安微省滁州市定远县定远中学2026-2027学年高一上学期第二次月考数学试卷

定远中学 2026 级高一年级第二次素质检测数学试卷 拟卷人：王婷婷　　校对人：查道丽 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合 （），再与区间 求交集． 【解答】由 得 ，又 ，所以 ． 又 ，所以 ．故选 B． 2．若命题“， ”是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】全称量词命题为假，则其否定“存在量词命题”为真，转化为 有解． 【解答】该命题为假，等价于“， ”为真，即 有解． 因为 （当 时取等号），所以 ，即 ．故选 D． 3．已知 ，，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 解出 （或作“ ”的代换），把 化为一元函数，再用基本不等式． 【解答】由 得 ，因为 ，所以 ，且 ． 于是 ．令 ，则 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号．故选 D． 4．已知集合 ，集合 ，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解分式不等式求 ，再把 中的二次不等式因式分解，由 是 的真子集列不等式． 【解答】由 得 ，即 ，解得 ， 所以 ． 又 ，当 时 ． “ ”是“ ”的充分不必要条件，即 是 的真子集，需 （当 时 ，而 且 ，此时 不是 的子集）．故选 A． 5．已知函数 则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段解不等式，注意每段解出的结果要与该段的自变量范围取交集． 【解答】当 时，，不等式为 ． 令 ，得 ，即 ，所以 ． 当 时，，不等式为 ，令 ，得 ，所以 ． 综上，解集为 ．故选 C． 6．已知函数 满足对任意 ，，当 时都有 成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】条件等价于 在 上单调递增，需同时满足：两段各自递增，且左段的最大值不超过右段的最小值（端点处衔接）． 【解答】所给条件表明 在 上单调递增． ① 当 时， 递增，需 ，即 ； ② 当 时， 的对称轴为 ，需 ，即 ； ③ 衔接处需左段的上界不超过 ：，即 ，得 ． 综上，，即 ．故选 A． 7．已知定义域为 的函数 的图象是一条连续不断的曲线，且满足 ． 若 ，，当 时，总有 ，则满足 的实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件判断 的奇偶性与单调性，进而得 是偶函数且在 上递增，把不等式化为 ，并注意定义域． 【解答】由 得 ，所以 为奇函数． 设 （），则 ，即 为偶函数； 由题设知 在 上单调递增，故 在 上单调递减． 令 ，则 ，即 为偶函数； 当 时 ，其中 与 在 上都随 增大而增大， 所以 在 上单调递增． 于是 等价于 ，即 ， 两边平方得 ，整理得 ，解得 ． 又 且 ，得 且 ，即 ． 取交集得 ．故选 A． 8．定义 若函数 ，且 在区间 上的值域为 ，则区间 长度的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先比较两个函数的大小，写出 的分段解析式（图象），再由值域的两个端点确定区间的活动范围，取长度的最大值． 【解答】设 ，，则 ． 当 时，； 当 时，． 所以当 或 时 ，当 时 ，即 （），（），（）． 由 得 或 ；由 得 或 ． 结合图象可知，满足 的 的集合为 （因为当 时 ），且每一段的两个端点都恰好取到 和 ． 所以 含于其中一段时长度最大：，或 ．故选 B． 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知 ，，且 ，则（　　） A． 的最大值为 B． 的最大值为 C． 的最大值为 D． 的最小值为 【答案】BCD 【分析】由 得 ，再逐项用基本不等式判断，注意“ ”的代换与等号成立的条件． 【解答】由 ，， 得 ，等号当且仅当 时成立． A：，最大值为 ，错误； B： 的最大值为 ，正确； C：，所以 ，正确； D：，正确．故选 BCD． 10．下列说法正确的是（　　） A．已知 ，，则 B．命题“， ”的否定是“， 或  ” C．函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 D．若 ，，则 【答案】ABC 【分析】逐项判断：A 用待定系数把 表示成 与 的组合；B 用存在量词命题的否定；C 由 的范围求 的定义域；D 作差比较大小． 【解答】A：设 ，则 ，，解得 ，， 所以 ，正确； B：存在量词命题的否定是全称量词命题， 的否定为 或 ，正确； C：由 得 ，即 的定义域为 ；由 得 ，正确； D：，所以 ，错误．故选 ABC． 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 ，符号 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，． 定义函数 ，则下列说法正确的是（　　） A． 的定义域为 B． 在区间 上单调递减 C．当 时， 的最小值为 D．当 时， 的最大值为 【答案】ACD 【分析】结合 的定义，对 所在区间分类，写出 的表达式再判断单调性与最值． 【解答】A：分母 ，定义域为 ，正确； B：当 时，，，而 在 上单调递增，错误； C：设 ，，其中 ，则 ．因为 ，，所以 ，故 ， 当 为负整数时 ，，所以最小值为 ，正确； D：当 时同理 ，当 为正整数时 ，所以最大值为 ，正确．故选 ACD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．若函数 为偶函数，则实数 ______． 【答案】 【分析】用偶函数的定义 恒成立，比较 与 ． 【解答】因为 为偶函数，所以对任意 都有 ，即 ， 所以 恒成立，两边平方得 ，即 对任意 成立，故 ． 13．函数 的单调递减区间为 ______． 【答案】 【分析】先求定义域，再按“同增异减”判断复合函数的单调性． 【解答】由 得 ，即 ，定义域为 ． 令 ，它在 上递增，在 上递减． 又 在 上递增，所以 的单调递减区间为 ． 14．已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为 ______． 【答案】 【分析】由条件用 表示 （或整体换元），把目标式化为一元函数，再用基本不等式求最大值． 【解答】由 得 ，所以 ，因为 ，故 ，且 ． 于是 ，． 令 ，则 ，， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号．故最大值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题 13 分）已知集合 ，集合 ． （1）若 ，求 和 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1），；（2） 或 【分析】（1）先解一元二次不等式求 ，再求交集、并集；（2） 等价于 ，需对 是否为空集分类讨论． 【解答】由 得 ，所以 ． （1）当 时，， 所以 ，． （2）由 得 ． ① 当 时，，即 ，满足 ； ② 当 时，，此时需 或 ，即 或 ，结合 得 ． 综上， 的取值范围是 或 ． 16．（本小题 15 分）设函数 （）． （1）若不等式 对一切实数 恒成立，求 的取值范围； （2）解关于 的不等式：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）分 与 讨论， 时需开口向上且判别式不大于零；（2）整理为 ，按 的符号及两根大小分类． 【解答】（1） 即 对一切实数 恒成立． 当 时，不等式化为 ，不能恒成立，舍去； 当 时，需 且 ， 即 ，结合 得 ． 所以 的取值范围是 ． （2） 即 ，即 ． ① 当 时，不等式化为 ，解集为 ； ② 当 时，，解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 ，两根为 与 ： 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ． 17．（本小题 15 分）经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量 （单位：千克）与施肥量 （单位：千克）满足函数关系： 且单株水果树的肥料成本投入为 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为 元．已知这种水果的市场售价大约为 15 元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为 （单位：元）． （1）求 的函数关系式； （2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）当 时 ，当 时 ；（2）施肥量 4 千克时利润最大，最大利润 720 元 【分析】利润＝售价×产量－肥料成本－其它成本，即 ；再分段求最大值并比较． 【解答】（1）由题意 ， 即 （），（）． （2）当 时， 在 上递减，在 上递增， 且 ，，所以此时 的最大值为 （ 时取得）； 当 时，．令 ， 则 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号． 因为 ，所以当施肥量为 4 千克时单株利润最大，最大利润为 720 元． 18．（本小题 17 分）已知函数 ，． （1）若 在 上为偶函数，求 ， 的值； （2）设 的定义域为 ，在（1）的条件下： ① 判断函数 在定义域上的单调性并证明； ② 若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1），；（2）① 在 上单调递增，证明见解析；② 【分析】（1）偶函数要求一次项系数为零，且定义区间关于原点对称；（2）① 用单调性定义作差证明；② 利用奇偶性与单调性脱去函数符号，同时注意定义域． 【解答】（1）． 因为 为偶函数，所以其一次项系数 ，即 ； 又偶函数的定义域须关于原点对称，即 关于原点对称，所以 ． （2）由（1）得 ，定义域为 ，且在 上有意义． ① 在 上单调递增．证明：任取 ， ． 因为 ，所以 ，，即 ， 所以 ，即 在 上单调递增． ② 因为 ，所以 为奇函数． 由 得 ， 又 在 上递增，所以 ， 解得 ，且 ，， 取交集得 ，即 的取值范围是 ． 19．（本小题 17 分）设函数 的定义域为 ，一般地，，（），若 ，则称 为凹函数；若 ，则称 为凸函数． 对于函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在 上是减函数，在 上是增函数． （1）已知函数 ，，利用上述性质，求函数 的单调区间和值域； （2）证明： 在 上是凹函数； （3）已知函数 和 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的值． 