云南省多校联考2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026年秋季学期第一次月考·高二数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 B C B D A A 0 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC ACD ABC 1.B2一3i2=2十3i,共轭复数为2-3i,故选B. 2.C集合A=(-2,2),故A∩B=(0,1). 3.B 由题可得二（二2=一1，解得m=合 1 23 4.D若点P与点A关于Oy加平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等.又A(2,2,2),则 P(-2,2,2),又B(4,-2,0),所以BP=(-6,4,2) 5.A当l41⊥时，m·m+1×(-1)=0,解得m=士1，所以m=1→l1⊥2，所以“m=1”是“直线1⊥l:”的充 分不必要条件. 6A圆台的体积为V=方动3+9+27)=78解得6=6，R=12R=2疗，则会=29 7.C因为m·n=2sinB.则sinA(2sinA-simC)+sinC(2sinC-sinA)=2sinB,即2sinA-sin Asin C+ 2sinC-sin Csin A=2sinB.设角A,B,C的对边分别为ab,c,根据正弦定理可得2a2-ac十2c2-ac=2b, 即a2+2一=ac,由余弦定理得cosB=女十C一E==?,又B∈(0，x),可知B=各，所以si血B=月 2ac 2 故选C 8.D因为(a,b,c)是空间的一个单位正交基底，所以a·b=a·c=b·c=0,a2=b=c2=1,则[m2= (a-b+2c)2=a2+b+4c2=6,a·(a-b+2c)=a2=1, 所以空间向量a在m上的投影向量为票·m=a:m十20·m=行。 m: 9.BC因为a,b,c共面，所以存在不全为0的实数a,μ，使得a=b十c, 1=p (无=1 即(1，x2,2)=1(0,3,2)+g(1,0,0)=(,3,2a),则x2=3,解得 =1 故选BC. 2=2λ x=士5 10.ACD对于A,直线y=2026的斜率为0，A正确： 对于B,方程y一3=k(x十2)表示过点（一2,3），且斜率为k的直线，但不包 括直线x=一2，故B错误； 对于C,当直线过原点时，方程为y=号x,当直线不过原点时，设直线方程为 P1,0) 名+之。=1，又因为直线过点(3,2)，所以2+二。=1，解得a=1,所以直线 方程为x一y-1=0,故C正确： B(-3,-2) A(2,-3) 对于D如图k=22=-8如=二子胃=之，所以由图可知，k≥或 2-1 ≤-3则斜率及的取值范围是（一-3]U[十），故D正确，故选ACD 11.ABC如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,1),C,(1.1,1),D（0,1,1),E BA·BE (20.1),所以BA=(-1,0,0),B2=（-÷,01)设∠ABE=0,则cos日= BAUBEI 【高二第一次月考·数学卷参考答案第1页（共3页）】 7078B 厂0=5，故A到直线E的距离4=脑血0=1X25-25,放A对 易知G0=2CA,=(-之，-之，0)，平面ABCD的-个法向量DA= 1 (0,-1,1),则点O到平面ABC1D1的距离d1= DA·9放B A,B=(1,0,-1),A,D=(0,1,-1),A1D,=(0,1,0).设平面A,BD的法向量为n In·A1B=0, =(x,y,E),则 n·A1D=0, 、,所以{X二乙二0：令x=1,得y=1,x=1,所以n=11,1).所以点D,到平面 ABD的距离d=A=方-因为平面ABD/平面B,CD,所以平面A,BD与平面B,CD间的 In 3 距离等于点D,到平面A,BD的距离，即为号，故C对.因为A正=是恋+心+号A,所以A- (,2子)又A店=1,0,0)，则 P·AB AP·AB|: =是，所以点P到AB的距离d [ABI √品=音，故D错故选AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2由题可得k=tan0=2. D 13.1所以f(x+4)=一f(x+2)=f(x),故f(x)是以4为周期的周期函数，则f(15) =f(4×4-1)=f(-1)=-f(1)=-(12-2×1)=1. 14.2由题意画出图形，如图所示，因为AP·AC=|A1·AC1cos(A驴，AC),且IAP ·cos(AP,AC)是向量AP在AC上的投影，所以当P在棱C,C上时，投影最大，所以 AP·AC的最大值为|AC?=(J+1下)=2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算 步骤。 15解，61)=号m2z+cos2z=sm(2z+合，z∈R, …2分 令2x+吾=m,k∈乙，得x=受-意k∈乙，即f(x)图象的对称中心为（经-竞0），k∈乙 …6分 (2)令2x+吾=受+2x,k∈乙.解得x=石+m,A∈Z, …9分 ∴f(x)取最大值时，自变量x的取值集合为{zx=吾+x,k∈Z, 13分 16.(1)证明：设AB=a,AD=b,C2=c,则(a,b,c)构成空间的一个基底， …2分 BD=AD-AB=b-a, Ap=AB+BC+CP=a十b+c,… …4分 所以BD·Ap=(b-a)·(a+b+c)=b-a2+b·c-a·c =32-32+3X4Xc0s60°-3X4Xc0s60°=0， …7分 所以PA⊥BD.…8分 (2)解：由(1)知AP=a十b十c, …9分 所以Ap2=(a+b+c)2=a2+b+c2+2a·b+2b·c+2a·c =32+32+42+2X3X3×c0s60°+2X×3×4×cos60°+2×3X4×cos60” =9+9+16十9十12+12=67.… …14分 所以AP=|AF|=/67.…15分 17.解：(1)由0.005×20×2+0.0075×20+0.02×20+a×20+0.0025×20=1, 可得Q=0.01.…3分 (2)由(1)知样本数据中数学考试成绩110分以下的所占比例为0.1+0.1+0.15+0.4=0.75， 130分以下的所占比例为0.75十0.2=0.95，…4分 因此，80%分位数一定位于[110,130)内，由110+08075=115， 0.01 【高二第一次月考·数学卷参考答案第2页（共3页）】 7078B 可以估计样本数据的80%分位数约为115分。 据此可以估计该校高二上学期第一次月考数学考试成绩的80%分位数约为115分 …7分 (3)由题意[50,70)分数段的人数为100×0.1=10， [70,90)分数段的人数为100X0.15=15,…9分 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生， 则需在[50,70)分数段内抽取2人，分别记为A1,A,[70,90)分数段内抽取3人，分别记为B,,B:,B …11分 设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在[50,70)内”为事件A, 则样本空间2=(A1A,A1B1,A1B,A1B1,AB,AB2,AB1,B1B,B1B:,BB),共包含10个样本点， 而事件A包含7个样本点，… …13分 PA)=0, …14分 “抽取的这2名学生至少有1人成绩在[50,70)内的概率为品 …15分 18.解：(1)因为直线1：kx-y十1-2h=0,即y-1=(x-2), …1分 令x一2=0，得x=2,y=1,…2分 即直线l过定点(2,1)，…3分 所以无论飞取何值，直线l始终经过第一象限.…4分 (2)因为直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A,B两点，所以k<0,… …5分 令y=0,解得x=2;令=0，得y=1-2, 即A2521,0),B0,1-2k， …8分 S=210A1·OB1=合1-224g)=2(-4h-合+4. …10分 <0,-k>0, 则-k+≥2√-)（云）=4，当且仅当-=即=-合时，取得等号， 则S=2(-4k-冬+40≥2×(4+4)=4， .S≥4，从而S的最小值为4， 15分 此时直线1的方程为y=-分x+2.即z+2y-4=0.… …17分 19.(1)证明：如图，连接BD.因为E,F分别为PB,PD的中点，所以EF∥BD. …1分 又BDC平面ABCD,EFC平面ABCD,所以EF∥平面ABCD. …3分 又EFC平面CEF,平面CEF∩平面ABCD=l.所以l∥EF.·5分 (2)解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线 为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(2,2,0),E(1,0,1),F(0,1,1),…6分 所以CE=(-1,-2,1),EF=(-1,1,0), 设平面CEF的法向量为n=(x,y,c), 所以 C定·n=一x-2y+2=0令x=1,则y=1,c=3, EF·n=-x十y=0, 则n=(1,1,3).… …9分 因为平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 10分 m·n=(0,0,1)·(1,1,3)-3-3☐ 所以os(m,mW）=mh=1X++=斤 11 12分 所以平面GEF与底面A8D夹角的余弦值为严 13分 (3)解：易知平面CEF与棱PA交于一点，设交点Q(0,0,t),… 14分 则Q2=(1,0,1-t), Q2.n=1+3-31=0,所以1=号， 16分 所以PQ=2-÷=号 …17分 【高二第一次月考·数学卷参考答案第3页（共3页）】 7078B2026年秋季学期第一次月考 高二数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第二章~第二章 2.2。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.复数2一3的共轭复数为 A.2+3i B.2-3i C.-2+3i D.-2-31 2.已知集合A={x|1g(x+2)<1g4},B={0,1,2},则A∩B= A.(0】 B.(1,2) C.{0,1} D.{0,1,2) 3.已知直线1过点A(3,-2),B(2,m,且直线L的方向向量为(1，-1)，则m的值为 A-司 B司 C n号 4.在空间直角坐标系中，点A(2,2,2),B(4,一2,0)，若点P与点A关于Oyz平面对称，则 B驴= A.(-2,0,-2) B.(2,0,2) C.(6,一4，-2) D.(-6,4,2) 5.已知两条直线l:mx+y一1=0，l2:mx-y十1=0，“m=1”是“直线l1⊥l2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知圆台的上、下底面半径分别为√3、3√3，高为h,体积为78π.球O的表面积为112r,半径 为R,则哈 A B号 D 【高二第一次月考数学卷第1页（共4页）】 7078B 7.在△ABC中，已知向量m=(sinA,sinC),向量n=(2sinA-sinC,2sinC-sinA),若m·n =2sin2B,则sinB= A号 B② c D.1 8.已知(a,b,c}是空间的一个单位正交基底，m=a一b十2c,则空间向量a在m上的投影向量为 A.ga B.√6m D.m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(1,x2,2),b=(0,3,2),c=(1,0,0),若a,b,c共面，则x的值可以是 A.-2 B.-√3 C.3 D.2 10.下列说法正确的是 A.在平面直角坐标系中，直线y=2026的斜率为0 B.方程y一3=k(x十2)表示过点（一2,3）的所有直线 C.经过点(3,2)且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为x一y一1=0或2x一3y=0 D.已知直线L过定点P(1,0)且与以A(2,一3)、B(一3，一2)为端点的线段有交点，则直线 1的斜率的取值范围是（一∞，一3]U[2,+∞） 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、O分别是A1B1、A1C的中点，P在正方体 内部且满足A市-A+市+号AA,则下列说法正确的是 A点A到直线BE的距离是 B点O到平面ABC,D,的距离为浮 C平面ABD与平面B,CD,间的距离为号 D点P到直线AB的距离为需 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若倾斜角为0的直线l与直线2x一y一2=0平行，则tan0= 13.定义在R上的奇函数f(x),满足f(2十x)=f(一x),当x∈(0,2)时f(x)=x2-2x,则 f(15)= 14.已知P是棱长为1的正方体ABCD一A1B,CD内（含正方体表面）任意一点，则AP,AC的 最大值为 【高二第一次月考数学卷第2页（共4页）】 7078B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数fe）)-号sn2z十os2x,eR (1)求f(x)图象的对称中心； (2)求f(x)取最大值时自变量x的取值集合. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC=4,∠ABC=∠BCP ∠DCP=120°. (1)利用空间向量证明PA⊥BD: (2)求AP的长 17.(本小题满分15分) 某校对2026年高二上学期第一次月考数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名 学生，将分数按照[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分成6组，绘 制成如图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计该校高二上学期第一次月考数学考试成绩的80%分位数； (3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，在成绩位 率 组距 于[50,70)和[70,90)的两组中，用按比例分配的分 0.0200 层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生 中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这 2名学生至少有1人成绩在[50,70)内的概率. 0.0075 0.0050 0.0025 0人30507力0i0130150藏绩/分 【高二第一次月考数学卷第3页（共4页）】 7078B 18.(本小题满分17分) 已知直线l:x-y十1一2k=0(k∈R), (1)求证：无论k取何值，直线1始终经过第一象限； (2)若直线l与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，设△AOB的 面积为S,求S的最小值及此时直线1的方程。 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，AB=PA=2,E,F 分别为PB,PD的中点， (I)若平面CEF与平面ABCD的交线为I,证明：l∥EF; (2)求平面CEF与底面ABCD夹角的余弦值； (3)若平面CEF与线段PA交于点Q,求PQ的长 【高二第一次月考数学卷第4页（共4页）】 7078B