江苏省赣榆高级中学2026-2027学年高二上学期10月学情检测数学试题

赣榆高级中学2025级高二10月学情检测 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知直线1的方程为x+V3y-5=0,则1的倾斜角为() A.30 B.60° C.120° D.150° 2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a+as=40,则S,=() A.310 B.320 C.330 D.340 3.在160和-5之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为() A B.月 C.-2 D.2 4.若直线1沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来位置，则直线1的斜率为 A B.月 C.-3 D.3 5.Sn=-n2+8n,则数列{an}的前12项和为（) A.112 B.48 C.80 D.64 6.设数列{a,}的前n项和为S.,4=1,且a-m+ 20,则2S+9 的最小值为() n a A.6 B.7 C.8 D.9 7.如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径都是800m 二mm,面带从一端输入，经过各对轧辊逐 步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍（整个过程中面带宽度不变，且不 考虑损耗)若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻 疵点的间距L=（) 888-8号- A.800×0.2-10mm B.1600×0.8-0m C.1600×0.8mm D.1600×0.2k-0mm 8.已知数列{an}的前n项和为Sn.a2+(-l)”a,=2n-1.S2=140,则a=（) A.4 B.3 C.2 D.1 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9.下列说法正确的是() A.Y二上=k不能表示过点M(:,y)且斜率为k的直线方程 x-x B.在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线方程为+Y=1 a b C.直线y=c+b与y轴的交点到原点的距离为b D.设A(-2,2),B1,1),若直线1：ax+y+1=0与线段AB有交点，则实数a的取值范围是（-o,-2) 10.已知等差数列{an}的首项为a,公差为d,前n项和为Sn,若S5>S3>S4,则下列结论正确的有() A.a,>0,d<0 B.当n=14时，Sn最小 C.使得Sn>0成立的最小自然数n=28 D.a3+a<ais+ao 11.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始， 把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程， 就得到一条“雪花状的曲线，若图①中的正三角形边长为1，记第n个图形的边数为a,,第n个图形的边长 为bn,第n个图形的周长为Ln,第n个图形的面积为Sn,n∈N.则下列命题正确的是（) ① ② ③ ④ A.an=3×4- B.3=943 C.bs= 243 243 D.数列{L}的前n项和为 32、9 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） l2.已知{an}是等差数列，a=1,公差d≠0，Sn为其前n项和，若a,a2,a成等比数列，则S,= l3.若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3-k,则实数k=· 14.已知数列{an}满足a=2,an+2<a+1<2an+2,Sn是其前n项和.若Sm=2026,则正整数m的所有 可能取值的个数为 四、解答题 15.(13分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a,=6,4=2a。. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列 的前n项和Tn 2 16.(15分)已知直线/过点P(3,4) (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线/的方程， (2)若直线/与x轴，y轴的正半轴分别交于点A,B,求△AOB的面积的最小值及此时直线的方程， 17.(15分）已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn+an=2n+2. (1)证明：{an-}是等比数列； ②设=a-少，求数列6}的前0项和Z,并证明：}，<子 4 18.(17分)已知数列{a}的前n项和为Sn,且a=1,a=3Sn+1(n∈N) (1)求数列{an}通项公式， (2)若数列{b}满足b.=〈 2n+l,n为奇数 an, n为偶数，求数列6，}的前2n项和n, (3)在an与an1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项 d,d,d(其中m,k,p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 19.(17分)已知数列{an}前n项和为Sn,满足(5n-8)Sn1-(5n+2)Sn=An-8（n∈N,,A为常数) (1)若A=10,求a3-5S2的值； (2)若a=2,A=0,求数列{an}的通项公式； (3)若A=-20,求证：数列{an}为等差数列的充要条件为a=1.赣榆高级中学2025级高二10月学情检测 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知直线的方程为+5-5=0、1 ,则的倾斜角为() A.30 B.60° C.120° D.150°. 之等差数列a 的前”项和为，若4+4=40，则5，=（） A.310 B.320 C.330 D.340 3.在160和-5之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比9的值为() B. C.-2 D.2 4.若直线1沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来位置，则直线1的斜率为 1 A.3 B.一3 C.-3 D.3 5.S=+8,则数列加，的前12项和为《) A.112 B.48 C.80 D.64 6设数列a的前”项和为。4=1，且-7。 2Sn+9 ”a,则a。的最小值为0 A.6 B.7 C.8 D.9 800 7.如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是元mm,面带从一端输入，经过各对轧辊 逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍（整个过程中面带宽度不变，且 不考虑损耗)·若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上， L.= 相邻疵点的间距 -888-88- A,800×0.2-mm B.1600×0.8-0mm 1 C.1600×0.8mm D.1600×0.2k-10m 8.己知数列a}的前n项和为S.a+(旷a,=2n-1.S=140,则4=《) A.4 B.3 C.2 D.1 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9.下列说法正确的是() y一y=k A.x-,不能表示过点M(:,乃)且斜率为k的直线方程 B.在x镇、y轴上的藏距分别为a:6的直线方程为后+片= C直线”=c+b与'轴的交点到原点的距离为人 D.设1(-22），B),若直线'，+y+1=0与线段4B有交点，则实数“的取值范围是®2列 a. 10.已知等差数列 的首项为，公差为，前”项和为5，若>> ，则下列结论正确的有 a>0d<0 B.当n=14时，氵 最小 C.使得成>≥0。 成立的最小自然数”=28 D.a+aal<las+a。l 11.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开 始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这 一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若图①中的正三角形边长为1，记第”个图形的边数为”，第”个 图形的达长为，第”个图形的周长为一，第”个图形的面积为5，N.对下列合怎正确的是() ② ③ ④ 94V5 1 4 A.an=3×4"1 B S4= 243 c.6-243 D.数列忆}的前n项和为39 2 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知{a}是等差数列，4=1，公差≠0，S为其前”项和，若4,4，“成等比数列，则8， 13.若数列{o 是等比数列，且其前”项和为，=3- ，则实数= 14.已知数列a,}清足4=2，a+2<a<2a,+2,S是其前”项和。若8.=2026，则正整数m的所有 可能取值的个数为 四、解答题 15.13分)已知等差数列a的前”项和为，且4=6，S,=2a,。 (四求数列o 的通项公式： 〔1 (2)求数列a,aJ的前n项和Tn 16.(15分)已知直线1过点 (3,4) (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线1的方程. (2)若直线I与x轴，y轴的正半轴分别交于点A,B,求△AOB的面积的最小值及此时直线的方程. 17.(15分)已知数列a的前1项和S满足2，+0，=2n+2, (1)证明： {a,-少是等比数列： (2)设b=n(a。-1),求数列{，}的前n项和Tn,并证明：3 4 3 18.(17分)已知数列a,}的前n项和为，且4=1，a=3S,+1(neN) 1)求数列a}通项公式： [2n+l,n为奇数 ②)若数列，}满足 a,n为偶数，求数列{b,}的前2n项和Tn: dn3 3)在与”之间插入”个数，使这”+2个数组成一个公差为的等差数列，在数列 中是否存在3项 dm,di,dp m,k,p (其中成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项：若不存在，请说明理由. 19.(17分)已知数列a前n项和为5，满足5m-8)-(5m+25,=加8”eN,A为常数) 若M=10,求8-58， 的值： ②若4=2，A=0,求数列a的通项公式： 8)若4=-20，求证：数列a}为等差数列的充要条件为4=高二月考试卷 一、单选题 1.已知直线1的方程为x+V3y-5=0,则1的倾斜角为() A.30 B.60° C.120° D.150° 【答案】D 【分析】先由方程求出直线的斜率，再求出直线倾斜角即可. 【解1线的方程为+-5=0，=5月，故古的率为 -x+ 3 3 3 设直线1的领斜角为0，则an0=-5,又0∈0,1809)，即0=150°. 3 故选：D 2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a+a5=40,则S,=（) A.310 B.320 C.330 D.340 【答案】D 【分析】利用等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解1由题可得：S,=17a+a）_17(a+a）_17×40-340。 2 2 2 3.在160和-5之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（) A.-2 B.为 C.-2 D.2 【答案】A 【详解】设该等比数列为{an},neN,由题意得a=l60,a。=-5, 根据等比数列通项公式an=ag,代入n=6可得：a。=a,q3, 将4=160、a=-5代入上式：-5=160g, 51 整理得9=160一32' 1 所以q= 2 4.若直线1沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来位置，则直线1的斜率为 A月 B.一3 C.-3 D.3 【答案】B 11 【详解】试题分析：根据题意有其倾斜角的正切值为3一3，故选B. 考点：直线的平移和直线的斜率， 5.Sn=-n2+8n,则数列{a}的前12项和为() A.112 B.48 C.80 D.64 【答案】C 【分析】先根据Sn求出an,根据数列判断出正负情况，进而求得答案 【详解】因为Sn=-n2+8n, 所以当n=1时，a=S,=-12+8×1=7, 当n≥2时，a,=8.-S-(n2+8m）-[-(n-l+8(n-l=-2n+9, 经检验，4，=7满足上式， 所以an=-2n+9n∈N),令an=-2n+9≥0→n≤4，an=-2n+9≤0→n25, 设数列a}的前n项和为n, 则数列{}an}的前4项和为T4=S4=-42+8×4=16 数列{a}的前12项和为 T2=a+a2+…+a2=a+a2+43+a4-a5-a-…-a2 =2S4-S2=2×16-(-12+8×12)=80 6.设数列{a,}的前n项和为S,a=1,且a-+a 2a则2+9的最小值为（) a A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B 【分析】通过转化可知 n 为前数引术行a后毯而求得及，将表示出2双9，再利用考太不等式即 可得解. 【钢生-”什4可待名，故侣为者数列，因化有二-马=. n+l n n n 1 得a,=n,故5.=n+,则2S+9_nn+月+9-n+9, =n+2+l,n∈N, 2 a n n n+9+1≥2n9+1=7,当且仅当n=9,即n=3时等号成立， 9 n 试卷第8页（共12页） 2Sn+9 故 的最小值为7 a 7.如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是800m 心m,面带从一端输入，经过各对轧辊 逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍（整个过程中面带宽度不变， 且不考虑损耗).若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上， 相邻疵点的间距L=（) 88888 A.800×0.2-10m B.1600×0.8-0mm C.1600×0.8mm D.1600×0.2-mm 【答案】B 【分析】据题意，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间面带体积与最终出口处 两疵点间面带体积相等，因宽度不变，可得到1600=0.8L,,由此求出L,,进而求出L 【详解】轧辊的周长为2πr-1600, 由题意可知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长， 因为在此处出口的两疵点间面带的体积与最终出口处两疵点间面带的体积相等， 又因为宽度不变，有1600=0.8L,,所以L,=2000, 而L0=1600, 所以数列{L}是以0.8为公比的等比数列， 所以L。=L0.80,即L= 030c=1600×0.8-10 故选：B 8.已知数列{a}的前n项和为S。.a2+(-)”a,=2n-1.S2=140,则4=（） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，利用分组求和法列式求解 【详解】依题意，a2m+2+a2n=4n-1,则(a2+a4)+(a+a)+(ao+a2)=3+11+19=33, 又a2m1-a2m-1=4n-3,则a3=a+1,a=5+a3=a+6,4,=9+a=a+15, a=13+a,=4+28,4,=17+a,=45+4,由S2=140, 3 得24，+244-33+64+95=140，所以4=2. 司 二、多选题 9.下列说法正确的是() Y上三k不能表示过点M(G,y)且斜率为k的直线 B.在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线方程为+)=1 a b C.直线y=c+b与y轴的交点到原点的距离为b D.设A(-2,2),B(1,1),若直线1：ax+y+1=0与线段AB有交点，则实数a的取值范围是(-0，-2) 【答案】AC 【分析】根据直线方程的知识对选项进行分析，从而确定正确答案 【详解】对于选项A:由4=k可知x≠x,所以不过点M(:,y),故选项A正确， x-x 对于选项B:当a=b=0时， 在x轴、y轴上的截距分别为0的直线不可用艺+Y=1表示，故选项B错误； a b 对于选项C:直线y=a+b与y轴的交点为(0，b), 到原点的距离为b,故选项C正确； 对于选项D:直线I方程可化为y=-x-1,恒过定点P(0,-1),画出图形，如图所示， 2。号，。2，若直线1：瓜+y41=0与线段B有交点， 则-a≥2，或-a≤-子，即0s2或a≥多，故远顶D错误 故选：AC A(-2,2) B1,1) P0,-1) 10.已知等差数列{an}的首项为a,公差为d,前n项和为Sn,若Ss>S3>S4,则下列结论正确的有() A.a>0,d<0 B.当n=14时，Sn最小 C.使得Sn>0成立的最小自然数n=28 D.an+au<ais a 试卷第8页（共12页） 【答案】BCD 【分析】由题设不等式作差可得公差d>0,数列递增，且a4<0,a5>0,所以前14项为负，从15项起 为正，由d>0且44<0可推出a,<0即可判断A选项，前14项均为负，15项后均为正，结合数列递增可判 断B选项；计算S2=27a4<0,S28=14(a4+a5)>0,据此判断满足Sn>0的最小n,从而判断C选项； 将a3+a4<a5+a6等价化简为a4+a5>0,而该式已知成立，即可判断D选项. 【详解】由S3>S4得S4-S3=a4<0,由Ss>S4得Ss-S4=as>0. 故a4<0<a5,因此公差d=a5-a4>0, 由S5>S3得S15-S3=a4+as>0. 对于A选项：由于d>0,且a4<0,所以a=a4-13d<0,所以A错误； 对于B选项：因为a<0,d>0,所以此数列为递增数列， 又44<0，a5>0,所以前14项均为负数，15项以后均为正数， 所以当n=14时，Sn最小，所以B正确： 于C选项：-经a+a,)=14a+a,.而4+as=4+a>0.故>0. 义-a+a,24+26=27,因为a<0,听以，<0. 又数列为递增数列，所以使Sn>0的最小自然数为n=28,所以C正确： 对于D选项：a3+a4=2a,+25d,a5+a6=2a+29d, 因为a3<a4<0,所以a3+a4<0;因为a6>a5>0,所以a5+46>0, 所以a3+a4=-(2a+25d)）,a5+a6=2a+29d, 要证a+a<a,+as,即-2a-25d2a+29da)-2”d 2 而击a,+a:=2a+27u>0,得4>4，所以D正确 11.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形 开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行 这一过程，就得到一条“雪花'状的曲线，若图①中的正三角形边长为1，记第n个图形的边数为an,第n个 图形的边长为bn,第n个图形的周长为Ln,第n个图形的面积为Sn,neN.则下列命题正确的是（() (② 3 ④ A.an=3×4- B.&=945 243 C.6,=243 1 D.数列，}的前n项和为4 29 【答案】ABD 【分析】根据给定的图形作法，探讨an,bn,Ln,Sn各自的变化规律，计算判断即得 【详解】对于A,第个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形， 得第n+1个图形，则原来每条边变为4条，即an1=4an,而a=3,因此an=3×4,A正确： 4 10、/3 27 对于C,由作法知，A1,而A=1,则么=令，么，C结误， 对于D,由选项AC知，Ln=a,h,=3×4×(日=3x(, 1-] 所以数列{Ln}的前n项和为 4 37-9,D正确 1 三、填空题 12.已知{an}是等差数列，a=1,公差d≠0，Sn为其前n项和，若a,a2,a成等比数列，则S,= 【答案】49 【详解】因为a,a2,a成等比数列，所以a=a,a, 即(1+d)-1(1+4d),解得d=2或d=0(舍)， 所以5，=7×1+7×？-×2=49. 2 13.若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3+-k,则实数k= 【答案】3 【分析】通过a,=Sn-Sn推导出n≥2时的通项公式，结合条件可得n=1时也满足该通项公式，进而可求 试卷第8页（共12页） 得k的值 【详解】由题意得a=S,=3-k=9-k, 当n≥2时，an=Sn-Sn1=(3-k)-(3”-k)=2·3”, 因为数列{an}是等比数列，所以n=1时也满足an=2·3”, 即a=23=6=9-k,解得k=3. 14.已知数列{an}满足a=2,an+2<a1<2an+2,Sn是其前n项和.若Sm=2026,则正整数m的所 有可能取值的个数为 【答案】35 【分析】根据an+2<a可得0n-an>2,由累加法可得an>2n,进而可得，由a1<2a,+2得an<21-2, 进而根据等比数列的求和可得m>9,两种情况结合可得9<m<45进而可求解. 【详解】由a,+2<a+,得an1-an>2,由累加法，当n≥2时， an=(an-an)+(an1-an-2)+…+(a2-a)+a1>2+2+…+2=2n, 当n=1时，a=222n, 因此S.=4+4,++a.>2+4+…+2m=m2+2m-mm+》）. 2 即得2026>m(m+1),当m=45时，m(m+1)=2070,故m<45, 由an1<2an+2得a1+2<2(an+2),所以an+2<(a+2)2-, 所以an<(a+2)2"1-2=2*-2, 所以5.=4+a,++a.<40-29）-2m=22-4-2m, 1-2 即2026<2m+2-4-2m,令bn=2m+2-4-2m, 则bn1-bn=2m3-4-2(m+1）-(2m2-4-2m）=2m*2-2, 因为m≥1，所以bn1-bm>0,所以数列{bm}为递增数列， 当m=9时，2m+2-4-2m=2048-4-18=2026,所以m>9, 综上可知，9<m<45,故满足条件的正整数m的所有可能取值的个数为45-9-1=35 四、解答题 15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a=6,S4=2a6. (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列 的前n项和T,. a an 【答案】(1)an=n+1 n 2)Y.=2(n+2) 【分析】(1)利用等差数列的通项公式与求和公式列出方程组，解出首项与公差从而得出通项公式； (2)利用裂项相消法将各项拆分化简即可求解. 【详解】(1)设数列{an}的公差为d 由a5=6得a=a+4d=6, 由S4=2a.得4a+6d-2(a+5d),即4，=2d, 所以有2d+4d=6,解得d=1,a=2, 所以an=2+(n-1)x1=n+1. (2)由题意得，1 1 -11 a.an1(n+1)(n+2)n+1n+2, 2-1)+1-1与) nn+1 n+1n+2 11 n 2n+22(n+2) 16.已知直线1过点P(3,4) (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线的方程. (2)若直线/与x轴，y轴的正半轴分别交于点A,B,求△AOB的面积的最小值及此时直线的方程， 【答案】(1)4x-3y=0或2x+y-10=0 (2)最小值为24，此时直线的方程为4x+3y-24=0 【分析】(1)当直线过原点时，求出斜率，再求出直线方程即可；不过原点时，设出截距式，结合题意求 出即可： (2)设出截距式，结合基本不等式求出ab的最小值，再求出面积和直线方程即可； 【洋解]()①当直线位原点时，符合感意。斜率k=手 直线方程为y=3x,即4红-3y=0, ②当直线不过原点时， 试卷第8页（共12页） 它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍， “可设直线的方程为：+上=1. a 2a ·直线过点P(3,4), :3+4-1,解得a=5. a 2a 直线/的方程为+六-1，即2x+)-10=0. 综上所述，所求直线/方程为4x-3y=0或2x+y-10=0. (2)设直线/的方程为+Y=1(a>0,b>0), a b 由直线/过点P3,4)得：3+4-1. a b ∴.1≥2， 3x4 Va b 化为ab≥48， 当且仅当a=6,b=8时取等号. △40B的面积S=b≥×48=24，其最小值为24. 2 2 此时直线的方程为4x+3y-24=0. 17.已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn+an=2n+2. (1)证明：{an-1是等比数列； a设。=a-刂，求拉列么，}的前项和7，并证明：}<子 【答案】(1)因为2Sn+an=2n+2,①所以当n=1时，2S,+a=2×1+2=4,即3a1=4, 所以4-号当≥2时，28+a=2a-+2,@ 所以0-@得：2(S.-S)+a.-a1=2,即3a.=a+2,所以a.=0+5 1 2 所以a-1+号1方a-.又4-号所以4-1写 所以数列a,-号是以为公比，}为首项的等比数列， 2由知.a-1-得=周所以a=固 所以Z-1写+2目+3++n传，@ =G+2x++⑥”.@ 9 0-②得： …i时里6中 所以-任+ 因为-z-[居++小得”2-（层传0+g>0。 所以T1>n,所以Tn是递增数列，所以T.≥I=3, 肉因为mN所以小>0，所以子 综上， ≤Tn< 3 4 18.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a=1,a1=3Sn+1(n∈N) (1)求数列{an}通项公式； 2n+l,n为奇数 (2)若数列{bn}满足bn= an, n为偶数，求数列仫，}的前2n项和I; (3)在a,与a+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3 项dm,d,d。(其中m,k,p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【详解】(1)由数列{a,}满足a1=3Sn+1(neN), 当n=1时，a2=3S,+1=3a+1,又a=1,所以a2=4, 当n≥2，n∈N时，an=3Sn+1, 两式相减，可得an1-an=3an（n≥2)，整理得a1=4an(n≥2)， 所以2=4n≥2)，2=4， a. a 所以{a}是等比数列，则其公比为4，所以{a}的通项公式为a,=1×41=4. 「2n+l,n为奇数 (2)由题意，b.= {a,n为偶数，则前2m项中：奇数项：，4,41，共n项， 是首项为3，公差为4的等差数列（因为2(2k-1)+1=4k-1,相邻两项差为4）， 试卷第8页（共12页） 则：。=22x3+4a-月=6+4n-4=n2n+). 偶数项：b2,b,b2n,共n项，对应a2,a4,a2m, 是首项为4，公比为16的等比数列(a4=42=4×16),则：S- 416-1416- 16-115 因此前2n项和为：万.=S+54=n2n+l)+416--2+n+44. 15 15 (3)不存在，理由为： 由(1)知an=4",an1=4”,因为an1=an+(n+1)dn, 所以4”-4-+(n+1)dn,整理得：4×4-1-4-=(n+1)dn, 所以3x4=(n+)d,即d,=3x4 +1 因为m,k,p成等差数列，即2k=m+p(m<k<p), 假设dm,d,d,成等比数列，则d=dmd。,代入dn的表达式： 34)2 3.4m-13.4- 42-2 4m*p-2 k+1 m+lp+,化简得：化+ym+p+ 由2k=m+p,得42-2=4m+p-2,故：(k+1)2=(m+1)(p+1), 与合2=m+p,0a+0s[@+-4r。 等号仅当m=p=k时成立，这与题设(m,k,p互不相等)矛盾. 故数列{dn}中不存在3项dm,d,d。(其中m,k,p成等差数列)成等比数列. 19.已知数列{an}前n项和为Sn,满足(5n-8)Sn1-(5n+2)Sn=An-8(n∈N,A为常数) (1)若A=10,求a-5S2的值； (2)若a=2,A=0,求数列{an}的通项公式： (3)若A=-20,求证：数列{an}为等差数列的充要条件为a,=1. 【详解】(1)当A=10时，(5n-8)Sn1-(5n+2)Sn=10n-8, 令n=2,则2(a+S2)-12S2=12→4-5S2=6. (2)当A=0时，(5n-8)St1-(5n+2)Sn=-8. 11 即(5n-8)(Sn+ani)-(5n+2)Sn=-8→10Sn=(5n-8)an1+8 当n=1时，10a,=-3a2+8,又a=2,所以a2=-4. 又10Sn+=(5n-3)an+2+8, 所以10(Sn1-Sn)=(5n-3)an+2-(5n-8)an1→10an1=(5n-3)a+2-(5n-8)an+1, 即(5n-3a2=(5n+2)a1→022=a.1 5n+25n-31 所以品8 0==4=-2, 2 所以当n≥2时，an=-10n+16. [2,n=1 所以an= -10n+16,n≥2 (3)(3) 当A=-20时，(5n-8)Sn-(5n+2)Sn=-20n-8. 先证必要性：数列{an}为等差数列，公差为d, 2-8→台所u必蛋世度立。 -3(2a+d)-7a=-28 则 再证充分性：（5n-8)Sn1-(5n+2)Sn=-20n-8→ (5n-8)(Sn+ai)-(5n+2)Sn=-20n-8→10Sn=(5n-8)a+20n+8①. 因为a=1,当n=1时，10a=-3a2+28→a2=6. 当n=2时，10×7=2a+48→a,=11 当n≥2时，10Sn1=(5n-13)an+20n-12② ①-②得：10an=(5n-8)a1-(5n-13)an+20→(5n-8)a1-(5n-3)an=-20③ 当n≥3时，(5n-13)an-(5n-8)an=-20④ ③-④得：(5n-8)an1-(（10n-16)an+(5n-8)an1=0→an1+an1=2an, 所以an1-an=an-an-1=…a-4. 所以数列{an}从第2项开始是等差数列，且公差d=4-42=11-6=5. 又42-4=6-1=5，所以数列{an}为等差数列，所以充分性成立. 试卷第8页（共12页） 综上可知：当A=-20时，数列{4n}为等差数列的充要条件为a=1, 13 高二月考试卷 一、单选题 1．已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A． B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】先由方程求出直线的斜率，再求出直线倾斜角即可. 【详解】直线的方程为，，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又，即. 故选：D. 2．等差数列的前项和为，若，则（    ） A．310 B．320 C．330 D．340 【答案】D 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】由题可得：. 3．在160和之间插入4个数，使这6个数成等比数列，则公比q的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该等比数列为，，由题意得，, 根据等比数列通项公式代入 可得：， 将、代入上式：， 整理得， 所以． 4．若直线l沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后，回到原来位置，则直线l的斜率为 A． B．一 C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：根据题意有其倾斜角的正切值为，故选B． 考点：直线的平移和直线的斜率． 5．，则数列的前项和为（    ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【分析】先根据求出,根据数列判断出正负情况，进而求得答案 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 6．设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】通过转化可知为常数列，求得后继而求得，再表示出，再利用基本不等式即可得解. 【详解】由可得，故为常数列，因此有， 得，故，则， ，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 7．如图，有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的半径r都是mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时的0.8倍（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗）.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距（    ）    A．mm B．mm C．mm D．mm 【答案】B 【分析】据题意，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间面带体积与最终出口处两疵点间面带体积相等，因宽度不变，可得到，由此求出， 进而求出. 【详解】轧辊的周长为， 由题意可知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长， 因为在此处出口的两疵点间面带的体积与最终出口处两疵点间面带的体积相等， 又因为宽度不变，有，所以， 而， 所以数列是以为公比的等比数列， 所以，即. 故选：B 8．已知数列的前项和为．．，则（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，利用分组求和法列式求解. 【详解】依题意，，则， 又，则， ，由， 得，所以. 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．不能表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．设，，若直线：与线段有交点，则实数的取值范围是 【答案】AC 【分析】根据直线方程的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A：由可知，所以不过点，故选项A正确； 对于选项B：当时， 在轴、轴上的截距分别为0的直线不可用表示，故选项B错误； 对于选项C：直线与轴的交点为， 到原点的距离为，故选项C正确； 对于选项D：直线方程可化为，恒过定点，画出图形，如图所示， ，，若直线：与线段有交点， 则，或，即或，故选项D错误. 故选：AC 10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 【答案】BCD 【分析】由题设不等式作差可得公差，数列递增，且，所以前14项为负，从15项起为正，由且可推出即可判断A选项；前14项均为负,15项后均为正，结合数列递增可判断B选项；计算，，据此判断满足的最小，从而判断C选项； 将等价化简为，而该式已知成立，即可判断D选项． 【详解】由得由得 故，因此公差， 由得 对于A选项：由于，且，所以，所以A错误； 对于B选项：因为，所以此数列为递增数列， 又，所以前项均为负数，15项以后均为正数， 所以当时，最小，所以B正确； 对于C选项：，而，故， 又，因为，所以， 又数列为递增数列，所以使的最小自然数为，所以C正确； 对于D选项：， 因为，所以；因为 ，所以， 所以，， 要证，即 而由，得，所以D正确. 11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若图①中的正三角形边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的边长为，第个图形的周长为，第个图形的面积为，．