【答案】（1）减区间 ，增区间 ，值域 ；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）直接用题给性质， 时 ；（2）按凹函数定义作差，结果化为 后判断符号；（3）把“任意—存在”转化为 的值域包含于 的值域，先求两个值域． 【解答】（1） 中 ，． 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 最小值 ，又 ，，最大值为 ，故值域为 ． （2）任取 ，，， ， 所以 ，即 在 上是凹函数． （3）．令 ，则 ， ，由题给性质知它在 上递减，在 上递增， 所以 ，，即 的值域为 ． 在 上递减，值域为 ． 对任意 ，总存在 使 ，即 ， 所以 且 ，即 且 ，故 ． 定远中学 2026 级高一第二次素质检测数学试卷（答案） 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远中学 2026 级高一年级第二次素质检测数学试卷 拟卷人：王婷婷　　校对人：查道丽 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．若命题“， ”是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．已知集合 ，集合 ，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 6．已知函数 满足对任意 ，，当 时都有 成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知定义域为 的函数 的图象是一条连续不断的曲线，且满足 ． 若 ，，当 时，总有 ，则满足 的实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．定义 若函数 ，且 在区间 上的值域为 ，则区间 长度的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知 ，，且 ，则（　　） A． 的最大值为 B． 的最大值为 C． 的最大值为 D． 的最小值为 10．下列说法正确的是（　　） A．已知 ，，则 B．命题“， ”的否定是“， 或  ” C．函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 D．若 ，，则 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 ，符号 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，． 定义函数 ，则下列说法正确的是（　　） A． 的定义域为 B． 在区间 上单调递减 C．当 时， 的最小值为 D．当 时， 的最大值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．若函数 为偶函数，则实数 ______． 13．函数 的单调递减区间为 ______． 14．已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为 ______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题 13 分）已知集合 ，集合 ． （1）若 ，求 和 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 16．（本小题 15 分）设函数 （）． （1）若不等式 对一切实数 恒成立，求 的取值范围； （2）解关于 的不等式：． 17．（本小题 15 分）经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量 （单位：千克）与施肥量 （单位：千克）满足函数关系： 且单株水果树的肥料成本投入为 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为 元．已知这种水果的市场售价大约为 15 元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为 （单位：元）． （1）求 的函数关系式； （2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 18．（本小题 17 分）已知函数 ，． （1）若 在 上为偶函数，求 ， 的值； （2）设 的定义域为 ，在（1）的条件下： ① 判断函数 在定义域上的单调性并证明； ② 若 ，求实数 的取值范围． 19．（本小题 17 分）设函数 的定义域为 ，一般地，，（），若 ，则称 为凹函数；若 ，则称 为凸函数． 对于函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在 上是减函数，在 上是增函数． （1）已知函数 ，，利用上述性质，求函数 的单调区间和值域； （2）证明： 在 上是凹函数； （3）已知函数 和 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的值． 定远中学 2026 级高一第二次素质检测数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $