江苏连云港市赣榆高级中学2026-2027学年高二上学期数学周练(1)

江苏省赣榆高级中学高二数学周练一 编写 张红志 一、单选题 1．已知等差数列满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由等差数列的下标和性质求解. 【详解】由等差数列的性质，，由题知，则. 2．已知等比数列满足，，则的公比为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为（）， 因为，，所以，所以， 所以，所以，解得或. 3．若数列，a，b，c，是等比数列，则实数b的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】若数列，a，b，c，是等比数列， 则，可得，即. 4．在等差数列中，已知，为方程的两实根，则等于（   ） A．7 B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求得，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，为方程的两实根，可得， 由等差数列的性质，可得. 5．若数列的前项和为，且是与的等差中项，，则（    ） A．27 B．54 C．81 D．243 【答案】D 【分析】利用数列通项与前项和的关系推出数列的递推关系,结合等差中项的性质求出首项,确定等比数列的通项后计算. 【详解】已知,当时,有,两式作差得: , 整理得,即数列从第二项起为公比为3的等比数列,因此. 当时, ; 又因为是与的等差中项,所以, 整理得,又因为,解得,满足, 所以数列是首项为1,公比为3的等比数列,所以因此. 6．北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块.每层环数相同，且下层石板总数比中层多729块.则每层的环数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列通项公式与等差数列前项和公式及性质分析求解即可. 【详解】设每层共有环，各环石板数构成等差数列， 其中首项为，公差， 所以每环石板数为：， 由题意可得：上、中、下三层的石板总数分别为：， 又下层石板总数比中层多729块，所以， 即， 化简得：，解得：. 7．设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的关系作差结合分类讨论计算通项公式，再根据等差数列求和公式计算即可. 【详解】因为，当时，； 当时，；， 所以，即，；当时，不满足； 所以，则时，的前项和为. 所以. 8．已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用等差数列前项和的性质求得数列的通项公式与前项和，再按为奇数、偶数分类讨论，分离参数后求解对应函数的最值，即可确定的取值范围. 【详解】由题意得：，所以， 由得：，所以，又， 所以，所以， 由得， 当为正奇数时，，所以对任意恒成立， 令，又，即， 所以数列在正奇数集上单调递减，所以，所以， 当为正偶数时，，所以对任意恒成立， 令，又，所以， 所以数列在正偶数集上单调递增，所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 二、多选题 9．已知为等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B．和的等比中项为4 C．取最大值时，n的值为2或3 D．若，则n的最大值为4 【答案】ACD 【分析】先根据已知条件求出等差数列的首项与公差，得到通项公式与前项和公式，再逐一验证四个选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，由，且，得，因此公差， 所以通项公式，前项和. 对于A：由上述推导得，A正确； 对于B：计算得，，二者的等比中项满足， 解得，即等比中项为，并非只有4，B错误； 对于C：是开口向下的二次函数，对称轴为，由于为正整数， 因此或时取得最大值6，C正确； 对于D：令，解得，又，所以的最大值为，D正确. 10．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（    ）． A．数列的公比 B．数列有最大项 C．数列为递增数列 D．数列为等差数列 【答案】ABD 【分析】利用，算出公比，得到通项公式，再逐一判断单调性、最大项,通过等差数列的定义判断数列是等差数列. 【详解】正项等比数列，设公比为，则，， ，， 已知 ，所以 ，因为，所以， 正项数列 ，故 ，A 正确； 因为，，所以正项等比数列单调递减，所以首项就是最大项，B 正确； 因为，，所以正项等比数列是递减数列，C 错误； 因为，，所以，所以 ， 差为常数，所以数列为等差数列，D 正确. 11．(多选)若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（    ） A． B．是奇数 C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A列出前9项即可判断；找出奇偶三循环规律，计算2026除以3的余数判断奇偶得出B；C项通过裂项计算偶数项和，对比即得；D项通过结合扇形面积公式与平方和结论化简验证等式. 【详解】对于A，数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以，故A正确； 对于B，将斐波那契数列从第一项起按每三个数分成一段，则在每一段中前两个为奇数，后一个为偶数， 因为，所以是在第676段的第一个数，为奇数，故B正确； 对于C，由，得，，…，， 累加得，故C错误； 对于D，由，得 , 因,则 ,所以，故D正确． 三、填空题 12．若等差数列满足，，则当________时，数列的前项和最大． 【答案】9 【详解】设，则，解得. 又，所以，由此可知. 所以， 时，，时，， 所以时，数列的前项和最大. 13．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 【答案】 【详解】. 14．设数列，满足，，记，则m的整数部分是________. 【答案】1 【分析】先判断数列的单调性，然后利用裂项相消法、结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】，，知. 由，且，知数列单调递增， 由，知， 得，所以， ， 由数列单调递增，，，得，， 得到，， 则的整数部分为1. 四、解答题 15．设数列的前项的和为. (1)若是等比数列，且，，求； (2)若是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，首先判断，再等比数列求和公式得到方程组，即可求出、，从而得解； （2）设等差数列的公差为，根据等比中项的性质求出，再由求和公式及等差数列通项公式计算可得. 【详解】（1）设等比数列的公比为. 因为，所以， 所以，， 则，整理得，解得，所以. 所以. （2）设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以. 16．已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项把方程转化为公比的一元二次方程，结合正项数列舍去负根，再整理成指数幂统一形式； （2）对数化简后得到等差数列通项，验证首项、公差后，套用等差数列求和公式快速算出前项和. 【详解】（1）设数列的公比为， ，， ． 解得（舍去）或． 因此数列的通项公式为． （2）由（1）得． 当时，，又，故是首项，公差为-2的等差数列， 则． 17．已知在数列中，，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)因为，当时，， 又，可得， 又，则，即，且， 故数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，因此. (2) 【分析】（1）直接由递推公式及等比数列的定义证明可得； （2）由（1）知，进而可求，再通过分组求和可得数列的前项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以， 所以 因此． 18．记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）考虑利用作差，结合，得出，根据等差数列求得数列的通项公式； （2）根据的通项公式得到的通项公式，然后对奇数项与偶数项分组求和即可； （3）根据的通项公式，得到的前项和的表达式，然后根据的奇偶性分别讨论数列不等式的恒成立问题即可求解. 【详解】（1）令，则， 化简得，又，所以 由题意 于是两式相减可得 化简可得 因为，所以，所以， 所以为首项为3，公差为2的等差数列. 所以数列的通项公式为. （2）由上可知，当为奇数时，设，则，. 当为偶数时，设，则， 所以当为偶数时,. （3）由上可知，当为偶数时，设，, ,即 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上， 最接近对称轴的整数为，所以当时,有最小值，即. 当为奇数时，设，. ，化简得 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上 最接近对称轴的整数为，所以当时有最小值.即. 综上所述， 19．已知数列满足，是以2为首项、2为公差的等差数列. (1)求的通项公式； (2)证明：； (3)记为的前项和，证明：当时，. 【答案】(1) (2) 证明：由（1）知.先证不等式右侧. 由 . 又. 由于， 因为，所以. 由于分母恒为正数，故成立，当且仅当时取等号. 再证不等式左侧. 由， 则 . 又， 由于，所以成立. 综上所述，对任意，都有. (3) 证明：由（2）知，对于任意，有. 则 ，右侧不等式得证. 又由（2）知，对于任意，有. 则 ， 因为，故，左侧不等式成立. 综上所述，当时，恒成立. 【分析】(1)利用等差数列的通项公式可得，利用累加法即可求得的通项公式； (2)根据，与作差即可证明结论； (3)结合(2)问的结论可得且 即可证明结论. 【详解】（1）由已知，数列是首项为2、公差为2的等差数列， 所以. 当时，利用累加法可得 . 因为，所以，则即. 当时，，符合该式， 综上所述，数列的通项公式为. （2）略 （3）略 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省赣榆高级中学高二数学周练一 编写张红志 一、单选题 1.已知等差数别a,满足4，+a=4则4，（) A.0 B.1 C.2 D.3 之已知等比数列a满足9+6=104=4 则a的公比为《) .1 1 A.-2或2 B.-2或2 C.2或2 D.2或 3.若数列-1，a,b,c,-9是等比数列，则实数b的值为() A,+3 B.￥3 C-3 D.3 4.在等差数列 ,中，已知4，a为方程-7x+6=0的两实根，则4等于（) 7 A.7 B.6 C.2 D.3 5.若数列o, 的前”顶和为5，且20是4与4+2的等差中项，01=25，+1，则4，=（) A.27 B.54 C.81 D.243 6.北京天坛圜丘坛分为上、中、下三层.上层中心为天心石，环绕天心石的第一环有9块扇面形石板，以 后每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，且每层内部各环也依次增加9块每层 环数相同，且下层石板总数比中层多729块则每层的环数是() A.6 B.7 C.8 D.9 7.设数列a,}满足4+号+学++号=2n-1aeN),则a,的前50项和为（) A.2552 B.2551 C.2550 D.2549 8已知等差数列的各项均庆于，前项和为5，且品，=VaeN≥ ,若不等式 S.+2少·n1对任意m∈N,n≥l恒成立，则实数入的取值范围是() D.L,4] 二、多选题 9已知为等老数到0的前项和，若%-2，S=6 ,则() A.0,s-2n+6 B.0和7的等比中项为4 a c.S取最大值时，n的值为2或3 S >0 D.若 ,则n的最大值为4 10.已知正项等比数列a的前”项和为S,若3=a,+5,a=4, ,则() 1 A.数列{a,}的公比9=2 B.数列{an}有最大项 c.数列a,}为递增数列 {og,a}为等差数列 D.数列 1.(多选)若数列a}满足4=4=1，a,=a1+a2,(n≥3) 则称该数列为斐波那契数列.如图所示的 “黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接 而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”.记以“为边长 的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为S,.下列结论正确的有() 1 2 1 a,=34 A. B a226是奇数 C.4+a,+a,+…+04=ae5 S2025 π D.a20ms42064,故D正确. 2 三、填空题 12.若等差数列a}满足4++>0，&+a1<0,则当=时，数列a,的前”项和最大， a=3加+2n≥2） 13.已知等差数列{a}和也.}的前n项和分别为Sn和Tn,且b42n-1 ,则T 5 1+1++1 m= 14.设数列{a,},满足4-3，a=d-a,+1,记maa,a,则m的整数部分是 四、解答题 15。设数列a的前”项的和为8 0若a}是等比数外其8子，及-空.东a: S (2)若{a,}是公差不为0的等差数列，且a,4,a%成等比数列，求a0的值 16.已知a,}是各项均为正数的等比数列，4=3,9a,+2a,=1 ①求数列a的通项公式， @设=g,4,求数列仙的前”项和 3 17.已知在数列a中，a=4a,+3,且4=50 ①证明数列风，+1是等比数列，并求出a的通项公式： ②设=加，a,+)+a,求数列的前”项和5 18,记5为数列a,的前n项和，已知>0,45=+2，-了，数列满足 0n一an+n为奇数， an+ann为偶数. a. (1)求数列 的通项公式： （②求数列的前2”项和 ③记数列，}的前”项和为，若对任念”eN,工≥10+入，求实数入的取值范国 11 19.已知数列{an}满足a=1,a1a是以2为首项、2为公差的等差数列 ①求a,的通项公式： (2)证明： (n+1)a-(n+2)an+2<ansnan -(n+1)an 5n+l<S.≤2-” 3)记S,为{a,}的前n项和，证明：当n≥2时，3n+n+1 n2-n+1 5