2026-2027学年苏科版数学八年级上册期中考前练习

2026八年级（上）期中考前练习（苏科版新）解析 1．（2026秋•江宁区校级月考）三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（　　） A．36 B．40 C．44 D．50 【解答】解：设三角形第三边长为， 由三角形三边关系定理得到：， ， 第三边长为偶数， 可能的值为8、10、12、14， ， 故选：． 2．（2026秋•海州区校级月考）如图，在△中，．线段、分别为△的高和中线，下列说法中错误的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：线段为△的高， ， ， ， ，故选项正确，不符合题意； 在△中，，为△的中线， ， ， ， ，故选项正确，不符合题意； ， ，故选项正确，不符合题意； 根据题中条件无法推出，故无法推出，故选项错误，符合题意； 故选：． 3．（2026秋•鼓楼区校级月考）如图，是△中边上的中线，、分别是、的中点，若△的面积为，则△的面积是． A．6 B．3 C．1.5 D．1 【解答】解：是△中边上的中线， ， 是的中点， ， 是的中点， ， 故选：． 4．（2026秋•宿城区校级月考）如图，△三边上的中线，，相交于点，若△的面积为24，则图中阴影部分的面积是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【解答】解：设，， 图中阴影部分的面积是：， 是△的中线， ， △的边上的高与△的边上的高相同， ， ， 同理：， ， ，， △的边上的高与△的边上的高相同，△的面积为24， ， 同理：， ①，②， ①②，得：， ， 图中阴影部分的面积是8． 故选：． 5．（2026春•淮阴区期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：图中的两个三角形全等， ． 故选：． 6．（2025秋•丹阳市期末）如图，△△，点在上，下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：△△， ，，， ， 即， 即选项、选项、选项正确，选项不一定正确， 故选：． 7．（2026秋•东台市月考）如图，点，，在同一直线上，若△△，，，则等于 　4　 ． 【解答】解：△△， ， ， ， 故答案为：4． 8．（2026秋•浦口区校级月考）如图，已知△△△，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：△△， ， ， △△， ， ， ． 故选：． 9．（2026秋•高新区校级月考）如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，、两点同时出发，的运动速度为　6或2　 分钟时，△与△全等． 【解答】解：设的运动速度为，运动分钟后△与△全等，由题意可得： 则，，则， 分两种情况： ①若，， ， ； ②若，， ， ． 故答案为：6或2． 10．（2025秋•江阴市校级月考）如图，，，下列能判定△△的依据是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，，， △△， 故选：． 11．（2025秋•秦淮区校级期末）如图，在△中，，以点为圆心、长为半径画弧，与的延长线相交于点，可以判定△△，依据是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，， ， △和△是直角三角形， 根据画法得，， 在△和△中， ， △△， 故选：． 12．（2026秋•姑苏区校级月考）如图，在△和△中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定△△，则可以添加的条件是： ． 【解答】解：， ，即， 要用“”直接判定△△， 需要添加的条件是， 故答案为：． 13．（2026秋•栖霞区校级作业）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【解答】解：、、中的两块玻璃只能知道三角形玻璃的一个角的大小，不能订制和原来一样的大小的玻璃，故、、不符合题意； 、由判定能订制和原来一样的大小的玻璃，故符合题意． 故选：． 14．（2026秋•宿城区校级月考）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定△△的依据是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：角尺两边相同的刻度分别与点，重合， ， 在△和△中， ， △△， ， 射线就是的平分线， 故选：． 15．（2025秋•沭阳县期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有△（如图的卡片，然后要求同学们画一个△，使得△△．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由图示知，小宏第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为， 综上所述，只有选项正确，符合题意， 故选：． 16．（2026秋•海州区校级月考）如图，在△中，，△的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．有下列结论：①；②△△；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：在△中，， ， 、分别平分、， ，， ， ，故结论①正确； ， 又， ， ， ， 在△和△中， ， △△，故结论②正确； ，，， ， 在△和△中， ， △△， ，， 是△的外角， ， ，故结论③错误； 又，， ， 即，故结论④正确， 正确的个数是3个． 故选：． 17．（2026•滨湖区模拟）如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：△△； （2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 在△和△中 ， △△； （2）解：△△， （全等三角形对应边相等）， ， ． 18．（2026秋•苏州校级月考）如图，已知在中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为、． （1）如图①过的直线与斜边不相交时，求证：； （2）如图②过的直线与斜边相交时，其他条件不变，若，，求：长． 【解答】（1）证明：，， ， ，， ， 在和中， ，，， ． ，． ． （2）解：，， ， ，， ， 在和中， ，，， ． ，． ． 19．（2024秋•海安市月考）如图，在△中，，将△绕点顺时针旋转得到△，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【解答】（1）证明：由题意可得：，， ， ， 平分． （2）解：，， ， ， ， ，，， ， ． 20．（2025秋•秦淮区校级作业）如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：； （2）请你确定的形状，并证明你的结论． 【解答】证明：（1）、分别是、两边上的高， （垂直定义）， （同角的余角相等）， 又，， ； （2）连接，则是等腰直角三角形． 证明如下： ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 21．（2006秋•启东市期末）如图，四边形中，，平分，，． （1）根据给出的条件，找出图中一对全等三角形并证明； （2）探求和的大小关系，并加以证明． 【解答】解：（1）． 平分，，， ． 又， ． （2）， ． ， ． 22．（2026秋•海安市月考）如图，在△中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，则△的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【解答】解：是的垂直平分线， ， △的周长为：， 故选：． 23．（2025秋•锡山区校级月考）如图，△中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（　　） ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①过点作于， 平分，平分，，，， ，， ， ，， 点在的角平分线上，故①正确； ②，， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 同理：△△， ， ， ，②正确； ③平分，平分， ，， ，③正确； ④由②可知△△，△△ ，， ，故④正确， 故选：． 24．（2026秋•兴化市校级月考）如图，△的边，的垂直平分线，相交于点，点，在边上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，分别为边，的垂直平分线， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 25．（2026秋•宿城区校级月考）如图，平分，于点，点在上，若，，则△的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【解答】解：过作于， 平分，于点， ， ， △的面积． 故选：． 26．（2025春•洪泽区校级月考）如图，在△中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则△的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【解答】解：连接，如图， ，，是△的三条边， ， 为边的垂直平分线，，，， ， △的周长， 故选：． 27．（2026秋•浦口区校级月考）已知，△是三边都不相等的三角形，点是三个内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当、同时在不等边△的内部时，若，那么的值是　165　 ． 【解答】解：连接，延长到， 点是三边垂直平分线的交点， ， ，， ， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：165． 28．（2025秋•姑苏区校级月考）如图，在△中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 【解答】证明：，， ， 是的中点， ， 在△和△中， ， △△， ， 于，于点， 点在的角平分线上， 平分． 29．（2025秋•工业园区期末）如图，与相交于点，且，平分，且． （1）若，求的度数； （2）画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 【解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 平分， ； （2），理由如下： 过点作的平分线， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 30．（2025秋•苏州月考）如图1，两条交叉马路，中间区域建有，两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心，使得交易中心到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房，的距离也相等．如何确定交易中心的位置？如图2，利用尺规作图求作点（不写作法，保留作图痕迹）． 【解答】解：如图，点为所求． 作角平分线和线段的垂直平分线，两者的交点就是点的位置． 31．（2026春•灌云县期中）如图，在△中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，． （1）若△的周长为，△的周长为．求线段、的长； （2）若，求的度数． 【解答】解：（1）是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ； 是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， ； （2）， ， ，， ，， ． 32．（2025春•秦淮区校级月考）如图，在△中，，为△内一点，过点的直线分别交，于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由条件可知， 在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ，， ，， ，， ， ． 故选：． 33．（2023秋•平山县期末）等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的底角为（　　） A． B．或 C．或 D． 【解答】解：当是等腰三角形的顶角时，则底角为； 当是底角时亦可． 故选：． 34．（2025秋•海州区校级期末）如图，在△中，，点是，平分线的交点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△中，， ， 点是，平分线的交点， ，， ， ， 故选：． 35．（2026秋•崇川区校级月考）如图，△中，，，将△沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，且折叠后△为等腰三角形． （1）　67.5　 ． （2）如果折叠后△也为等腰三角形，那么　　 ． 【解答】解：（1）△中，，，将△沿折叠，使点落在直角边上的点处，则： 折叠后△为等腰三角形，且， 此时只能满足， ； 由折叠的性质可得， ， ， ； 故答案为：67.5； （2）设，则， 由折叠的性质可得， 由（1）得， ， ， 当时，则， ， ， 解得； 当时，则， ， ， 解得； 当时，则， ，此时方程无解，不符合题意； 故答案为：或． 36．（2025秋•南通校级月考）如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使△为等腰三角形，则满足条件的点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：如图所示，满足条件的点共有4个． 故选：． 37．（2020秋•鼓楼区期末）如图，中，，为边的中点，，垂足为．求证：． 【解答】证明：，为边的中点， ， ， ， ，， ， ， ． 38．（2026秋•宿城区校级月考）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 39．（2024秋•海门区校级月考）在直角三角形纸片中，，，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点落在直角边上，记落点为，设折痕与、边分别交于点、． （1）若，求的度数； （2）若折叠后的△为等腰三角形，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，若△也为等腰三角形，求纸片中的度数． 【解答】解：（1）由折叠的性质得， ， ， ； （2）如图，连接， △为等腰三角形，， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ， ， ， 若，则， ， ， ， ， 若，则， ， （不合题意舍去）， 综上所述：或． 40．（2025秋•鼓楼区期中）在中，、的平分线相交于点，过点作，分别交、于点、．请说明． 【解答】解：在中，和分别平分和， ，， ， ，， ，， ， ． 41．（2025秋•鼓楼区校级月考）（1）如图①，若，，，求△的面积； （2）如图②，若，，，求△的面积（用含，，的代数式表示）； （3）如图③，四边形，若，，对角线、交于点，它们所围成的锐角为，则 四边形的面积为 （用含，，的代数式表示）． 【解答】解：（1）如图1，过点作于点， 在△中，，， ， ， ． （2）如图2，过点作于点， 在△中，，， ， ， ． （3）如图3，分别过点、作于点，于点， ， 在△中，，， 在△中，，， ． 故答案为：． 42．（2026秋•姜堰区校级月考）“3的算术平方根”用符号表示为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， 的算术平方根用符号表示为． 故选：． 43．（2019秋•姑苏区期中）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：、，故此选项错误； 、，故此选项错误； 、，正确； 、，故此选项错误； 故选：． 44．（2026秋•武进区校级月考）求下列等式中的值： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， ， 解得，； （2）， ， ， 解得． 45．（2025秋•鼓楼区校级月考）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， 故选：． 46．（2026秋•南京校级月考）下面四个数中，最接近整数5的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，由于， 、、相比，更接近， ，，而， ， ， ， ，，，， ， ， 即， ，，而， ， ， ， ， ， 即， 与相比，更接近， 即更接近5， 故选：． 47．（2026•南京三模）面积为13的正方形的边长是，则的值在以下哪个范围内（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得： ， ， ， ， ，， ， 的值在范围内， 故选：． 48．（2019春•江宁区校级月考）如果，则的平方根是　　． 【解答】解：， ，， 解得，，， ， 的平方根是， 故答案为：． 49．（2026春•海门区校级期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是 A． B． C．2 D．3 【解答】解：由所给的程序可知，当输入64时，， 是有理数， 取其立方根可得到，， 是有理数， 取其算术平方根可得到， 是无理数， ． 故选：． 50．（2026秋•昆山市校级月考）已知的平方根是，的立方根是3，是的算术平方根． （1）求的平方根； （2）若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【解答】解：（1）的平方根是，的立方根是3，是的算术平方根． ， 解得， ， 解得， ， ， 的平方根是； （2）由（1）可得，，， 是的算术平方根， ， ， 的整数部分，小数部分， ． 故答案为：． 51．（2025秋•淮安期末）图1是第七届国际数学教育大会会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图演化而成的．如果图2中的，那么的长为（　　） A． B．4 C．3 D． 【解答】解：， 由勾股定理可得， ， ， ， ． 故选：． 52．（2025秋•赣榆区月考）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断△的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 【解答】解：（1），，， ， △是直角三角形； （2），，且， 由勾股定理可得，， ，，，△是直角三角形， 边上的高， 滚轮半径， 购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 53．（2025秋•泗洪县期中）如图，在四边形中，，、分别是、的中点． （1）请你猜想与的位置关系，并给予证明． （2）若，，求的长． 【解答】解：（1），证明如下： 连接、， ，为中点， ，， ， 是的中点， ； （2），，，、分别是边、的中点， ，， 由（1）可知，， ， 由勾股定理得：， 即的长为4． 54．（2025秋•丹徒区期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）　400　 ； （2）过点作，垂足为，　　 ，海港　　 （填“会”、“不会” 受台风影响； （3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【解答】解：（1）， ， ，， ， 故答案为：400； （2）如图，海港受台风影响，理由如下： △是直角三角形，， △的面积， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港受台风影响， 故答案为：240，会； （3）如图，当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为20千米小时， （小时）， 答：台风影响该海港持续的时间有7小时． 55．（2023春•镇江期末）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面，圆盘半径为．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点时，小丽到点，此时，且小丽距离地面． （1）△与△全等吗？为什么？ （2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 【解答】解：（1）△△，理由如下： ，， ， ， ， ， 又， △△； （2）△△， ， 小丽到点，且小丽距离地面， ， 又，， ， ， ， ， 两人所在座舱距离地面的高度差为． 56．（2026春•仪征市期中）综合与实践． 【教材呈现】七年级教材下册“第8章整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本38页，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图． 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【实践活动】 活动材料：如图2，4张型直角三角形纸片． 活动要求：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 活动内容： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，它是由4张型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，最长的斜边为．试探究、、之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，大正方形的面积为17，求小正方形的面积． 【拓展探究】如图3，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，确定答案后将所有线加粗加黑） 【解答】解：【教材呈现】由题意得，， 故答案为：； 【实践活动】（1），理由如下： 大正方形的面积， ； （2）由题意，大正方形的面积为17， ． 小正方形的面积 ； 【拓展探究】如图所示： 57．（2025•海安市校级开学）明明在探索直角三角形三边的关系时发现：直角三角形两条直角边的平方和等于第三条边的平方，例如：如图①，，所以．（单位：，结果保留 如果直角三角形中，，，，回答下面的问题． （1）若以为边向外作正方形（如图②，则正方形的面积是　676　 ． （2）若分别以、、为直径向外作半圆（如图③，三个半圆的面积和是　　． （3）若分别以、、为直径向外作半圆（如图④，请求出阴影部分的面积． 【解答】解：（1），，， ， 以为边向外作正方形， 正方形面积； 故答案为：676； （2）设以、、为直径的半圆面积分别为、、， ， 同理，， ， ， 三个半圆面积和， ； 故答案为：； （3）由（2）知， 由图④的面积关系可知， ， ， ， ， ， ， ． 58．（2025秋•工业园区校级月考）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达：． （1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为的正方形，则四边形是一个 　正方形　（填“长方形”或“正方形” ，其面积为 　　（用含、的代数式表示）； （2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明的正确性； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，利用上面的结论求的长． 【解答】解：（1）由题意知：， ， 四边形是一个正方形，且边长为， 故答案为：正方形，； （2）， ， 整理，得， 故的正确； （3）是长方形，是由折叠得到的， ，，， 在中， ， 由勾股定理，得， ， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， 即的长为． 59．（2025秋•工业园区校级月考）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证明方法，如图②，△与△按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）问中若时，，，，，设，求的值． 【解答】解：（1）， ， ， 即； （2）设千米，则千米， 在△中，由勾股定理得， 解得， 即千米， （千米）， 新路比原路少0.1千米； （3）设，则， 在△中，由勾股定理得， 在△中，由勾股定理得， ， 解得：． 60．（2025秋•工业园区期末）通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为，如图1，构造△，比较与的大小，其理由如下：因为在△中，点，，都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 【解答】解：，理由如下： 如图2所示， 由勾股定理得：，，， 在△中，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026八年级（上）期中考前练习（苏科版新） 一．三角形 （1）三角形的边角 1．（2026秋•江宁区校级月考）三角形两边长为5和11，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为（　　） A．36 B．40 C．44 D．50 2．（2026秋•海州区校级月考）如图，在△中，．线段、分别为△的高和中线，下列说法中错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026秋•鼓楼区校级月考）如图，是△中边上的中线，、分别是、的中点，若△的面积为，则△的面积是． A．6 B．3 C．1.5 D．1 4．（2026秋•宿城区校级月考）如图，△三边上的中线，，相交于点，若△的面积为24，则图中阴影部分的面积是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 （2）全等三角形性质 5．（2026春•淮阴区期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•丹阳市期末）如图，△△，点在上，下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026秋•东台市月考）如图，点，，在同一直线上，若△△，，，则等于 　　 ． 8．（2026秋•浦口区校级月考）如图，已知△△△，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（2026秋•高新区校级月考）如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，、两点同时出发，的运动速度为　　分钟时，△与△全等． （3）全等三角形的判定 10．（2025秋•江阴市校级月考）如图，，，下列能判定△△的依据是（　　） A． B． C． D． 11．（2025秋•秦淮区校级期末）如图，在△中，，以点为圆心、长为半径画弧，与的延长线相交于点，可以判定△△，依据是（　　） A． B． C． D． 12．（2026秋•姑苏区校级月考）如图，在△和△中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定△△，则可以添加的条件是：　　 ． 13．（2026秋•栖霞区校级作业）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 14．（2026秋•宿城区校级月考）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．在验证结论时，判定△△的依据是（　　） A． B． C． D． 15．（2025秋•沭阳县期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有△（如图的卡片，然后要求同学们画一个△，使得△△．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A． B． C． D． 16．（2026秋•海州区校级月考）如图，在△中，，△的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．有下列结论：①；②△△；③；④；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2026•滨湖区模拟）如图，点、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：△△； （2）若，，求的长． 18．（2026秋•苏州校级月考）如图，已知在中，，，分别过、向过的直线作垂线，垂足分别为、． （1）如图①过的直线与斜边不相交时，求证：； （2）如图②过的直线与斜边相交时，其他条件不变，若，，求：长． 19．（2024秋•海安市月考）如图，在△中，，将△绕点顺时针旋转得到△，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 20．（2025秋•秦淮区校级作业）如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：； （2）请你确定的形状，并证明你的结论． 21．（2006秋•启东市期末）如图，四边形中，，平分，，． （1）根据给出的条件，找出图中一对全等三角形并证明； （2）探求和的大小关系，并加以证明． （4）垂直平分线与角平分线 22．（2026秋•海安市月考）如图，在△中，的垂直平分线交于点，交于点，若，，则△的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 23．（2025秋•锡山区校级月考）如图，△中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（　　） ①平分；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（2026秋•兴化市校级月考）如图，△的边，的垂直平分线，相交于点，点，在边上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 25．（2026秋•宿城区校级月考）如图，平分，于点，点在上，若，，则△的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 26．（2025春•洪泽区校级月考）如图，在△中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则△的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 27．（2026秋•浦口区校级月考）已知，△是三边都不相等的三角形，点是三个内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当、同时在不等边△的内部时，若，那么的值是　　． 28．（2025秋•姑苏区校级月考）如图，在△中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 29．（2025秋•工业园区期末）如图，与相交于点，且，平分，且． （1）若，求的度数； （2）画的平分线，与有怎样的位置关系？为什么？ 30．（2025秋•苏州月考）如图1，两条交叉马路，中间区域建有，两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心，使得交易中心到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房，的距离也相等．如何确定交易中心的位置？如图2，利用尺规作图求作点（不写作法，保留作图痕迹）． 31．（2026春•灌云县期中）如图，在△中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，． （1）若△的周长为，△的周长为．求线段、的长； （2）若，求的度数． 32．（2025春•秦淮区校级月考）如图，在△中，，为△内一点，过点的直线分别交，于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（　　） A． B． C． D． （5）等腰三角形 33．（2023秋•平山县期末）等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的底角为（　　） A． B．或 C．或 D． 34．（2025秋•海州区校级期末）如图，在△中，，点是，平分线的交点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 35．（2026秋•崇川区校级月考）如图，△中，，，将△沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，且折叠后△为等腰三角形． （1）　　 ． （2）如果折叠后△也为等腰三角形，那么　　 ． 36．（2025秋•南通校级月考）如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使△为等腰三角形，则满足条件的点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（2020秋•鼓楼区期末）如图，中，，为边的中点，，垂足为．求证：． 38．（2026秋•宿城区校级月考）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 39．（2024秋•海门区校级月考）在直角三角形纸片中，，，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点落在直角边上，记落点为，设折痕与、边分别交于点、． （1）若，求的度数； （2）若折叠后的△为等腰三角形，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，若△也为等腰三角形，求纸片中的度数． 40．（2025秋•鼓楼区期中）在中，、的平分线相交于点，过点作，分别交、于点、．请说明． 41．（2025秋•鼓楼区校级月考）（1）如图①，若，，，求△的面积； （2）如图②，若，，，求△的面积（用含，，的代数式表示）； （3）如图③，四边形，若，，对角线、交于点，它们所围成的锐角为，则四边形的面积为　　 （用含，，的代数式表示）． 二．实数 42．（2026秋•姜堰区校级月考）“3的算术平方根”用符号表示为（　　） A． B． C． D． 43．（2019秋•姑苏区期中）下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 44．（2026秋•武进区校级月考）求下列等式中的值： （1）； （2）． 45．（2025秋•鼓楼区校级月考）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 46．（2026秋•南京校级月考）下面四个数中，最接近整数5的是（　　） A． B． C． D． 47．（2026•南京三模）面积为13的正方形的边长是，则的值在以下哪个范围内（　　） A． B． C． D． 48．（2019春•江宁区校级月考）如果，则的平方根是　　． 49．（2026春•海门区校级期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是 A． B． C．2 D．3 50．（2026秋•昆山市校级月考）已知的平方根是，的立方根是3，是的算术平方根． （1）求的平方根； （2）若的整数部分是，小数部分是，求的值． 三．勾股定理 51．（2025秋•淮安期末）图1是第七届国际数学教育大会会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图演化而成的．如果图2中的，那么的长为（　　） A． B．4 C．3 D． 52．（2025秋•赣榆区月考）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断△的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 53．（2025秋•泗洪县期中）如图，在四边形中，，、分别是、的中点． （1）请你猜想与的位置关系，并给予证明． （2）若，，求的长． 54．（2025秋•丹徒区期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）　　 ； （2）过点作，垂足为，　　 ，海港　　 （填“会”、“不会” 受台风影响； （3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 55．（2023春•镇江期末）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面，圆盘半径为．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点时，小丽到点，此时，且小丽距离地面． （1）△与△全等吗？为什么？ （2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差． 56．（2026春•仪征市期中）综合与实践． 【教材呈现】七年级教材下册“第8章整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本38页，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图． 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式：　　 ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【实践活动】 活动材料：如图2，4张型直角三角形纸片． 活动要求：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 活动内容： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，它是由4张型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，最长的斜边为．试探究、、之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，大正方形的面积为17，求小正方形的面积． 【拓展探究】如图3，是一幅未画完的“弦图”，仅用无刻度的直尺，画完这幅“弦图”．（用铅笔画图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，确定答案后将所有线加粗加黑） 57．（2025•海安市校级开学）明明在探索直角三角形三边的关系时发现：直角三角形两条直角边的平方和等于第三条边的平方，例如：如图①，，所以．（单位：，结果保留 如果直角三角形中，，，，回答下面的问题． （1）若以为边向外作正方形（如图②，则正方形的面积是　　． （2）若分别以、、为直径向外作半圆（如图③，三个半圆的面积和是　　． （3）若分别以、、为直径向外作半圆（如图④，请求出阴影部分的面积． 58．（2025秋•工业园区校级月考）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达：． （1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为的正方形，则四边形是一个 　　（填“长方形”或“正方形” ，其面积为 　　（用含、的代数式表示）； （2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明的正确性； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，利用上面的结论求的长 59．（2025秋•工业园区校级月考）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证明方法，如图②，△与△按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）问中若时，，，，，设，求的值． 60．（2025秋•工业园区期末）通过学习，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．例如：在正方形网格中（每个小正方形的边长都为，如图1，构造△，比较与的大小，其理由如下：因为在△中，点，，都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由， 1 学科网（北京）股份有限公司 $