精品解析：辽宁盘锦市兴隆台区辽河中学2026-2027学年八年级上学期10月期中数学试题

辽河中学2026-2027学年度第一学期八年级期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上．每小题3分，共30分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义求解，轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形 ，故该选项符合题意； 2. 若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的底边长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分的边为腰、底边两种情况讨论，结合三角形三边关系验证． 【详解】解：当长为的边为腰时， 底边长为. 此时三边长为，，. ∵， ∴不能构成三角形，此情况舍去. 当长为的边为底边时， 腰长为. 此时三边长为，，. ∵， ∴能构成三角形，底边长为． 3. 下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、原式不能因式分解，不符合题意； B、，符合题意； C、原式不能因式分解，不符合题意； D、原式不能因式分解，不符合题意． 4. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别表示出图甲和图乙中的阴影部分面积，再根据图甲和图乙中阴影部分面积相等，即可得到答案． 【详解】解：图甲中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即为； 图乙中阴影部分面积为一个长为，宽为的长方形面积，即为； ∵图甲和图乙中阴影部分面积相等， ∴． 5. ，，则M与N的大小关系为（ ） A. B. C. D. 由x的取值而定 【答案】C 【解析】 【分析】采用作差法比较与的大小，先展开两个多项式，再通过差的符号判断大小关系． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 6. 如图，在等腰中，，分别以点A、点B为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接，直线与交于点D，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等腰三角形性质求出，再根据是的垂直平分线得出，求出，即可求出结论． 【详解】解：在等腰中，， ， 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ． 7. 如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全等三角形的性质得，，，可得，，再根据图形可知，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ，即， ∴， 由图形可知， ∴． 8. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（ ） A. 4 B. 4或 C. 8 D. 8或 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，对应系数即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解，且， ， ， ， 即或． 9. 如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分为等腰三角形的底边和为等腰三角形的一条腰两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： ①为等腰三角形的底边，符合条件的点C有个； ②为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C有个； 故符合条件的点C共有个． 10. 根据等式：， ， ， ……的规律， 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题需要先观察题干给出的等式，归纳出通用规律：．令，套用规律求出的值，再减去多余的，即可算出所求式子． 【详解】解：∵， ， ， …… ∴， 令，得 ， ∴， 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值，运用完全平方公式进行运算． 利用完全平方公式将 展开，代入已知条件，即可得的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知，则整数a的值为__． 【答案】或0或1 【解析】 【分析】本题考查了乘方以及零次幂运算，分类讨论，然后逐一列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴当时，解得； 当则，此时，满足题意，即 当，解得，此时，满足题意，即 故答案为：或0或1 13. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长等于________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质推出，将的周长转化成，即可求出答案． 【详解】解：垂直平分， ． ，，， ． 14. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解． 【详解】解：由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，平分，，，与的延长线交于点D，连接，为边上一点，连接，则以下结论： ①；②；③的最小值为3；④，其中所有正确结论的序号是：_____． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定和性质等知识． 延长、交于点，可证明，得，推导出，则，；根据垂线段最短结合角平分线的性质求得的最小值为3；作于点，于点，利用全等三角形的性质求得，推出平分，即可判断②说法正确． 【小问1详解】 解：延长、交于点， 是的角平分线，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，①说法正确； ，④说法正确； 当时，有最小值， ∵，平分，， ∴， ∴的最小值为3，③说法正确； 作于点，于点， ∵， ∴， ∴平分， ∴，②说法正确； 综上，①②③④都是正确的， 故答案为：①②③④． 三、解答题（共8小题，合计75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）简便计算：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据整式的乘法公式和运算法则先进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）在图中作，使和关于y轴对称； （2）写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） （3）点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）2，1；4，5；5，2 （3）如图，点P即为所求， 【解析】 【分析】（1）分别作出三角形的三个顶点关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可； （2）根据图形写出点、、的坐标即可； （3）作出点B关于x轴的对称点，再连接交x轴于点P，根据两点之间线段最短求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由图可知，，，； 【小问3详解】 略． 20. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得即可得到结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得； （3）利用（2）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，则， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. “数缺形时少直观、形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． （1）【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：________； 方法二：________； （2）【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为________； （3）【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知实数，满足：，，求的值． ②已知，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，乘法公式与图形面积的计算，理解图示面积的计算，整式的混合运算法则是关键． （1）根据图形面积的计算求解即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可； （3）①根据（2）中的计算代入求值即可；②根据上述计算得到，代入计算即可． 【详解】解：（1）方法一：，方法二：； （2）根据（1）中的计算得到，； （3）①根据（2）中的计算得到，， ∴ ； ②． 22. 综合与探究 【问题背景】 （1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点，，在直线上，若，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点．若，，请直接写出的面积． 【答案】（1）证明：∵直线，直线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴（） （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴（）． ∴，． ∴ （3）60 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，，由此可得，再根据分割法求出面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴， 同理可证明：， ∴． ∴． ∵ ， ∴的面积为60． 23. 【问题情境】在和中，，，． （1）【初步探究】如图①，当点，，在同一条直线上时，连接，，延长交于点，则与之间有什么关系？ （2）【类比探究】如图②，当点，，不在同一条直线上时，连接交于点，连接交于点，（1）中的结论是否仍然成立，为什么？ （3）【衍生拓展】如图③，在（2）的条件下，连接并延长交于点，的大小确定吗？若确定，求出的度数；若不确定，请说明理由． 【答案】（1），且 （2）（1）中的结论仍然成立． 理由如下： 设与相交于点，如图所示： ， ，即． 在和中， ， ． ，； 在和中，由三角形内角和定理可得， ，， ． ； 综上所述，与之间关系为，且； （3）的大小确定， 【解析】 【分析】（1）由三角形全等的判定与性质得出，且，再由三角形内角和定理推出即可得证； （2）类比（1）中求解过程即可确定答案； （3）过点作，，垂足分别为，，如图所示，由全等性质得到，，结合三角形面积公式得出，最后由角平分线的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：在和中， ， ． ，； 在和中，由三角形内角和定理可得， ，， ， ； 综上所述，与之间关系为，且； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的大小确定． 过点作，，垂足分别为，，如图所示： 由（2）知， ，． ，， ． ，， 平分． ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽河中学2026-2027学年度第一学期八年级期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上．每小题3分，共30分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的底边长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 4. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ） A. B. C. D. 5. ，，则M与N的大小关系为（ ） A. B. C. D. 由x的取值而定 6. 如图，在等腰中，，分别以点A、点B为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接，直线与交于点D，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（ ） A. 4 B. 4或 C. 8 D. 8或 9. 如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（ ）个． A. B. C. D. 10. 根据等式：， ， ， ……的规律， 则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，则___________． 12. 已知，则整数a的值为__． 13. 如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长等于________． 14. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③连接并延长交于点．则的长是________． 15. 如图，在中，，，平分，，，与的延长线交于点D，连接，为边上一点，连接，则以下结论： ①；②；③的最小值为3；④，其中所有正确结论的序号是：_____． 三、解答题（共8小题，合计75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）简便计算：． 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）在图中作，使和关于y轴对称； （2）写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） （3）点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 20. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 21. “数缺形时少直观、形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． （1）【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：________； 方法二：________； （2）【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为________； （3）【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知实数，满足：，，求的值． ②已知，求的值． 22. 综合与探究 【问题背景】 （1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点，，在直线上，若，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点．若，，请直接写出的面积． 23. 【问题情境】在和中，，，． （1）【初步探究】如图①，当点，，在同一条直线上时，连接，，延长交于点，则与之间有什么关系？ （2）【类比探究】如图②，当点，，不在同一条直线上时，连接交于点，连接交于点，（1）中的结论是否仍然成立，为什么？ （3）【衍生拓展】如图③，在（2）的条件下，连接并延长交于点，的大小确定吗？若确定，求出的度数；若不确定，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $