精品解析：辽宁营口市第一中学2026-2027学年八年上学期数学学科期中质量检测

营口市第一中学 期中考试 八年级 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 2026.10月 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形是解题的关键．根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义， 是轴对称图形， 故选D． 2. 如图的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. 50° B. 58° C. 60° D. 62° 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的对应角相等． 3. 如图，在等腰中，顶角，过点作的平行线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质， 首先根据三角形内角和定理和等边对等角得到，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵顶角， ∴ ∵ ∴． 故选：B． 4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【详解】解：由作图知， ∴， ∴，所以利用的条件为． 5. 在中，为的中线，，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】延长到点E，使，连接，可证明，得，而，根据三角形的三边关系得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点E，使，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．解题的关键是倍长中线法构造全等三角形． 6. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 7. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接．若，则的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 19 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据尺规作图得出垂直平分线段，然后根据线段垂直平分线的性质求解． 【详解】解：由尺规作图可知，垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式求出的长，结合角平分线的性质求解． 【详解】解：过点作于点， ，， ， ， 是的角平分线，，， ， 点到的距离是4． 故选：． 9. 如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（ ） A. 24 B. 23 C. 22 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】先根据全等三角形的性质得到，，所以，即可求得答案． 【详解】解：， ，， 的周长为． 10. 如图，中，，的角平分线相交于点P，延长至F，使，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（　　） A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③ D. ①②⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线可求，则，可判断①的正误；则，证明，则，，，可求，即，可判断②的正误；由，，，证明，可判断③的正误；由，，可知当时，即时，，，由的大小未知，可判断④的正误；由，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵，的角平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即，②正确，故符合要求； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，③正确，故符合要求； ∴， 由题意知，，， 当时，即时，，， ∵的大小未知， ∴④错误，故不符合要求； 由题意知，，⑤正确，故符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是_______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，等腰三角形的定义．利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的一个底角的度数是， 故答案为：． 12. 若点与关于x轴对称，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵点与关于x轴对称， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，，，若，则等于____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为__________秒时，和全等． 【答案】1或7 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得当点P在上时，只有这种情况，当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在，当点P在上时，只有这种情况，根据全等三角形的性质求出点P的运动路程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 当点P在上时，若和全等，则只有这种情况， ∴， ∴； 当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在， 当点P在上时，同理可得只有这种情况， ∴， ∴点P的运动路程为， ∴； 综上所述，当t的值为1秒或7时，和全等． 故答案为：1或7． 15. 如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，过点作于点，根据轴对称的性质以及垂线段最短，得出的最小值为线段的长度，然后利用等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，过点作于点，连接， ∴，，此时的值最小，为线段的长度， ∵， ∴点、点和点在同一条直线上， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 三、解答题 16. 如图，在中， 是 的角平分线，求 的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和外角的性质，解决此题的关键是熟练运用外角的性质；先根据角平分线的定义得到角度，再运用外角的性质即可得到答案； 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵，是的外角， ∴， ∴． 17. 如图， 于E， 于F，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等判定的方法；根据垂直得到角相等，根据线段和差得到边相等，进而判断三角形全等即可得到答案； 【详解】略 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； （3）若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是______． 【答案】（1）如图，即为所求作的三角形； （2） 如图，即为所求作的三角形； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质及平面直角坐标系中点的坐标的平移、关于坐标轴对称的特点． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将的三个顶点分别向下平移4个单位长度，再首尾顺次连接即可； （3）根据“关于轴对称点的横坐标互为相反数、纵坐标不变”及“右加左减、上加下减”求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 经过第一次变换后的坐标为：， 再经过第二次变换后的坐标为：， ∴线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是． 19. 红星学校兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点 C； （2）测量教学楼顶点A 的视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部E的视线与地面夹角． 测量数据 ， ， ， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴教学楼的高度为． 20. 如图，和中，．连接与交于点M，与交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明： ， ，即， 在和中， ， ， ． （2） 证明：， ， ，， 又∵， ， ， ． 【解析】 【分析】（1） 先由，得出，证明，即可作答． （2）由，推出，由，，又，，可得． 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，已知等边三角形，点是边延长线上一点，连接，作 且，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由是等边三角形可得，，推出，证明，得到，，求出，即可得证． 【详解】略 22. 综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． （1）请完成图3中小明的证明； （2）如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； （3）如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）11 （3）110 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； 【小问3详解】 解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 23. 已知等边三角形，点是直线上一点，连接， ，且，连接交直线于点 ． （1）如图，当点在的延长线上时，过点作，交于点， ①求证： ； ②试确定线段的数量关系___________； （2）如图，当点在的延长线上时，（）中②的结论是否发生变化？若不发生变化，请证明；若发生变化，写出结论并证明． 【答案】（1） ①证明：∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ② （2） 解：（）中②的结论变化，新结论为：． 证明：过点作，交的延长线于， ∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）①由等边三角形的性质得，进而可得，再利用平行线的性质可得，进而由“”即可求证；②由全等三角形及等边三角形的性质可证，即可证明，得到，进而由即可求证； （）过点作，交的延长线于，同理（）①可证，得到，，再证明，得到，进而得到，即可求证； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 ①略 ②∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 营口市第一中学 期中考试 八年级 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 2026.10月 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. 50° B. 58° C. 60° D. 62° 3. 如图，在等腰中，顶角，过点作的平行线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 5. 在中，为的中线，，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 无法确定 6. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接．若，则的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 19 D. 26 8. 如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（ ） A. 24 B. 23 C. 22 D. 26 10. 如图，中，，的角平分线相交于点P，延长至F，使，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（　　） A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③ D. ①②⑤ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是_______． 12. 若点与关于x轴对称，则代数式的值为______． 13. 如图，，，若，则等于____． 14. 如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为__________秒时，和全等． 15. 如图，点E在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 三、解答题 16. 如图，在中， 是 的角平分线，求 的度数． 17. 如图， 于E， 于F，．求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； （3）若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是______． 19. 红星学校兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点 C； （2）测量教学楼顶点A 的视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部E的视线与地面夹角． 测量数据 ， ， ， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼的高度． 20. 如图，和中，．连接与交于点M，与交于点N． （1）求证：； （2）求证：． 21. 如图，已知等边三角形，点是边延长线上一点，连接，作 且，求证：是等边三角形． 22. 综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． （1）请完成图3中小明的证明； （2）如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； （3）如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 23. 已知等边三角形，点是直线上一点，连接， ，且，连接交直线于点 ． （1）如图，当点在的延长线上时，过点作，交于点， ①求证： ； ②试确定线段的数量关系___________； （2）如图，当点在的延长线上时，（）中②的结论是否发生变化？若不发生变化，请证明；若发生变化，写出结论并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $