3.4相似三角形的性质 第1课时 教学设计 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

《3.4 相似三角形的性质（第1课时）》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本节课是北师大版九年级上册第四章《图形的相似》中3.4节的第1课时，主要研究相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比与相似比的关系。 学生在之前的学习中已经掌握了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等、对应边成比例。本节课是对相似三角形性质的进一步探究，既是对相似三角形判定知识的延续和深化，又为后续学习相似三角形的周长比、面积比以及利用相似解决实际问题奠定基础。 教材通过“探究—归纳—应用”的编排思路，引导学生从全等三角形的性质类比迁移到相似三角形，体现了从特殊到一般的数学思想。 学习者分析 学生已经学习了全等三角形的性质和判定，知道全等三角形对应高、对应中线、对应角平分线都相等；同时也掌握了相似三角形的定义和判定方法，具备了一定的几何推理能力。 从全等（相似比为1的特殊相似）到一般相似，学生在认知上有自然的类比迁移基础。但学生对“为什么对应线段的比等于相似比”的证明过程可能存在困难，需要教师引导学生利用相似三角形的判定和性质进行推理。 教学目标 1. 探索相似三角形中对应高、对应中线、对应角平分线的比值与相似比的关系，理解并掌握相似三角形的性质定理。 2. 经历“观察—猜想—验证—归纳”的探究过程，进一步培养几何直观和逻辑推理能力，体会类比和从特殊到一般的数学思想。 3. 能运用相似三角形的性质解决简单的计算和证明问题，感受相似三角形性质在实际生活中的应用价值。 教学重点 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。 教学难点 相似三角形性质定理的探究与证明过程，以及性质定理的灵活应用。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 1. 复习提问：什么是相似三角形？相似三角形的对应边和对应角有什么关系？ 2. 类比引导：我们知道全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线都相等。那么，一般的相似三角形，它们的对应高、对应中线、对应角平分线之间又有什么关系呢？ 3. 引出课题：今天我们就一起来探究相似三角形的性质。 活动意图说明：通过复习相似三角形的定义，类比全等三角形的性质，引导学生猜想相似三角形对应线段的关系，自然引入新课。 学生活动1： 学生回忆相似三角形的定义和性质，思考教师提出的问题，类比全等三角形的性质，大胆猜想相似三角形对应高、中线、角平分线的关系。 环节二：新知探究 【探究1】相似三角形对应高的比 教师：如下图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD是BC边上的高，A′D′是B′C′边上的高。 （1）△ABD与△A′B′D′相似吗？为什么？ （2）AD与A′D′的比与相似比k有什么关系？ 教师引导学生分析： ∵ △ABC∽△A′B′C′，∴ ∠B = ∠B′ 又∵ AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴ ∠ADB = ∠A′D′B′ = 90° ∴ △ABD∽△A′B′D′（两角分别相等的两个三角形相似） ∴ AD:A′D′ = AB:A′B′ = k 结论：相似三角形对应高的比等于相似比。 【探究2】相似三角形对应中线、角平分线的比 教师：类比对应高的探究方法，你能自己证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于相似比吗？ 教师巡视指导，适时点拨。 【归纳总结】 相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。 活动意图说明：从对应高的探究入手，让学生经历完整的“观察—猜想—证明—归纳”过程，再类比迁移到中线和角平分线的探究，培养学生的几何推理能力和类比思想。 学生活动2： 1. 学生思考并回答问题（1），说明△ABD与△A′B′D′相似的理由。 2. 学生独立完成证明过程，推导出AD/A′D′=k。 3. 小组合作探究对应中线和对应角平分线的情况，选派代表展示证明过程。 4. 师生共同归纳总结相似三角形的性质定理。 环节三：典例精析 例1：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为2:3，△ABC中BC边上的高为4cm，求△A′B′C′中B′C′边上的高。 解：设△A′B′C′中B′C′边上的高为h。 ∵ △ABC∽△A′B′C′，相似比为2:3 ∴ 对应高的比等于相似比，即 4:h = 2:3 解得 h = 6（cm） 答：△A′B′C′中B′C′边上的高为6cm。 例2：如下图，AD是△ABC的高，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形，其中S、R分别在AB、AC上，P、Q在BC上。求正方形PQRS的边长。 分析：由SR∥BC，可得△ASR∽△ABC。利用相似三角形对应高的比等于相似比，建立方程求解。 解：设正方形PQRS的边长为x cm。 ∵ SR∥BC，∴ △ASR∽△ABC ∵ AD是△ABC的高，SR∥BC，∴ AD⊥SR，设AD与SR交于点E，则AE是△ASR的高。 由相似三角形对应高的比等于相似比，得：AE:AD = SR:BC 即 (40 - x):40 = x:60 解得：60(40 - x) = 40x 2400 - 60x = 40x 100x = 2400 x = 24 答：正方形PQRS的边长为24cm。 活动意图说明：通过基础例题和实际应用例题，巩固相似三角形对应线段的性质，培养学生运用知识解决实际问题的能力。 学生活动3： 1. 学生独立完成例1，巩固对应高的比等于相似比的性质。 2. 学生思考例2，小组讨论解题思路，尝试列方程求解。 3. 学生展示解题过程，互评纠错。 板书设计 3.4 相似三角形的性质（第1课时） 一、相似三角形对应高的比 △ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′ → AD:A′D′ = AB:A′B′ = k（相似比） 二、相似三角形对应中线、角平分线的比 对应中线的比 = 对应角平分线的比 = 相似比 三、性质定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如果两个相似三角形的相似比为3:5，那么它们对应高的比为______，对应中线的比为______。 2. △ABC∽△DEF，相似比为1:2，△ABC中∠A的角平分线为3cm，则△DEF中∠D的角平分线为______cm。 选做题： 3. 已知△ABC∽△A′B′C′，对应高AD=6cm，A′D′=10cm，△ABC的一条中线为4cm，求△A′B′C′对应中线的长。 【综合拓展类作业】 4. 在△ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在AB、AC上，AH是BC边上的高，AH=40cm，BC=60cm，矩形的长与宽之比为3:2，求矩形DEFG的各边长。 课堂总结 课堂小结，自我完善 教师引导学生畅谈本节课的收获： 1. 相似三角形的性质定理是什么？ 2. 我们是通过什么方法探究得到这个性质的？ 3. 在探究过程中用到了哪些数学思想方法？（类比思想、从特殊到一般、数形结合） 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为2:5，则对应角平分线的比为（ ） A. 2:5 B. 5:2 C. 4:25 D. 25:4 2. 两个相似三角形对应中线的比为1:4，那么它们对应高的比为（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 1:8 D. 1:16 选做题： 3. △ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，若AD+A′D′=10cm，且k=2:3，求AD和A′D′的长。 【综合拓展类作业】 4. 在边长为1的正方形网格中，△ABC的直角边长为2，△ADE的直角边长为4，它们都是等腰直角三角形。 （1）它们相似吗？说明理由。（2）它们的相似比是多少？（3）对应边上的高的比是多少？你发现了什么规律？ 答案： 【课堂练习】 1. 3:5，3:5 2. 6 3. 6⅔ cm 4. 解：设矩形的宽为2x cm，则长为3x cm。由△AGF∽△ABC，得(40-2x):40 = 3x:60，解得x=10。所以矩形长30cm，宽20cm。 【作业设计】 1. A 2. B 3. 解：由题意得AD:A′D′=2:3，又AD+A′D′=10，解得AD=4cm，A′D′=6cm。 4. 解：（1）相似。因为它们都是等腰直角三角形，对应角都相等（都有一个直角，两个45°角），对应边成比例。 （2）相似比为2:4 = 1:2。 （3）对应边上的高的比也是1:2。规律：相似三角形对应高的比等于相似比。 教学反思 本节课是在学生已经学习了相似三角形的定义和判定的基础上进行的。教学中通过类比全等三角形的性质，引导学生猜想相似三角形对应高、中线、角平分线的关系，再通过严格的几何证明验证猜想，体现了合情推理与演绎推理的结合。 教学过程中应注意给学生足够的探究时间，让学生经历完整的“观察—猜想—证明—归纳”过程，而不是教师直接给出结论。同时，例2的实际应用问题是学生的难点，需要引导学生找出相似三角形，并利用对应高的比等于相似比建立方程，渗透方程思想。 学科网（北京）股份有限公司 $