4.4　探索三角形相似的条件教学设计2026-2027学年数学北师大版九年级上册

姓名

学科段

初中数学

授课班级

职称

教龄

授课时间

课题

4.4　探索三角形相似的条件

教材分析

本节是第四章第4节，教材第89—98页；其中 89—95 页是三个判定定理、例题与三组习题，96—98 页是“黄金分割”。

教材先由相似多边形的定义给出相似三角形的定义（三角分别相等、三边成比例），随后提出核心问题：能否类比全等的条件，寻找判定相似的条件？

接着按“一个角—两个角”“两边成比例—再添一角”的顺序展开：先“想一想”排除“一个角相等”，再用“做一做”画图度量，得到定理“两角分别相等的两个三角形相似”（p89）、“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”（p91）、“三边成比例的两个三角形相似”（p94）；每个定理后紧跟例题（例1、例2、例3）与一组习题（习题4.5、4.6、4.7）。p92 的“想一想”（图4—15）用反例说明“两边成比例且其中一边的对角相等”不能判定相似。

教材注明“本节定理的证明见本章第5节”，即先探索、后证明，本节重在发现与初步应用。

核心素养目标

1. 推理能力：经历“画图—度量—归纳”的探索过程，概括三个判定定理，并能说明每个条件的必要性。

2. 几何直观：能从图形中识别“两角相等”“两边成比例且夹角相等”“三边成比例”的构型。

3. 运算能力：能在相似三角形中由已知边求未知边，规范书写比例式。

4. 模型观念：体会“判定—性质—应用”的研究路径，类比全等条件获得相似条件。

教学重点

三个判定定理的内容与初步应用：由“两角分别相等”“两边成比例且夹角相等”“三边成比例”判定两个三角形相似。

教学难点

1. “夹角”与“对角”的区别（图4—15 的反例）；

2. 写比例式时对应边的确定；

3. 三边成比例判定中，如何按大小顺序对应三边。

学情分析

1. 已有基础：学生已掌握相似多边形的定义、全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS）、平行线分线段成比例。

2. 可能困难：把“两边成比例且一角相等”直接当成判定；写比例式时边与边对错；不习惯用“因为…所以…”的规范书写。

3. 教学对策：用图4—15 的反例专门澄清“夹角”；给出“先按大小排序、再写比”的操作口令；例题全部要求写出判定依据的括号注。

教学方法

探索发现与合作交流相结合：问题—画图—度量—归纳—应用；三个定理均采用“学生先画、教师后收”的方式。

课时安排

1 课时（40 分钟；本节建议 2 课时，本设计为第 1 课时：三个判定定理与例1—例3；黄金分割见第 2 课时）

教学资源

直尺、量角器、圆规、方格纸、几何画板演示文件、教材第89—98页（习题4.5—4.8）。

教学流程设计

任务/环节

教学内容与问题设计

教师活动

学生活动

学习评价设计

环节一

复习导入
类比全等找条件

复习：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

问题1：判定两个三角形全等，我们用了哪些条件？（SSS、SAS、ASA、AAS）

问题2：两个三角形至少满足哪些条件就相似？能否类比全等的条件去寻找？

想一想：如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？如果有两个角分别相等呢？

板书相似三角形的定义并圈出“三角”“三边”；引导学生把全等条件与相似条件对照列成两列表。

回忆全等判定；讨论“一个角相等是否相似”并举例（如两个直角三角形）；提出猜想。

能否说出相似三角形的定义；能否举出“一个角相等但不相似”的例子。

设计意图：用“类比全等”给出研究路径，让探索有方向；用反例先排除最弱的条件。

环节二

探索一
两角分别相等

做一做（教材第89页）：两人分别画 △ABC 与 △A′B′C′，使 ，，比较 与 、三边的比 、、，两个三角形相似吗？改变 、 再试。

归纳：两角分别相等的两个三角形相似（教材第89页定理）。

例1（教材第89—90页图4—13）：D、E 分别是 △ABC 的边 AB、AC 上的点，，AB = 7，AD = 5，DE = 10，求 BC 的长。

解：∵ ，∴ ，，∴ △ADE ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似），

∴ ，∴

组织画图度量并汇总数据；板书定理与例1 的完整书写；强调“平行 → 同位角相等 → 两角相等 → 相似”这条链。

画图、度量、比较；独立写出例1 的推理；说出每一步的依据。

能否发现“两角相等则相似”；能否规范写出例1 的证明与计算。

。

教材原图

图4—13　例1：，AB = 7，AD = 5，DE = 10

设计意图：第一个判定定理由学生亲手画图得到；例1 把“平行线”这一常见构型与定理直接挂钩。

环节三

探索二
两边成比例且夹角相等

问题3：两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？（小明认为不一定）如果再增加一个条件，有哪几种可能？（相等的角可以是其中一边的对角，也可以是两边的夹角）

做一做（教材第91页）：画 △ABC 与 △A′B′C′，使 ，，比较 与 ，两个三角形相似吗？改变 k 再试。

归纳：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（教材第91页定理）。

例2（教材第91—92页图4—14）：D、E 分别是 △ABC 的边 AC、AB 上的点，AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长。

解：∵ ，，∴ ；又 ，∴ △ADE ∽ △ABC，∴

先让学生讨论“增加哪种角”，再动手画图；示范例2 中“先算比值、再找公共角”的写法。

讨论三类可能情形；画图验证夹角情形；独立完成例2 并互查比值是否算对。

能否说清“夹角”与“对角”的区别；能否正确写出比例式并求值。