思维拓展奥数 第二十五讲基本图形的面积（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学苏教版

第二十五讲 基本图形的面积 原卷版 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 制作展板时，怎样从已知的底和对应的高求出面积？如果只知道面积，还能反推出底或高吗？先标清垂直关系，再决定怎样计算。 知识清单 长方形面积等于长乘宽；正方形面积等于边长乘边长。 平行四边形的面积等于底乘对应的高。例如底为 8 厘米、高为 5 厘米时，面积是 平方厘米。把一个三角形与完全相同的另一个三角形拼成平行四边形，可知三角形面积等于底乘高再除以 2。 把两个完全相同的梯形拼成平行四边形，可知梯形面积等于上底和下底的和乘高再除以 2。各式中的高都要与选定的底垂直。 长度单位统一后再计算，面积使用相应的平方单位。已知面积与底或高时，可以根据面积关系进行逆运算。 方法与易错提醒 一 对应关系：斜边通常不是对应的高。同一平行四边形选不同边作底时，应换用对应的高，面积保持不变。 二 同高比较：共用同一条底所在直线、且顶点相同的三角形具有共同的高。它们的面积可以按照底的长度比较，面积差也可由底的差计算。 三 拆分或添补：先确定图形的分界线；分割部分不重叠、没有遗漏时，面积可以相加。用大图减小图时，减去的部分必须确实包含在大图中。 四 梯形的两底：先求上、下底的和，再与高相乘并除以 2。底和相同、高相同的梯形面积相等；只有周长相同不能断定面积相同。 五 面积反推：三角形的底乘高等于面积的 2 倍；梯形的两底之和乘高也等于面积的 2 倍。先确定已知量和要找的量，再用逆运算。 六 结果检查：检查边界能否取到、单位是否统一、图中标注与题意是否一致。多个图形拼接时还要说明是否重叠。 例题与跟踪练习 例1 【面积与数量】 制作展览旗，每面旗是底 18 厘米、高 10 厘米的三角形。12 面旗的总面积是多少？如果准备的纸面积是 1400 平方厘米，按面积计算还差多少或多多少？ 跟踪1 【面积与数量】 一次活动需要 7 面同样的三角旗，每面底 14 厘米、高 12 厘米。这些旗的总面积是多少平方厘米？ 例2 【对应的底和高】 一块平行四边形展示板的一条边长 15 厘米，对应的高为 8 厘米；另一条相邻边长 10 厘米。以这条 10 厘米的边为底时，对应的高是多少？ 跟踪2 【对应的底和高】 平行四边形模型以 18 厘米的边为底时高是 8 厘米；另一条边长 12 厘米。以这条 12 厘米的边为底时，高是多少？ 例3 【梯形与份数】 梯形材料的上底 7 米、下底 13 米、高 6 米。将总面积的五分之二用于制作标牌，其余作背景。背景面积是多少平方米？ 跟踪3 【梯形与份数】 一块梯形布上底 4 分米、下底 10 分米、高 6 分米。用去总面积的三分之一，剩余多少平方分米？ 例4 【同高与面积差】 如图，三角形 ABC 的底 BC 被点 D、E 分成 6 厘米、5 厘米、7 厘米三段。连接 AD、AE 后，三角形 ABD 的面积比三角形 ADE 大 4 平方厘米。求三角形 ABC 的底 BC 对应的高和面积。 跟踪4 【同高与面积差】 一个三角形的底被分成 8 厘米和 12 厘米两段，连接分点与顶点。所得两个三角形的面积相差 12 平方厘米。求原三角形的高与面积。 例5 【拆分梯形】 如图，将直角梯形 ABCD 沿虚线分成一个长方形和一个直角三角形。上底 8 厘米、下底 14 厘米、高 7 厘米。分别求两部分的面积，并求梯形面积。 跟踪5 【拆分与比较】 直角梯形的上底长 6 厘米，下底长 12 厘米，高为 6 厘米。从上底右端向下底画垂线，分成长方形与三角形。哪部分面积大？大多少？ 例6 【内点与面积分配】 如图，长方形长 16 厘米、宽 10 厘米，点 P 在内部，到上边的垂直距离是 3 厘米。连接 P 与四个顶点。求上方三角形、下方三角形的面积，以及左右两个三角形的面积和。 跟踪6 【内点与面积分配】 长方形长 12 厘米、宽 9 厘米，点 P 在内部，到一条长边的距离是 2 厘米。连接 P 与四个顶点。求以两条长边为底的两个三角形面积之和。 分层训练 A组 基础巩固 1 平行四边形一条底长 9 厘米，对应的高是 4 厘米，另一条边长 7 厘米。求面积，并说明为什么不能用 9 乘 7。 2 一种三角形贴纸的底是 5 厘米、高是 6 厘米。12 张这样的贴纸的总面积是多少？ 3 一块三角形布料底是 0.6 米，高是 4 分米。面积是多少平方厘米？ 4 一个平行四边形的相邻两边长分别为 15 厘米和 9 厘米，仅凭这些条件能确定面积吗？说明理由。 B组 综合运用 5 一个梯形的上底是 9 厘米，下底是 15 厘米，高是 8 厘米。上底、下底各增加 2 厘米，高不变。面积增加多少平方厘米？ 6 甲三角形底 14 厘米、面积 84 平方厘米。乙三角形与甲的高相等，底是 9 厘米。乙比甲的面积少多少？ 7 一块平行四边形板的高保持 6 厘米，底增加 3 厘米。它的面积增加多少平方厘米？如果原面积是 48 平方厘米，新面积是多少？ 8 一块三角形桌垫的底是 24 厘米，面积是 96 平方厘米。要做另一块面积也为 96 平方厘米、底为 16 厘米的三角形桌垫，两块桌垫各自的高是多少？ C组 挑战思考 9 梯形的面积是 80 平方厘米，高是 8 厘米；下底比上底的 2 倍多 2 厘米。上、下底各是多少厘米？ 10 一个三角形的底分成三段，长度依次是 2 厘米、3 厘米和 5 厘米。将两个分点分别与底边所对的顶点相连，得到三个小三角形。前两部分面积之和是 35 平方厘米。原三角形面积是多少？ 11 在长 16 厘米、宽 10 厘米的长方形内部任取一点，连接该点与四个顶点。以两条长边为底的两个三角形面积之和是多少？这个结果会随点的位置改变吗？ 12 如图，长方形宽 8 厘米、长 10 厘米。上边上的点 Q 距左上角 4 厘米，下边上的点 P 距左下角 3 厘米。连接 PQ 后，左右两部分面积分别是多少？ 综合探究 探究1 三角形的底被分为 5 厘米、8 厘米和 6 厘米三段，将两个分点分别与底边所对的顶点相连，得到三个小三角形。第二部分比第一部分面积大 6 平方厘米。第三部分面积和整个三角形面积各是多少？ 探究2 要设计一个面积为 72 平方厘米、高为 6 厘米的梯形。上、下底都是整厘米，上底至少 6 厘米，下底比上底长。列出所有可能的上下底组合。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五讲 基本图形的面积 解析版 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 制作展板时，怎样从已知的底和对应的高求出面积？如果只知道面积，还能反推出底或高吗？先标清垂直关系，再决定怎样计算。 知识清单 长方形面积等于长乘宽；正方形面积等于边长乘边长。 平行四边形的面积等于底乘对应的高。例如底为 8 厘米、高为 5 厘米时，面积是 平方厘米。把一个三角形与完全相同的另一个三角形拼成平行四边形，可知三角形面积等于底乘高再除以 2。 把两个完全相同的梯形拼成平行四边形，可知梯形面积等于上底和下底的和乘高再除以 2。各式中的高都要与选定的底垂直。 长度单位统一后再计算，面积使用相应的平方单位。已知面积与底或高时，可以根据面积关系进行逆运算。 方法与易错提醒 一 对应关系：斜边通常不是对应的高。同一平行四边形选不同边作底时，应换用对应的高，面积保持不变。 二 同高比较：共用同一条底所在直线、且顶点相同的三角形具有共同的高。它们的面积可以按照底的长度比较，面积差也可由底的差计算。 三 拆分或添补：先确定图形的分界线；分割部分不重叠、没有遗漏时，面积可以相加。用大图减小图时，减去的部分必须确实包含在大图中。 四 梯形的两底：先求上、下底的和，再与高相乘并除以 2。底和相同、高相同的梯形面积相等；只有周长相同不能断定面积相同。 五 面积反推：三角形的底乘高等于面积的 2 倍；梯形的两底之和乘高也等于面积的 2 倍。先确定已知量和要找的量，再用逆运算。 六 结果检查：检查边界能否取到、单位是否统一、图中标注与题意是否一致。多个图形拼接时还要说明是否重叠。 例题与跟踪练习 例1 【面积与数量】 制作展览旗，每面旗是底 18 厘米、高 10 厘米的三角形。12 面旗的总面积是多少？如果准备的纸面积是 1400 平方厘米，按面积计算还差多少或多多少？ 【答案】总面积 1080 平方厘米，按面积计算多 320 平方厘米。 【解析】一面面积 平方厘米，12 面共 平方厘米。 平方厘米。这里只比较面积，不判断能否无损排版裁剪。 跟踪1 【面积与数量】 一次活动需要 7 面同样的三角旗，每面底 14 厘米、高 12 厘米。这些旗的总面积是多少平方厘米？ 【答案】588 平方厘米。 【解析】一面面积 平方厘米，7 面面积 平方厘米。 例2 【对应的底和高】 一块平行四边形展示板的一条边长 15 厘米，对应的高为 8 厘米；另一条相邻边长 10 厘米。以这条 10 厘米的边为底时，对应的高是多少？ 【答案】12 厘米。 【解析】展示板面积 平方厘米。换底后面积不变，对应的高是 厘米。底和高要配对。 跟踪2 【对应的底和高】 平行四边形模型以 18 厘米的边为底时高是 8 厘米；另一条边长 12 厘米。以这条 12 厘米的边为底时，高是多少？ 【答案】12 厘米。 【解析】面积 平方厘米；另一组底高中的高为 厘米。 例3 【梯形与份数】 梯形材料的上底 7 米、下底 13 米、高 6 米。将总面积的五分之二用于制作标牌，其余作背景。背景面积是多少平方米？ 【答案】36 平方米。 【解析】材料面积 平方米；标牌面积 平方米；背景面积 平方米。 跟踪3 【梯形与份数】 一块梯形布上底 4 分米、下底 10 分米、高 6 分米。用去总面积的三分之一，剩余多少平方分米？ 【答案】28 平方分米。 【解析】总面积 平方分米，用去 平方分米，剩余 平方分米。 例4 【同高与面积差】 如图，三角形 ABC 的底 BC 被点 D、E 分成 6 厘米、5 厘米、7 厘米三段。连接 AD、AE 后，三角形 ABD 的面积比三角形 ADE 大 4 平方厘米。求三角形 ABC 的底 BC 对应的高和面积。 【答案】高 8 厘米，面积 72 平方厘米。 【解析】三个小三角形从顶点 A 向直线 BC 的高相同。前两段底相差 厘米，面积差等于底的差乘高再除以 2，所以高为 厘米。底 BC 为 厘米，总面积 平方厘米。 跟踪4 【同高与面积差】 一个三角形的底被分成 8 厘米和 12 厘米两段，连接分点与顶点。所得两个三角形的面积相差 12 平方厘米。求原三角形的高与面积。 【答案】高 6 厘米，面积 60 平方厘米。 【解析】两部分等高，底相差 厘米，因此高 厘米。原底长 厘米，原面积 平方厘米。 例5 【拆分梯形】 如图，将直角梯形 ABCD 沿虚线分成一个长方形和一个直角三角形。上底 8 厘米、下底 14 厘米、高 7 厘米。分别求两部分的面积，并求梯形面积。 【答案】长方形 56 平方厘米，三角形 21 平方厘米，梯形 77 平方厘米。 【解析】长方形面积 平方厘米；右侧三角形的底为 厘米，面积 平方厘米；梯形面积 平方厘米。 跟踪5 【拆分与比较】 直角梯形的上底长 6 厘米，下底长 12 厘米，高为 6 厘米。从上底右端向下底画垂线，分成长方形与三角形。哪部分面积大？大多少？ 【答案】长方形大，大 18 平方厘米。 【解析】长方形面积 平方厘米，三角形面积 平方厘米，两者相差 平方厘米。 例6 【内点与面积分配】 如图，长方形长 16 厘米、宽 10 厘米，点 P 在内部，到上边的垂直距离是 3 厘米。连接 P 与四个顶点。求上方三角形、下方三角形的面积，以及左右两个三角形的面积和。 【答案】上方 24 平方厘米，下方 56 平方厘米；左右合计 80 平方厘米。 【解析】点 P 到下边的距离 厘米。上方面积 平方厘米，下方面积 平方厘米。长方形面积 平方厘米，左右合计 平方厘米。 跟踪6 【内点与面积分配】 长方形长 12 厘米、宽 9 厘米，点 P 在内部，到一条长边的距离是 2 厘米。连接 P 与四个顶点。求以两条长边为底的两个三角形面积之和。 【答案】54 平方厘米。 【解析】另一条长边到 P 的距离 厘米。两个三角形面积之和 平方厘米。 分层训练 A组 基础巩固 1 平行四边形一条底长 9 厘米，对应的高是 4 厘米，另一条边长 7 厘米。求面积，并说明为什么不能用 9 乘 7。 【答案】36 平方厘米。 【解析】面积 平方厘米。7 厘米是边长，题目没有说它是这条底对应的高。 2 一种三角形贴纸的底是 5 厘米、高是 6 厘米。12 张这样的贴纸的总面积是多少？ 【答案】180 平方厘米。 【解析】每张 平方厘米，12 张 平方厘米。 3 一块三角形布料底是 0.6 米，高是 4 分米。面积是多少平方厘米？ 【答案】1200 平方厘米。 【解析】先统一单位：0.6 米为 60 厘米，4 分米为 40 厘米；面积 平方厘米。 4 一个平行四边形的相邻两边长分别为 15 厘米和 9 厘米，仅凭这些条件能确定面积吗？说明理由。 【答案】不能确定。 【解析】两条边长没有给出对应的高；保持边长不变而改变倾斜程度，高和面积可能不同。 B组 综合运用 5 一个梯形的上底是 9 厘米，下底是 15 厘米，高是 8 厘米。上底、下底各增加 2 厘米，高不变。面积增加多少平方厘米？ 【答案】16 平方厘米。 【解析】上下底的和增加 厘米，高不变，面积增加 平方厘米。 6 甲三角形底 14 厘米、面积 84 平方厘米。乙三角形与甲的高相等，底是 9 厘米。乙比甲的面积少多少？ 【答案】30 平方厘米。 【解析】共同的高 厘米。乙的面积 平方厘米，相差 平方厘米。 7 一块平行四边形板的高保持 6 厘米，底增加 3 厘米。它的面积增加多少平方厘米？如果原面积是 48 平方厘米，新面积是多少？ 【答案】增加 18 平方厘米，新面积 66 平方厘米。 【解析】增加的面积 平方厘米，新面积 平方厘米。 8 一块三角形桌垫的底是 24 厘米，面积是 96 平方厘米。要做另一块面积也为 96 平方厘米、底为 16 厘米的三角形桌垫，两块桌垫各自的高是多少？ 【答案】第一块高 8 厘米，第二块高 12 厘米。 【解析】按面积反求对应的高： 厘米， 厘米。 C组 挑战思考 9 梯形的面积是 80 平方厘米，高是 8 厘米；下底比上底的 2 倍多 2 厘米。上、下底各是多少厘米？ 【答案】上底 6 厘米，下底 14 厘米。 【解析】上下底之和 厘米。去掉多出的 2 厘米，余下相当于上底的 3 倍： 厘米。下底 厘米。 10 一个三角形的底分成三段，长度依次是 2 厘米、3 厘米和 5 厘米。将两个分点分别与底边所对的顶点相连，得到三个小三角形。前两部分面积之和是 35 平方厘米。原三角形面积是多少？ 【答案】70 平方厘米。 【解析】三个小三角形共高，前两段底长和 厘米，与第三段底相同，面积也相同，第三部分是 35 平方厘米。总面积 平方厘米。 11 在长 16 厘米、宽 10 厘米的长方形内部任取一点，连接该点与四个顶点。以两条长边为底的两个三角形面积之和是多少？这个结果会随点的位置改变吗？ 【答案】80 平方厘米，不随内部点的位置改变。 【解析】两个三角形的底都是 16 厘米，对应高的和等于长方形的宽 10 厘米。因此面积和 平方厘米，与点的位置无关。 12 如图，长方形宽 8 厘米、长 10 厘米。上边上的点 Q 距左上角 4 厘米，下边上的点 P 距左下角 3 厘米。连接 PQ 后，左右两部分面积分别是多少？ 【答案】左边 28 平方厘米，右边 52 平方厘米。 【解析】左边是梯形，上下底分别为 4 厘米、3 厘米，高 8 厘米，面积 平方厘米。长方形面积 平方厘米，右边面积 平方厘米。 综合探究 探究1 三角形的底被分为 5 厘米、8 厘米和 6 厘米三段，将两个分点分别与底边所对的顶点相连，得到三个小三角形。第二部分比第一部分面积大 6 平方厘米。第三部分面积和整个三角形面积各是多少？ 【答案】第三部分 12 平方厘米，整个三角形 38 平方厘米。 【解析】前两段底相差 厘米，三角形共同的高为 厘米。第三部分 平方厘米，总底长 厘米，总面积 平方厘米。 探究2 要设计一个面积为 72 平方厘米、高为 6 厘米的梯形。上、下底都是整厘米，上底至少 6 厘米，下底比上底长。列出所有可能的上下底组合。 【答案】上底和下底依次为 6 和 18、7 和 17、8 和 16、9 和 15、10 和 14、11 和 13 厘米。 【解析】上下底之和 厘米。上底至少为 6 厘米且小于下底，故上底依次可取 6、7、8、9、10、11 厘米；用 24 减去上底，得到各组下底。每组均满足下底较长。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $