4.7相似三角形的性质教学设计2026-2027学年北师大版数学九年级上册

姓名

学科段

初中数学

授课班级

职称

教龄

授课时间

课题

4.7　相似三角形的性质

教材分析

本节是第四章第7节“相似三角形的性质”，教材第106—112页。

教材以一个“按 1∶2 建模型房梁”的情境引出问题：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线有什么关系？先由“对应高的比等于相似比”展开证明（图4—30），再类比得到对应中线、对应角平分线的结论（定理1）；在此基础上研究周长比与面积比（图4—33 的推导），得到“周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方”（定理2）。

本节是相似三角形判定的自然延续：判定解决“是不是相似”，性质解决“相似之后有哪些数量关系”，是后续解决测高、面积、位似等问题的主要工具。

核心素养目标

1. 推理能力：能证明“相似三角形对应高的比等于相似比”，并类比得出对应中线、对应角平分线的结论。

2. 运算能力：能在相似三角形中由相似比求线段比、周长比、面积比，反之由面积比求相似比。

3. 几何直观：能借助“对应高把相似三角形分成两对相似三角形”的图形结构理解性质。

4. 模型观念：把测量、图纸、地图等实际问题转化为“相似比—面积比”的计算模型。

教学重点

1. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；

2. 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

教学难点

1. “对应高的比等于相似比”的证明（需要两次使用相似）；

2. 区分“周长比等于相似比”与“面积比等于相似比的平方”，避免漏平方；

3. 面积比与相似比的相互转化（如面积比 1∶2 时相似比为 ）。

学情分析

1. 已有基础：学生已掌握相似三角形的判定与“相似三角形对应边成比例”，会做简单的比例计算。

2. 可能困难：知道结论但说不清理由；面积比与相似比混淆；遇“面积比是 ”时求不出相似比（需开方）。

3. 教学对策：用“对应高把大三角形分成两个小三角形”的图形反复指认；用表格对比“线段比—周长比—面积比”，并配一道反求相似比的练习。

教学方法

情境驱动与类比探究相结合：从一个房梁模型出发，先证“高”，再类比“中线、角平分线”，最后探究“周长、面积”；讲练结合，当堂反馈。

课时安排

1 课时（40 分钟）

教学资源

多媒体课件、几何画板演示文件、直尺与三角板、教材第106—112页（习题4.11、4.12）。

教学流程设计

任务/环节

教学内容与问题设计

教师活动

学生活动

学习评价设计

环节一

情境导

情境（教材第106页）：小王依据图纸上的

展示房梁图纸与模型图片，板书课题

观察图纸，说出“立柱垂直于横梁，

能否把“立柱”识别为“对应高”；能否

入
提出问题

△ABC，以 1∶2 的比例建造了模型房梁 △A′B′C′，CD、C′D′ 分别是它们的立柱。

问题1：△ACD 与 △A′C′D′ 相似吗？为什么？如果相似，指出相似比。

问题2：如果 cm，模型房梁的立柱 C′D′ 有多高？

问题3：已知 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，对应高的比是多少？对应中线、对应角平分线的比呢？

；把“立柱”抽象为“对应高”，引导学生把实际问题转化为数学问题。

就是三角形的高”；猜想对应高的比等于相似比，并说明猜想的理由。

提出“先证再算”的思路。

设计意图：用真实图纸唤起经验，把“相似之后还有什么”变成学生自己想问的问题，为性质的探究定向。

环节二

探究定理
对应高的比

已知：如图4—30，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，CD、C′D′ 分别是它们的高。

求证：。

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠A=∠A′，。

∵CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，∴∠ADC=∠A′D′C′=90°。

∴△ACD∽△A′C′D′（两角分别相等），∴。

定理　相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。

引导学生找“含高的那一对小三角形”；强调“两次相似”：先由大三角形相似得角相等，再证小三角形相似。

在图上标出两个直角；独立写出证明；说出“为什么先证 △ACD∽△A′C′D′”。

能否找准“对应高所在的三角形”；证明中是否写出“两角分别相等”的依据。

教材原图

图4—30　△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′ 为对应高

设计意图：把“对应高的比”作为性质1的证明范例，为后面“中线、角平分线”的类比提供可复制的结构。

环节三

类比推广
中线与角平分线

议一议（教材第106页图4—31）：D、E 在 BC 上，D′、E′ 在 B′C′ 上。

（1）若 ∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′，则 等于多少？

（2）若 ，，则 等于多少？

（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流。

结论：对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比（证明方法与“高”完全类似）。

不急于给结论，先让学生仿照“高”的证明写出“角平分线”的证明；用几何画板拖动 D、E，观察比值不变。

分组：一组证角平分线，一组证中线；展示后互评；回答“为什么比不变”。

能否把“高”的证明迁移到角平分线与中线；能否说出“对应”二字的含义。

教材原图

图4—31　D、E 在 BC 上，D′、E′ 在 B′C′ 上

设计意图：用“议一议”的三个小问把定理1补全，让学生在类比中体会“对应线段的比都等于相似比”的统一性。

环节四

例1（教材第107页图

示范“把 写成

独立完成“”一问

能否正确表示