精品解析：山西大同市某校2025-2026学年八年级上学期期末教学质量监测数学试卷

2025-2026学年第一学期期末教学质量监测 年级 初二 学科 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷及答题卡相应的位置。 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 4．考试结束后，将试卷、答题卡全部交回。 第I卷 选择题（共30分） 一．选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 当时，分式无意义，则表示的代数式可以是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 根据工业和信息化部发布的《2024版重大技术装备推广应用指导目录》，中国首台氟化氩光刻机实现套刻不高于8纳米技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若（ ）是一个完全平方式，则括号中的项应是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明用四张纸片拼成一个大长方形，根据小明的拼图过程，小亮写出多项式分解因式的结果为，这个过程体现的数学思想主要是（ ） A. 分类讨论思想 B. 数形结合思想 C. 整体思想 D. 归纳思想 8. 下列各因式分解正确的是（　　） A. ﹣x2+（﹣2）2＝（x+2）（x﹣2） B. x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 C. x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2） D. （2x﹣1）2＝4x2﹣4x+1 9. 如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，，，则的长为（ ） A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 2.5 10. 如果关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 第II卷 非选择题（共90分） 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在题中横线上） 11. ______． 12. 一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm． 13. 为引导学生进一步坚定理想信念，传承红色基因，某校在清明节期间组织团员和学生干部步行前往距学校13.2千米的烈士陵园进行清明祭英烈活动，已知返回学校的平均速度是前往陵园的平均速度的1.1倍，且返回学校所用的时间比去时少18分钟．如果设前往陵园时的平均速度为x千米/小时，根据题意可列方程为______． 14. 若，，则______． 15. 如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为_____． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解分式方程：． 17. 先化简÷（－）,然后再从－2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值 18. 如图，已知三角形，点是上一点． （1）尺规作图：在上找到一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接．若，，且平分，求的度数． 19. 如图，在三角形 中， 是 边的垂直平分线，且分别交 于点 和 ， ，求证：是等边三角形. 20. 读例题完成以下解答： 例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式是， 求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为得 则： 所以 解得， 所以另一个因式为 的值是 （1）若，则（ ） （ ） （2）已知二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式及的值？ （3）若，则（ ） 21. 年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． （1）求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ （2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 22. 【阅读理解】若x满足，求的值． 解：设， 所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则____________； （2）若x满足，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，在中，，点D是边上的一点，在边上取一点C，使得，设．分别以为边在的外部作正方形、正方形，连结，若的面积为40，求正方形和正方形的面积和． 23. 综合与实践 在和中，，，，． 操作发现： （1）如图1，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 特例分析： （2）如图2，，点，，在一条直线上，连接，求的度数． （3）如图3，，点，，在一条直线上，连接． ①求的度数； ②过点作于点，直接写出，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末教学质量监测 年级 初二 学科 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷及答题卡相应的位置。 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 4．考试结束后，将试卷、答题卡全部交回。 第I卷 选择题（共30分） 一．选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 当时，分式无意义，则表示的代数式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分母为零无意义计算即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴的值为0， 当时，， ， ， ， 则表示的代数式可以是． 2. 下列各式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：选项A中，的分子、分母含有公因式，不是最简分式； 选项B中，，的分子、分母含有公因式，不是最简分式； 选项C中，，的分子、分母含有公因式，不是最简分式； 选项D中，与无公因式，是最简分式． 3. 汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等可得，然后利用三角形的外角性质即可得解． 