则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 【答案】ABD 【分析】根据给定的图形作法，探讨各自的变化规律，计算判断即得. 【详解】对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形， 得第个图形，则原来每条边变为4条，即，而，因此，A正确； 对于B，由题意可知，，， ，，B正确； 对于C，由作法知，，而，则，，C错误； 对于D，由选项AC知，， 所以数列的前n项和为，D正确. 三、填空题 12．已知是等差数列，，公差为其前项和，若成等比数列，则__________. 【答案】49 【详解】因为成等比数列，所以， 即，解得或（舍）， 所以. 13．若数列是等比数列，且其前项和为，则实数________． 【答案】3 【分析】通过推导出时的通项公式，结合条件可得时也满足该通项公式，进而可求得的值. 【详解】由题意得， 当时，， 因为数列是等比数列，所以时也满足， 即，解得. 14．已知数列满足，，是其前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为__________． 【答案】35 【分析】根据可得，由累加法可得，进而可得，由得，进而根据等比数列的求和可得，两种情况结合可得进而可求解. 【详解】由，得，由累加法，当时， ， 当时，， 因此， 即得，当时，，故， 由得，所以， 所以， 所以， 即，令， 则， 因为，所以，所以数列为递增数列， 当时，，所以， 综上可知，，故满足条件的正整数的所有可能取值的个数为. 四、解答题 15．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式列出方程组，解出首项与公差从而得出通项公式； （2）利用裂项相消法将各项拆分化简即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d， 由得， 由得，即， 所以有，解得， 所以. （2）由题意得， 则 . 16．已知直线l过点 (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)最小值为24，此时直线的方程为 【分析】（1）当直线过原点时，求出斜率，再求出直线方程即可；不过原点时，设出截距式，结合题意求出即可； （2）设出截距式，结合基本不等式求出的最小值，再求出面积和直线方程即可； 【详解】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率， 直线方程为，即； ②当直线l不过原点时， ∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍， ∴可设直线l的方程为：． ∵直线l过点， ∴，解得． ∴直线l的方程为，即． 综上所述，所求直线l方程为或． （2）设直线l的方程为）， 由直线l过点得：． ∴，化为， 当且仅当，时取等号． ∴的面积，其最小值为24． 此时直线的方程为． 17．已知数列的前n项和满足. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前n项和，并证明：. 【答案】(1)因为，①所以当时，，即， 所以，当时，，② 所以①－②得：，即，所以， 所以，又，所以， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列.； （2）由（1）知，，所以， 所以，① ，② ①－②得：， 所以.     因为， 所以，所以是递增数列，所以， 因为，所以，所以， 综上，. 18．已知数列的前项和为，且， (1)求数列通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由数列满足， 当时，，又，所以， 当，时，， 两式相减，可得，整理得， 所以，， 所以是等比数列，则其公比为4，所以的通项公式为. （2）由题意，，则前项中：奇数项：，共项， 是首项为3，公差为4的等差数列（因为，相邻两项差为4）， 则：， 偶数项：，共项，对应， 是首项为4，公比为16的等比数列（），则：， 因此前项和为：． (3)不存在，理由为： 由（1）知，，因为， 所以，整理得：， 所以，即， 因为成等差数列，即（）， 假设成等比数列，则，代入的表达式： ，化简得：， 由，得，故：， 结合，， 等号仅当时成立，这与题设(互不相等）矛盾． 故数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列． 19．已知数列前n项和为，满足（，A为常数） (1)若，求的值； (2)若，，求数列的通项公式； (3)若，求证：数列为等差数列的充要条件为． 【详解】（1）当时，， 令，则. （2）当时，. 即 当时，，又，所以. 又， 所以， 即， 所以， 所以当时，. 所以. （3）(3) 当时，. 先证必要性：数列为等差数列，公差为， 则，所以必要性成立； 再证充分性： ①. 因为，当时，. 当时，. 当时，② ①②得：③ 当时，④ ③④得：， 所以. 所以数列从第2项开始是等差数列，且公差. 又，所以数列为等差数列，所以充分性成立. 综上可知：当时，数列为等差数列的充要条件为． 试卷第8页（共12页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $