A选项：由于，且，所以，所以A错误； 对于B选项：因为，所以此数列为递增数列， 又，所以前项均为负数，15项以后均为正数， 所以当时，最小，所以B正确； 对于C选项：，而，故， 又，因为，所以， 又数列为递增数列，所以使的最小自然数为，所以C正确； 对于D选项：， 因为，所以；因为 ，所以， 所以，， 要证，即 而由，得，所以D正确. 11. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若图①中的正三角形边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，．则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的图形作法，探讨各自的变化规律，计算判断即得. 【详解】对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形， 得第个图形，则原来每条边变为4条，即，而，因此，A正确； 对于B，由题意可知，，， ，，B正确； 对于C，由作法知，，而，则，，C错误； 对于D，由选项AC知，， 所以数列的前n项和为，D正确. 三、填空题 12. 已知是等差数列，，公差为其前项和，若成等比数列，则__________. 【答案】49 【解析】 【详解】因为成等比数列，所以， 即，解得或（舍）， 所以. 13. 若数列是等比数列，且其前项和为，则实数________． 【答案】3 【解析】 【分析】通过推导出时的通项公式，结合条件可得时也满足该通项公式，进而可求得的值. 【详解】由题意得， 当时，， 因为数列是等比数列，所以时也满足， 即，解得. 14. 已知数列满足，，是其前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为__________． 【答案】35 【解析】 【分析】根据可得，由累加法可得，进而可得，由得，进而根据等比数列的求和可得，两种情况结合可得进而可求解. 【详解】由，得，由累加法，当时， ， 当时，， 因此， 即得，当时，，故， 由得，所以， 所以， 所以， 即，令， 则， 因为，所以，所以数列为递增数列， 当时，，所以， 综上可知，，故满足条件的正整数的所有可能取值的个数为. 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式列出方程组，解出首项与公差从而得出通项公式； （2）利用裂项相消法将各项拆分化简即可求解. 【小问1详解】 设数列的公差为d， 由得， 由得，即， 所以有，解得， 所以. 【小问2详解】 由题意得， 则 . 16. 已知直线l过点 （1）它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． （2）若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）或 （2）最小值为24，此时直线的方程为 【解析】 【分析】（1）当直线过原点时，求出斜率，再求出直线方程即可；不过原点时，设出截距式，结合题意求出即可； （2）设出截距式，结合基本不等式求出的最小值，再求出面积和直线方程即可； 【小问1详解】 ①当直线l过原点时，符合题意，斜率， 直线方程为，即； ②当直线l不过原点时， ∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍， ∴可设直线l的方程为：． ∵直线l过点， ∴，解得． ∴直线l的方程为，即． 综上所述，所求直线l方程为或． 【小问2详解】 设直线l的方程为）， 由直线l过点得：． ∴，化为， 当且仅当，时取等号． ∴的面积，其最小值为24． 此时直线的方程为． 17. 已知数列的前n项和满足. （1）证明：是等比数列； （2）设，求数列的前n项和，并证明：. 【答案】（1）因为，①所以当时，，即， 所以，当时，，② 所以①－②得：，即，所以， 所以，又，所以， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列.； （2）， 因为， 所以，所以是递增数列，所以， 因为，所以，所以， 综上，. 【解析】 【分析】（1）由得出，然后按照定义法证明等比数列即可； （2）由题意可知，故求可用错位相减法，再根据单调性即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 所以，① ，② ①－②得：， 所以. 18. 已知数列的前项和为，且， （1）求数列通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由为： 由（1）知，，因为， 所以，整理得：， 所以，即， 因为成等差数列，即（）， 假设成等比数列，则，代入的表达式： ，化简得：， 由，得，故：， 结合，， 等号仅当时成立，这与题设(互不相等）矛盾． 故数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列． 【解析】 【分析】（1）先利用作差法，消去前项和，再通过时的式子确定首项，代入公式进而得到通项； （2）先将分段数列按“奇数项、偶数项”拆分为两个基本数列（等差数列+等比数列）， 再利用等差数列、等比数列的求和公式计算两组的和，最后合并结果即可； （3）先假设存在满足条件的项，结合等比、等差数列的性质建立等式，再运用基本不等式的性质判断即可. 【小问1详解】 由数列满足， 当时，，又，所以， 当，时，， 两式相减，可得，整理得， 所以，， 所以是等比数列，则其公比为4，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由题意，，则前项中：奇数项：，共项， 是首项为3，公差为4的等差数列（因为，相邻两项差为4）， 则：， 偶数项：，共项，对应， 是首项为4，公比为16的等比数列（），则：， 因此前项和为：． 【小问3详解】 略 19. 已知数列前n项和为，满足（，A为常数） （1）若，求的值； （2）若，，求数列的通项公式； （3）若，求证：数列为等差数列的充要条件为． 【答案】（1）6 （2） （3） 当时，. 先证必要性：数列为等差数列，公差为， 则，所以必要性成立； 再证充分性： ①. 因为，当时，. 当时，. 当时，② ①②得：③ 当时，④ ③④得：， 所以. 所以数列从第2项开始是等差数列，且公差. 又，所以数列为等差数列，所以充分性成立. 综上可知：当时，数列为等差数列的充要条件为． 【解析】 【分析】（1）当时，令可得问题答案. （2）根据数列的前项和与的关系，探索的特点，求数列的通项公式. （3）从必要性和充分性两个方面证明. 【小问1详解】 当时，， 令，则. 【小问2详解】 当时，. 即 当时，，又，所以. 又， 所以， 即， 所以， 所以当时，. 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $