专题5：多边形的面积（思维拓展）-苏教版数学五年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题5：多边形的面积 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：平行四边形的面积推导与应用（进阶推理） 3 考点二：三角形的面积与等积变形（进阶应用） 5 考点三：梯形的面积公式与逆向应用（算理强化） 6 考点四：公顷与平方千米的认识与换算（思维拓展） 8 考点五：组合图形面积的计算（实践拓展） 9 考点六：不规则图形的面积估算（实践拓展） 11 第三部分 易错避坑指南 12 易错点 1：三角形、梯形面积计算遗漏 “÷2” 12 易错点 2：底和高不对应，误用非对应边的高计算 13 易错点 3：面积单位进率混淆，公顷与平方米换算错误 13 易错点 4：组合图形分割重复计算或遗漏部分 13 易错点 5：等积变形概念混淆，认为形状不同面积就不同 13 第四部分 分层进阶专题精练 14 一、能力进阶篇（难度☆☆☆☆，8 题） 14 二、思维拓展篇（难度☆☆☆☆☆，4 题） 15 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 16 一、能力进阶篇解析 16 二、思维拓展篇解析 17 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应苏教版五年级上册第三单元核心内容，承接长方形、正方形面积计算基础，以 “转化思想→公式推导→单位拓展→综合应用”为主线，系统覆盖平行四边形面积、三角形面积、梯形面积、公顷与平方千米、组合图形面积、不规则图形估算六大模块，融入《九章算术》数学史内容，渗透量感、几何直观、推理意识、应用意识等核心数学素养。 专题遵循 “转化推导→公式建构→单位拓展→综合应用” 的认知路径，以 “转化” 为核心思想，将平行四边形转化为长方形推导面积公式，将三角形、梯形转化为平行四边形推导公式，建立多边形面积的完整体系；拓展认识大面积单位公顷、平方千米，掌握单位换算方法；能运用分割法、添补法计算组合图形面积，用数方格法估算不规则图形面积；结合数学史感受古代数学智慧。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“图形与几何” 领域要求，与 2024 版苏教版教材进度完全同步，为后续立体几何、圆的面积学习筑牢平面几何基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 平行四边形面积 转化成长方形推导；公式；底高对应关系 转化推导法、公式逆用法 底和高不对应，周长面积混淆 三角形面积 转化成平行四边形推导；公式；等积变形 拼接推导法、等积变换法 忘记除以 2，高和底不匹配 梯形面积 转化成平行四边形推导；公式；逆向求底高 拼接推导法、逆向求解法 忘记除以 2，上下底混淆 公顷与平方千米 单位实际大小感知；进率换算；实际场景应用 量级感知法、进率换算法 记错进率，混淆平方米与公顷 组合图形面积 分割法；添补法；多角度求解 分割求和法、添补求差法 分割后重复计算或遗漏部分 不规则图形估算 数方格法（满格算 1，不满算半格）；估算策略 数格估算法、参照对比法 数格遗漏，估算偏差过大 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 转化推导法 面积公式推导题 ①将未知图形转化为已知图形；②找到两者边的对应关系；③推导面积公式 未知转已知，找对应关系，推面积公式 公式逆用法 已知面积求底 / 高 ①写出面积公式；②代入已知量；③逆运算求出未知量 写公式，代已知，逆运算，求未知 分割求和法 组合图形面积 ①将组合图形分成几个基本图形；②分别算各部分面积；③相加得总面积 先分割，分别算，再加和，得总面积 添补求差法 凹形组合图形 ①补成完整的基本图形；②算出补后总面积；③减去添补部分的面积 先补全，算整体，减添补，得原面积 数格估算法 不规则图形 ①数满格数量；②不满格按半格算；③相加得估算面积 满格算一，不满算半，相加估算 三、数学思维提升 1. 转化思想 核心要点：所有多边形面积公式的推导，都用到了转化的思想，把没学过的图形转化成已经学过的图形，通过已知图形的面积公式推导出新公式。转化是几何学习中最重要的思想方法之一。 专题示例：推导平行四边形面积时，沿高剪开拼成一个长方形，把平行四边形转化成长方形，长方形的长对应平行四边形的底，宽对应高，从而推导出面积公式。 2. 对应思想 核心要点：计算多边形面积时，底和高必须一一对应，每条底都有自己对应的高，用错了高就会算错面积。对应思想是几何计算的重要原则，能保证计算的准确性。 专题示例：平行四边形有两组底和高，计算面积时必须用一组对应的底和高相乘，不能用这条底乘那条高。 3. 逆向思维 核心要点：不仅要会正向用公式求面积，还要会逆向用公式，已知面积和底求高，或者已知面积和高求底。逆向运用公式能加深对公式的理解，解决更灵活的问题。 专题示例：已知三角形面积和底，求高，就要先用面积乘 2，再除以底，就是公式的逆运算。 4. 估算意识 核心要点：生活中很多图形不是规则的多边形，不能直接用公式计算，需要用数方格等方法估算面积。估算不是瞎猜，是有策略的近似计算，是重要的数学能力。 专题示例：估算一片树叶的面积，放在方格纸上数格子，满格算整格，不满的算半格，就能得到大致的面积。 5. 文化传承思维 核心要点：中国古代数学有着辉煌的成就，早在两千多年前的《九章算术》里就有了三角形、梯形面积的准确算法，和我们现在学的公式本质完全一致。了解数学史，能感受古代数学家的智慧，增强文化自信。 专题示例：《九章算术》里 “半广以乘正从” 的三角形面积算法，和今天的 “底 × 高 ÷2” 完全一样，说明古代数学家早就掌握了三角形面积的计算方法。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：平行四边形的面积推导与应用（进阶推理） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础计算与逆向求解 题目：（1）一个平行四边形的底是 12 厘米，高是 5 厘米，它的面积是多少平方厘米？ （2）一个平行四边形的面积是 72 平方分米，底是 9 分米，对应的高是多少分米？ 解题步骤： ① 第（1）题，根据平行四边形面积公式，代入底和高： （平方厘米） ② 第（2）题，已知面积和底，逆向求高，由得： （分米） ③ 验证：第（2）题用底乘高验算，平方分米，和面积一致，计算正确。 答：（1）面积是 60 平方厘米；（2）对应的高是 8 分米。 【知识点睛】本题考查平行四边形面积公式的正向与逆向应用。核心公式：平行四边形面积 = 底 × 高，字母表示为。正向计算直接代入公式即可；逆向求底或高时，用面积除以已知的边即可。特别提醒：公式中的底和高必须是对应的，也就是高必须是这条底边上对应的高，不能随意相乘。平行四边形面积推导的核心是 “转化法”，沿高剪拼成长方形，形状变了，面积大小不变，这是转化思想的经典应用。 典型例题 2（思维拓展型）—— 等底等高的面积关系 题目：判断：两个平行四边形的底相等，高也相等，它们的形状一定完全相同。（ ）并说明理由。 解题步骤： ① 先判断：这句话是错误的； ② 分析理由：平行四边形的面积由底和高决定，等底等高的平行四边形面积一定相等；但形状不一定相同，因为可以向不同方向倾斜，斜边长度不同，形状就不一样； ③ 举例验证：底都是 5 厘米，高都是 3 厘米的平行四边形，可以画出无数个形状不同的平行四边形，面积都是 15 平方厘米。 答：×；等底等高的平行四边形面积一定相等，但形状不一定完全相同。 【知识点睛】本题深度考查平行四边形面积与形状的关系，强化对面积公式本质的理解。核心结论：平行四边形的面积只和底与对应高的长度有关，和图形的倾斜程度、形状无关。等底等高的平行四边形面积相等，这是重要的等积变形规律，后续学习三角形、梯形面积时同样适用。理解这个规律，能为后续更复杂的等积变形问题打下基础，培养几何推理能力。 考点二：三角形的面积与等积变形（进阶应用） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础计算与公式辨析 题目：一个三角形的底是 16 米，高是 8 米，它的面积是多少平方米？ 解题步骤： ① 回忆三角形面积公式：三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2，字母表示； ② 代入数据计算： （平方米） ③ 检验：如果不除以 2 得到 128 平方米，那是和它等底等高的平行四边形的面积，三角形面积是它的一半，所以结果正确。 答：它的面积是 64 平方米。 【知识点睛】本题考查三角形面积的基础计算，是本单元的核心基础题型。三角形面积公式的推导：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以公式里要除以 2。“÷2” 是最容易遗漏的步骤，也是高频易错点。记忆时可以结合推导过程理解：三角形面积是等底等高平行四边形面积的一半，所以要除以 2。已知面积和底求高时，要先用面积乘 2，再除以底，也就是先还原成平行四边形的面积，再求高。 典型例题 2（思维拓展型）—— 等积变形应用 题目：三角形 ABC 和三角形 DBC 共享底边 BC，顶点 A、D 在同一条平行于 BC 的直线上，两个三角形的面积相等吗？为什么？ 解题步骤： ① 判断：两个三角形的面积相等； ② 分析理由：两个三角形有共同的底边 BC，底相等；顶点在同一条平行线上，平行线间的距离处处相等，所以两个三角形的高相等； ③ 根据三角形面积公式，底相等、高相等，面积就相等； ④ 总结：同底等高的三角形，面积相等。 答：面积相等；因为它们同底等高，底和对应高都相等，所以面积相等。 【知识点睛】本题是三角形等积变形的经典题型，体现了几何中的重要规律。核心结论：同底等高的三角形面积相等。进一步拓展：只要底相等，高相同，无论顶点在平行线上怎么移动，三角形面积都不变，这就是 “拉窗帘” 模型。等积变形是几何中的重要思想，不用计算就能判断面积关系，能让复杂问题变简单。理解这个规律，能大幅提升几何推理能力，为后续更复杂的面积问题提供简便思路。 【趣味数学史】《九章算术》之 “半广以乘正从” 我们现在学习的三角形面积公式，可不是现代才有的。早在两千多年前，我国古代数学名著《九章算术》的 “方田” 章里，就记载了三角形面积的计算方法：“半广以乘正从”。 “广” 指的是三角形的底边，“正从（zòng）” 指的是底边上的高。这句话的意思就是：用底边的一半乘高，得到三角形的面积。用现在的公式写出来就是，和我们今天学的本质完全一样！ 不仅如此，《九章算术》里还记载了梯形面积的算法 “并两广而半之，以乘正从”，也就是上下底相加除以 2 再乘高，和现在的梯形面积公式也完全一致。 这些发现比西方早了几百年，是中国古代数学的辉煌成就，充分体现了我国古代数学家的智慧。 考点三：梯形的面积公式与逆向应用（算理强化） 典型例题 1（能力进阶型）—— 梯形面积基础计算 题目：一个梯形的上底是 6 厘米，下底是 10 厘米，高是 5 厘米，它的面积是多少平方厘米？ 解题步骤： ① 回忆梯形面积公式：梯形面积 =（上底 + 下底）× 高 ÷ 2，字母表示； ② 代入数据计算： （平方厘米） ③ 验证：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形底是厘米，高 5 厘米，面积 80 平方厘米，一个梯形就是它的一半，40 平方厘米，结果正确。 答：它的面积是 40 平方厘米。 【知识点睛】本题考查梯形面积的基础计算。梯形面积公式推导：两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底加下底，高等于梯形的高，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。公式里的 “÷2” 同样不能遗漏，和三角形面积公式的 ÷2 来源一致，都是拼成平行四边形后的一半。梯形面积公式也可以理解为 “中位线 × 高”，因为上下底的平均值就是中位线的长度，和 “半广” 的思想异曲同工。 典型例题 2（思维拓展型）—— 逆向求解梯形的高 题目：一个梯形的面积是 72 平方分米，上底是 5 分米，下底是 7 分米，它的高是多少分米？ 解题步骤： ① 逆向推导公式：由，可得； ② 先算上下底之和：（分米）； ③ 代入计算高：（分米）； ④ 验算：平方分米，和题目面积一致，正确。 答：它的高是 12 分米。 【知识点睛】本题考查梯形面积公式的逆向应用，是公式理解的深化。逆向求高的核心思路：先把梯形面积乘 2，还原成对应的平行四边形的面积，再除以上下底之和（也就是平行四边形的底），就得到高。所有除以 2 的面积公式，逆向求底或高时，都要先乘 2 还原，再进行下一步计算，这是统一的规律。理解了这个原理，就不用死记硬背逆公式，能从推导源头掌握方法。 考点四：公顷与平方千米的认识与换算（思维拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 单位换算与量级感知 题目：填空。 （1）3 公顷 =（ ）平方米 （2）5 平方千米 =（ ）公顷 =（ ）平方米 （3）60000 平方米 =（ ）公顷 解题步骤： ① 明确进率：1 公顷 = 10000 平方米，1 平方千米 = 100 公顷 = 1000000 平方米； ② 第（1）题，公顷化平方米，大单位化小单位乘进率，平方米； ③ 第（2）题，平方千米化公顷乘 100，公顷；化平方米乘 1000000，平方米； ④ 第（3）题，平方米化公顷，小单位化大单位除以进率，公顷。 答：（1）30000；（2）500，5000000；（3）6。 【知识点睛】本题考查大面积单位的换算，是本单元的重要基础知识点。核心进率：1 公顷 = 10000 平方米，1 平方千米 = 100 公顷 = 1000000 平方米。记忆技巧：公顷是 “平方百米”，边长 100 米的正方形面积是 1 公顷，所以平方米；平方千米是 “平方千米”，边长 1000 米的正方形，所以平方米。建立单位的量感很重要：1 公顷大约是一个足球场的大小，1 平方千米大约是 140 个足球场，通过生活参照能更好地理解大面积单位。 典型例题 2（思维拓展型）—— 实际场景中的面积计算 题目：一块长方形的防护林，长 4 千米，宽 2 千米。这片防护林的面积是多少平方千米？合多少公顷？ 解题步骤： ① 计算长方形面积：长方形面积 = 长 × 宽，（平方千米）； ② 换算成公顷：1 平方千米 = 100 公顷，（公顷）； ③ 验证：长 4000 米，宽 2000 米，面积平方米 = 800 公顷，结果一致。 答：面积是 8 平方千米，合 800 公顷。 【知识点睛】本题结合实际场景考查大面积单位的应用，培养量感与应用能力。解决这类问题的步骤：先根据图形公式算出面积，再按要求换算单位。大面积单位通常用来计量土地、森林、水域等范围较大的区域，比如城市面积、森林面积用平方千米，校园、公园面积用公顷。结合生活实际理解单位的使用场景，能更好地建立量感，避免单位使用错误。 考点五：组合图形面积的计算（实践拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 分割法计算组合图形 题目：一个组合图形可以分成一个长方形和一个梯形。长方形长 10 厘米，宽 4 厘米；梯形上底 4 厘米，下底 8 厘米，高 3 厘米。计算这个组合图形的面积。 解题步骤： ① 用分割法，把组合图形分成上方的长方形和下方的梯形两部分； ② 分别计算两部分面积： 长方形面积：（平方厘米） 梯形面积：（平方厘米） ③ 两部分相加得总面积：（平方厘米）。 答：组合图形的面积是 58 平方厘米。 【知识点睛】本题考查用分割法计算组合图形面积，是组合图形的基础方法。分割法也叫 “求和法”，核心思路是把复杂的组合图形分割成几个我们学过的基本图形（长方形、三角形、梯形等），分别算出面积，再加起来得到总面积。分割的原则：尽量分成最少的基本图形，分割线清晰，每个图形的条件都充分已知，方便计算。分割后要注意检查有没有重复计算的部分，有没有遗漏的部分，确保不重不漏。 典型例题 2（思维拓展型）—— 添补法计算组合图形 题目：一个凹字形的图形，整体是一个长 12 厘米、宽 8 厘米的长方形，凹进去的部分是一个长 4 厘米、宽 3 厘米的小长方形。求这个凹字形图形的面积。 解题步骤： ① 用添补法，把凹进去的部分补上，变成一个完整的大长方形； ② 计算大长方形的面积：（平方厘米）； ③ 计算添补的小长方形面积：（平方厘米）； ④ 用大长方形面积减去添补部分的面积，得到原图形面积：（平方厘米）。 答：这个凹字形图形的面积是 84 平方厘米。 【知识点睛】本题考查用添补法计算组合图形面积，适用于凹形、缺角类的组合图形。添补法也叫 “求差法”，核心思路是把不规则的图形补成完整的规则图形，算出完整图形的面积，再减去添补上的那部分面积，得到原图形的面积。分割法和添补法是计算组合图形的两大基本方法，解题时要根据图形特点灵活选择：凸形、拼接形适合分割法，凹形、缺角形适合添补法。很多组合图形两种方法都能用，可以互相验证结果。 考点六：不规则图形的面积估算（实践拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 数方格法估算面积 题目：一片树叶放在方格纸上，每个小方格的面积是 1 平方厘米。数得满格的有 22 个，不满格的有 28 个。这片树叶的面积大约是多少平方厘米？ 解题步骤： ① 明确估算规则：满格的按 1 平方厘米算，不满格的都按半格计算； ② 计算不满格的总面积：（平方厘米）； ③ 加上满格的面积：（平方厘米）。 答：这片树叶的面积大约是 36 平方厘米。 【知识点睛】本题考查不规则图形面积的估算方法 —— 数方格法，是估算的核心方法。数方格法的基本原则：满格算 1，不满格算半格，相加得到估算值。这种方法得到的是近似值，不是精确值，但能大致反映图形的面积大小。估算技巧：数格时按顺序数，做好标记，避免重复或遗漏。对于更复杂的不规则图形，还可以用参照物对比估算，或者转化成近似的规则图形估算，方法灵活多样。 典型例题 2（思维拓展型）—— 估算策略优化 题目：估算一个不规则池塘的面积，下面三种方法中，（ ）得到的结果最接近真实值。 A. 直接目测估计 B. 用边长 1 米的方格纸数格，不满格算半格 C. 用边长 5 米的方格纸数格，不满格算半格 解题步骤： ① 逐一分析选项： A 选项目测误差很大，最不准确； B 选项方格越小，格子越密，估算的误差就越小，结果越接近真实值； C 选项方格大，误差比小方格大； ② 所以最准确的是 B 选项。 答：B。 【知识点睛】本题考查估算精度的影响因素，深化对估算的理解。核心规律：数方格估算时，方格越小，划分越细，估算结果越精确。但方格越小，数起来也越麻烦，实际估算时要在精度和效率之间平衡选择。估算不是越精确越好，要根据实际需求选择合适的估算策略。估算能力是量感的重要组成部分，在生活中应用非常广泛，比如估算农田面积、建筑面积等。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：三角形、梯形面积计算遗漏 “÷2” 错误示例：计算三角形面积直接底乘高，忘记除以 2，算成了等底等高平行四边形的面积。 正确分析：三角形、梯形的面积都是对应平行四边形面积的一半，公式里必须除以 2。 修正方法：写完公式先检查有没有 ÷2；算完后可以想一下，这个面积是不是和等底等高的平行四边形一样大，一样大就是忘除以 2 了。 易错点 2：底和高不对应，误用非对应边的高计算 错误示例：平行四边形有两组底和高，用长边乘短边上的高，导致结果错误。 正确分析：面积公式里的底和高必须一一对应，高必须是这条底边上对应的高。 修正方法：计算前先确认，这个高是不是对应这条底的；可以画图标出底和高，确认对应关系再计算。 易错点 3：面积单位进率混淆，公顷与平方米换算错误 错误示例：认为 1 公顷 = 100 平方米，或者 1 平方千米 = 1000 平方米，进率记错。 正确分析：1 公顷 = 10000 平方米，1 平方千米 = 100 公顷 = 1000000 平方米。 修正方法：结合正方形面积记忆进率：边长 100 米的正方形面积是 1 公顷，100×100＝10000 平方米；边长 1000 米的正方形是 1 平方千米，1000×1000＝1000000 平方米。 易错点 4：组合图形分割重复计算或遗漏部分 错误示例：分割图形时，分割线附近的部分两个图形都算，重复计算；或者漏掉某个小部分。 正确分析：分割后各部分应该不重叠、不遗漏，合起来正好是原图形。 修正方法：分割后先描一遍每个部分的边界，确认没有重叠没有遗漏；算完后用另一种方法再算一遍，验证结果是否一致。 易错点 5：等积变形概念混淆，认为形状不同面积就不同 错误示例：两个三角形形状不一样，就认为面积一定不一样，忽略了同底等高的情况。 正确分析：面积只和底与对应高有关，和形状无关；同底等高的三角形，形状不同面积也相等。 修正方法：判断面积关系时，回到面积公式，看底和高的关系，不要凭形状视觉判断；抓住 “底和高” 两个核心要素分析。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度☆☆☆☆，8 题） 1. 一个平行四边形的底是 15 分米，高是 6 分米，它的面积是多少平方分米？ 2. 一个三角形的底是 20 米，高是 10 米，它的面积是多少平方米？ 3. 梯形的上底是 5 厘米，下底是 9 厘米，高是 4 厘米，面积是多少平方厘米？ 4. 填空：8 公顷 =（ ）平方米；3 平方千米 =（ ）公顷。 5. 判断：两个三角形的面积相等，它们一定等底等高。（ ） 6. 一个梯形的面积是 48 平方分米，高是 6 分米，上底是 5 分米，下底是多少分米？ 7. 一个平行四边形和一个三角形面积相等，底也相等。三角形的高是 8 厘米，平行四边形的高是多少厘米？ 8. 每个小方格面积 1 平方厘米，满格 18 个，半格 22 个，不规则图形面积大约是多少平方厘米？ 二、思维拓展篇（难度☆☆☆☆☆，4 题） 9. 一块长方形菜地，长 500 米，宽 400 米。这块菜地的面积是多少公顷？如果每公顷收白菜 8 吨，一共能收多少吨白菜？ 10. 一个三角形的底扩大到原来的 3 倍，高扩大到原来的 2 倍，面积扩大到原来的多少倍？ 11. 一个组合图形由一个正方形和一个三角形组成，正方形边长 6 厘米，三角形的底和正方形边长相等，高 4 厘米。这个组合图形的面积是多少平方厘米？ 12. 《九章算术》中 “半广以乘正从” 描述的是哪种图形的面积计算方法？请用自己的话解释这句话的意思。 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】90 平方分米 解题步骤： ① 平行四边形面积公式； ② （平方分米）。 【知识点睛】本题考查平行四边形面积基础计算。直接代入底和对应高计算即可。 2. 【答案】100 平方米 解题步骤： ① 三角形面积公式； ② （平方米）。 【知识点睛】本题考查三角形面积基础计算。注意不要遗漏除以 2。 3. 【答案】28 平方厘米 解题步骤： ① 梯形面积公式； ② （平方厘米）。 【知识点睛】本题考查梯形面积基础计算。上下底之和乘高再除以 2。 4. 【答案】80000；300 解题步骤： ① 1 公顷 = 10000 平方米，； ② 1 平方千米 = 100 公顷，。 【知识点睛】本题考查面积单位换算。牢记进率，大化小乘进率，小化大除以进率。 5. 【答案】× 解题步骤： ① 面积相等的三角形，底和高的乘积相等，但底和高不一定分别相等； ② 比如底 4 高 3 和底 6 高 2 的三角形，面积都是 6，但不等底等高。 【知识点睛】本题考查等积变形的理解。等底等高面积一定相等，但面积相等不一定等底等高。 6. 【答案】11 分米 解题步骤： ① 逆向求上下底之和：（分米）； ② 下底：（分米）。 【知识点睛】本题考查梯形面积公式逆向应用。先乘 2 还原成平行四边形面积，再求对应量。 7. 【答案】4 厘米 解题步骤： ① 面积和底相等时，三角形的高是平行四边形的 2 倍； ② （厘米）。 【知识点睛】本题考查等底等面积下的高的关系。三角形要除以 2，所以高要更长，是平行四边形的 2 倍。 8. 【答案】29 平方厘米 解题步骤： ① 半格总面积：（平方厘米）； ② 总面积：（平方厘米）。 【知识点睛】本题考查数方格法估算面积。满格加半格数的一半。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】20 公顷；160 吨 解题步骤： ① 菜地面积：平方米 = 20 公顷； ② 总产量：（吨）。 【知识点睛】本题结合实际问题考查面积换算与应用。先算面积换算单位，再算总产量。 10. 【答案】6 倍 解题步骤： ① 三角形面积 = 底 × 高 ÷2； ② 底乘 3，高乘 2，总面积就乘倍。 【知识点睛】本题考查积的变化规律在面积中的应用。面积随底和高的扩大同步扩大。 11. 【答案】48 平方厘米 解题步骤： ① 正方形面积：（平方厘米）； ② 三角形面积：（平方厘米）； ③ 总面积：（平方厘米）。 【知识点睛】本题考查组合图形面积计算。用分割法分别计算再求和。 12. 【答案】描述的是三角形的面积计算方法；意思是用底边长度的一半乘底边上的高，得到三角形的面积，和现在的 “底 × 高 ÷2” 原理一致。 解题步骤： ① 明确 “广” 是底，“正从” 是高； ② 半广就是底的一半，乘正从就是乘高，对应三角形面积公式。 【知识点睛】本题考查数学史知识。理解古代算法的含义，感受古代数学智慧。 1 学科网（北京）股份有限公司 $