【详解】解：由题意可得，如图， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 根据工业和信息化部发布的《2024版重大技术装备推广应用指导目录》，中国首台氟化氩光刻机实现套刻不高于8纳米技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，理解“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，n是正数；当原数的绝对值小于时，n是负数．”是解题的关键． 【详解】解：； 故选：A． 5. 若（ ）是一个完全平方式，则括号中的项应是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方式的特征“首平方，尾平方，首尾2倍放中央”即可确定括号中的项． 【详解】解：∵（ ）是一个完全平方式， ∴（ ）， 整理，得（ ）， 故括号中的项应是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了完全平方式的知识，理解并掌握完全平方式的特征是解题关键． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，，本选项运算错误； B选项，，本选项运算错误； C选项，，本选项运算错误； D选项，，本选项运算正确． 7. 如图，小明用四张纸片拼成一个大长方形，根据小明的拼图过程，小亮写出多项式分解因式的结果为，这个过程体现的数学思想主要是（ ） A. 分类讨论思想 B. 数形结合思想 C. 整体思想 D. 归纳思想 【答案】B 【解析】 【分析】题目利用图形面积关系解释代数恒等式，需识别数形对应关系.  【详解】解：四个小纸片的面积之和为， 拼成的大长方形长为，宽为， 面积为； 由面积相等可得． 该过程将代数式与几何图形结合，体现了数形结合思想． 8. 下列各因式分解正确的是（　　） A. ﹣x2+（﹣2）2＝（x+2）（x﹣2） B. x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 C. x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2） D. （2x﹣1）2＝4x2﹣4x+1 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解的方法判断即可． 【详解】A、原式＝（2+x）（2﹣x），不符合题意； B、原式不能分解，不符合题意； C、原式＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2），符合题意； D、原式不是分解因式，不符合题意， 故选C． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 9. 如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，，，则的长为（ ） A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．由已知条件判定的等腰三角形，且；由等角对等边判定，则易求． 【详解】解：平分，， 则，， 又∵， ∴， ． 又， ． ． ，， ， 故答案是：2． 10. 如果关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】方程两边同乘，转化为整式方程，求出方程的解，结合方程的解是非负数列出不等式，求出a的取值，再根据分式方程分母不为0，进行求解．注意解题需兼顾解为非负数、分母不为0两个条件. 【详解】解：方程两边同乘，得， 展开得， 移项、合并同类项得， 解得， ∵分式方程的解是非负数， ∴， 解得， ∵分式方程分母不为0， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 第II卷 非选择题（共90分） 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在题中横线上） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了0指数和负整数指数幂，熟知这二者的运算法则是关键； 根据0指数和负整数指数幂的运算法则求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm． 【答案】22 【解析】 【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长． 【详解】解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm． 故填22． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 13. 为引导学生进一步坚定理想信念，传承红色基因，某校在清明节期间组织团员和学生干部步行前往距学校13.2千米的烈士陵园进行清明祭英烈活动，已知返回学校的平均速度是前往陵园的平均速度的1.1倍，且返回学校所用的时间比去时少18分钟．如果设前往陵园时的平均速度为x千米/小时，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设前往陵园时的平均速度为x千米/小时，则返回学校的平均速度是1.1x千米/小时，根据“返回学校所用的时间比步行前往距学校13.2千米的烈士陵园时少18分钟”列出方程即可． 【详解】解：设前往陵园时的平均速度为x千米/小时，则返回学校的平均速度是1.1x千米/小时 ∵返回学校所用的时间比步行前往距学校13.2千米的烈士陵园时少18分钟 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到题目中的相等关系是解题的关键． 14. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题． 由同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的运算法则进行化简，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在等腰三角形中，，在直线左侧，满足且，垂足为C．连接，若的面积为16，则的长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关判定定理和性质成为解题的关键． 如图：过A作于E，过D作于E，即，先证明可得，再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得，最后根据的面积为16列方程求解即可． 【详解】解：如图：过A作于E，过D作于E，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∵的面积为16， ∴，即， 解得：（已舍弃负值）． 故答案为：8． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的四则运算和解分式方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据多项式乘以多项式和完全平方公式将括号展开再合并即可； （2）将分式方程去分母得整式方程，求出整式方程的解，进行检验、判断即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以，分式方程的解为． 17. 先化简÷（－）,然后再从－2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值 【答案】，4 【解析】 【分析】先将原分式进行化解，化解过程中注意不为0的量，根据不为0的量结合x的取值范围得出合适的x的值，将其代入化简后的代数式中即可得出结论． 【详解】解：原式===． 其中，即x≠﹣1、0、1． 又∵﹣2＜x≤2且x为整数， ∴x=2． 将x=2代入中得：==4． 【点睛】考点：分式的化简求值． 18. 如图，已知三角形，点是上一点． （1）尺规作图：在上找到一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接．若，，且平分，求的度数． 【答案】（1）如图，点即为所求作的点． （2） 【解析】 【分析】（1）要作，本质是：以为顶点、为一边，作一个角等于，角的另一边交于点． （2）在（1）的条件下，，可得，再由两直线平行内错角相等得，利用三角形内角和求出，再由角平分线得,即可得的度数． 【小问1详解】 要在上找到一点，使得， ∵ 在中有， 在中有， 又∵, ∴ 以点为圆心任意长为半径作弧分别交于点，交于点， 以点为圆心以为半径作弧交于点， 以点为圆心以为半径作弧，交前弧于点， 连接并延长，交于点， ∴点即为所求作的点． 作图略． 【小问2详解】 在（1）的条件下，， ∴ ∴ ∵在中有， 又∵，， ∴, ∵平分， ∴ 即 19. 如图，在三角形 中， 是 边的垂直平分线，且分别交 于点 和 ， ，求证：是等边三角形. 【答案】 证明：∵DE垂直平分线段AC， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=30°， ∴∠ADB=∠DAC+∠C=60°， ∵∠B=60°， ∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=60°， ∴∠BAD=∠B=∠ADB=60°， ∴△ABD是等边三角形． 【解析】 【分析】根据三个角是60°的三角形是等边三角形进行证明即可． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查等边三角形的判定，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 20. 读例题完成以下解答： 例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式是， 求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为得 则： 所以 解得， 所以另一个因式为 的值是 （1）若，则（ ） （ ） （2）已知二次三项式分解因式后，有一个因式是，求另一个因式及的值？ （3）若，则（ ） 【答案】（1） ， （2） 另一个因式为，的值为 （3） 【解析】 【分析】（1）将等式右侧乘积式转化为多项式，对比同类项系数求解； （2）设出未知一次因式，将乘积式转化为多项式，对比系数列方程求解； （3）将等式左侧乘积式转化为多项式，得到与的值，整体代入代数式计算.  【小问1详解】 解： ∵ ， ∴ ， ∴ ，； 【小问2详解】 解： 设另一个因式为， 则， 化简，得 ∴， 解得 ∴ 另一个因式为，的值为 ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴，， ∴. 21. 年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． （1）求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ （2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】（1）甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元； （2）最多可以采购个乙种型号玩偶． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程和根据各数量之间的关系列出不等式的方程． （1）先设甲型玩偶单价为元，乙型玩偶的单价为元，再求出各自的个数，根据甲型玩偶的数量比乙型玩偶的数量多个列分式方程即可； （2）先设采购个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据总价单价数量列不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得 ， 两边同乘得，， ， 解得． 经检验是分式方程的解． ． 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． 【小问2详解】 解：设可以采购个乙型玩偶， 根据题意得，， ， ， 解得． 答：最多可以采购个乙种型号玩偶． 22. 【阅读理解】若x满足，求的值． 解：设， 所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则____________； （2）若x满足，求的值； 【拓展应用】 （3）如图，在中，，点D是边上的一点，在边上取一点C，使得，设．分别以为边在的外部作正方形、正方形，连结，若的面积为40，求正方形和正方形的面积和． 【答案】（1）328 ；（2）16 ；（3）164 【解析】 【分析】本题考查了换元法、完全平方公式的应用．解决本题的关键是利用完全平方公式把代数式进行变形求值． （1）设，，从而可得，，根据求出结果； （2）设，，从而可得，，根据完全平方公式进行变形可得，所以可得，从而可求； （3）根据已知可知，根据的面积为40，可得，设，可得、，利用完全平方公式进行变形可得：． 【详解】解：（1）设，， 则，， ， ， （2）设，， 则， ∵， ， ， ， ， 解得：， ； （3）由题意得：． ∴． ∵的面积为40， ∴， ∴， 设， ∴， ， ∴ 答：正方形和正方形的面积和为164． 23. 综合与实践 在和中，，，，． 操作发现： （1）如图1，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 特例分析： （2）如图2，，点，，在一条直线上，连接，求的度数． （3）如图3，，点，，在一条直线上，连接． ①求的度数； ②过点作于点，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）， 证明：，，， ， ， 在和中 ， ()， ； （2）； （3）①， ② 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握类比推理的方法是解题的关键． （1）可证，从而可证，即可求解； （2）可证，可求，即可求解； （3）①可证，从而可证，可求，即可求解；②由，可得，再结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵，，， ∴和是等边三角形， ∴， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ∴， ， （3）①， ，， ∴， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， ， ， ②∵， ∴， ， ． ∵，，， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $