4.1 比例线段 同步课时练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第4章　相似三角形

4.1　比例线段　同步课时练

【教材版本】浙教版九年级上册（现行教材）　　【建议用时】45分钟　　【满分】100分

【学习目标】

1. 理解比例线段的概念，掌握比例的基本性质，会判断四条线段是否成比例；

2. 了解比例中项的概念，会用「两条线段的乘积等于另两条线段的乘积」找比例线段；

3. 了解黄金分割，知道黄金比约为 0.618，能进行黄金分割的简单计算。

【知识梳理】

一、两条线段的比与比例线段

◆  如图1，线段 OC＝2，OC′＝4，线段 OC 与 OC′ 的比是 2:4＝1:2；线段 AB＝1.5，AB′＝3，线段 AB 与 AB′ 的比是 1.5:3＝1:2。两个比相等，即 OC:OC′＝AB:AB′。

图1　OC:OC′＝AB:AB′，四条线段成比例

◆  一般地，四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 a:b＝c:d，那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例线段，简称比例线段。图1 中 OC、OC′、AB、AB′ 是比例线段。

◆  求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关。

◆  比例的基本性质：如果 a:b＝c:d，那么 ad＝bc；反过来，如果 ad＝bc，那么 a:b＝c:d。也就是两外项之积等于两内项之积。判断四条线段是否成比例，可转化为判断其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积。

◆  一般地，如果三个数 a，b，c 满足比例式 a:b＝b:c（即 b²＝ac），那么 b 就叫做 a，c 的比例中项。

二、用面积找比例线段

◆  如图2，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高线。由 AC·BC＝2S 且 CD·AB＝2S，得 AC·BC＝CD·AB，所以 AC、CD、AB、BC 是一组比例线段。

图2　Rt△ABC 中斜边上的高线 CD

三、比例尺

◆  如图3，图上距离与实际距离的比叫做比例尺。比例尺通常写成 1:n 的形式，也可以用线段比例尺表示。利用比例尺可以由图上距离求实际距离，也可以由实际距离求图上距离。

图3　线段比例尺与两点间的图上距离

四、黄金分割

◆  如图4，如果点 P 把线段 AB 分成两条线段 AP 和 PB，使 AP＞PB，且 PB:AP＝AP:AB，那么称线段 AB 被点 P 黄金分割，点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点，所分成的较长线段 AP 与整条线段 AB 的比叫做黄金比。

图4　点 P 是线段 AB 的黄金分割点

◆  应用一元二次方程的知识可以求出黄金比的数值，约为 0.618。黄金分割在建筑、图案设计等方面有广泛应用。

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.（5分）下列四条线段中，不成比例的是（　　）

A. a＝3、b＝6、c＝2、d＝4　　B. a＝2、b＝5、c＝4、d＝10

C. a＝1、b＝2、c＝3、d＝4　　D. a＝6、b＝9、c＝2、d＝3

2.（5分）已知 3x＝4y（x，y 均不为 0），则 x:y 等于（　　）

A. 3:4　　B. 4:3　　C. 3:7　　D. 4:7

3.（5分）已知线段 a，b 的比例中项是 6，且 a＝3，则 b 等于（　　）

A. 2　　B. 9　　C. 12　　D. 36

4.（5分）一本书的宽与长之比为黄金比，宽为 14 cm，则它的长约为（精确到 0.1 cm）（　　）

A. 22.7 cm　　B. 21.0 cm　　C. 8.7 cm　　D. 23.9 cm

5.（5分）如图5，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，AP＞PB。若 AB＝2，则 PB 的长约为（精确到 0.1）（　　）

A. 0.6　　B. 0.8　　C. 1.2　　D. 1.6

图5　点 P 分线段 AB，AP＞PB，AB＝2

二、填空题（每小题5分，共25分）

6.（5分）已知 a:b＝2:3，则 (a＋b):b＝ ______。

7.（5分）已知线段 a＝4.5，b＝2，则 a，b 的比例中项线段长为 ______。