3.2探索三角形相似的条件第4课时教学设计2026-2027学年北师大版数学九年级上学期

《3.2 探索三角形相似的条件（第4课时）》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本节课是北师大版九年级上册第三章《图形的相似》中3.2节的第4课时，主要内容是探索直角三角形相似的特殊判定方法，并综合运用相似三角形的判定条件解决实际问题。 学生已经学习了三种一般三角形相似的判定条件，具备了一定的几何基础。本节课在此基础上，探索直角三角形相似的特殊判定方法，并通过实际应用问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。 教材通过“问题情境—探究发现—应用拓展”的过程，引导学生将一般判定方法应用到特殊图形（直角三角形）中，并通过实际问题体现数学的应用价值。 学习者分析 学生已经学习了三种一般三角形相似的判定条件，能够判定一般三角形相似，具备了一定的几何推理能力。 学生在将相似三角形知识应用到实际问题时，可能会遇到如何将实际问题转化为数学模型的困难，需要教师引导学生分析问题、建立模型。 教学目标 1. 探索直角三角形相似的特殊判定方法，理解并掌握“斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似”。 2. 能综合运用相似三角形的判定条件解决实际问题，培养数学建模能力。 3. 通过解决实际问题，体会数学与生活的联系，增强应用意识。 教学重点 直角三角形相似的判定及相似三角形的实际应用。 教学难点 将实际问题转化为相似三角形的数学模型。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 1. 复习提问：前几节课我们学习了哪几种判定三角形相似的方法？ 2. 引导思考：直角三角形是特殊的三角形，判定两个直角三角形相似有没有更简单的方法呢？ 3. 提出问题：我们知道全等三角形有HL判定，那么相似三角形有没有类似的判定方法呢？ 4. 引出课题：今天我们就来探索直角三角形相似的判定方法，以及如何用相似三角形解决实际问题。 活动意图说明：通过复习一般三角形的判定方法，引导学生思考直角三角形的特殊情况，自然引入新课。 学生活动1： 学生回忆三种判定方法： （1）两角分别相等 （2）两边成比例且夹角相等 （3）三边成比例 学生思考直角三角形相似的特殊判定方法。 环节二：探索新知 【探究】直角三角形相似的判定 思考：两个直角三角形，已经有一个直角相等了，还需要什么条件就能判定它们相似？ 学生讨论后归纳： 1. 有一个锐角相等 → 两角分别相等 → 相似 2. 两条直角边成比例 → 两边成比例且夹角相等（直角）→ 相似 进一步思考：如果斜边和一条直角边成比例，这两个直角三角形相似吗？ 教师引导学生通过勾股定理推导： 设两个直角三角形的斜边分别为c和c′，一条直角边分别为a和a′ 已知 c:c′ = a:a′ = k 则另一条直角边 b = √(c²-a²)，b′ = √(c′²-a′²) 计算 b:b′ = √(c²-a²):√(c′²-a′²) = √(k²c′² - k²a′²):√(c′²-a′²) = k√(c′²-a′²):√(c′²-a′²) = k ∴ b:b′ = c:c′ = a:a′ = k 即三边成比例 ∴ 这两个直角三角形相似 【归纳结论】 直角三角形相似的特殊判定：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 活动意图说明：通过引导学生从一般到特殊，探索直角三角形相似的判定方法，培养学生的推理能力和归纳能力。 学生活动2： 1. 学生讨论直角三角形相似的判定条件。 2. 学生跟随教师推导斜边和一条直角边成比例的情况。 3. 师生共同归纳直角三角形相似的判定方法。 环节三：典例精析 例1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。图中有几对相似三角形？ 解：图中有三对相似三角形： ① △ACD∽△ABC ② △CBD∽△ABC ③ △ACD∽△CBD 理由：∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB ∴ ∠ADC=∠CDB=90° 又∵ ∠A=∠A，∠B=∠B ∴ △ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC（两角分别相等） ∴ △ACD∽△CBD 例2：如图，在同一时刻，身高1.6m的小亮在地面上的影长为2.4m，测得一棵树在地面上的影长为6m，求这棵树的高度。 解：设树高为xm ∵ 同一时刻物高与影长成正比 ∴ 1.6:2.4 = x:6 解得 x = 4（m） 答：这棵树的高度为4m。 活动意图说明：通过例题巩固直角三角形相似的判定，并通过实际应用题培养学生的数学建模能力。 学生活动3： 1. 学生独立完成例1，找出图中的相似三角形。 2. 学生思考例2，建立数学模型解决实际问题。 3. 学生展示解题过程，互评纠错。 板书设计 3.2 探索三角形相似的条件（第4课时） 直角三角形相似的判定： 1. 有一个锐角相等 2. 两条直角边成比例 3. 斜边和一条直角边成比例 实际应用：同一时刻物高与影长成正比 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列条件中，不能判定两个直角三角形相似的是（ ） A. 一个锐角对应相等 B. 两条直角边对应成比例 C. 斜边和一条直角边对应成比例 D. 两边成比例且其中一边的对角相等 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。在Rt△A′B′C′中，∠C′=90°，A′B′=10，B′C′=8。这两个三角形相似吗？为什么？ 选做题： 3. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=3，BD=2，则CD=______。 【综合拓展类作业】 4. 为了测量一栋楼的高度，小明在他和楼之间的地面上平放一面镜子，镜子与小明的距离是2m，与楼的距离是20m。小明眼睛距地面的高度是1.5m，他刚好从镜子中看到楼的顶部，求这栋楼的高度。 课堂总结 课堂小结，自我完善 教师引导学生畅谈本节课的收获： 1. 直角三角形相似有哪些特殊的判定方法？ 2. 如何用相似三角形的知识解决实际问题？ 3. 解决实际问题的关键是什么？（建立数学模型） 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中不能判定它们相似的是（ ） A. ∠A=25°，∠B′=65° B. AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8 C. AB=√5，AC=1，A′B′=2√5，A′C′=2 D. AB=3，AC=1，A′B′=6，B′C′=3 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AD=4，BD=9，则CD=______。 选做题： 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=8，DB=2，求CD、AC、BC的长。 【综合拓展类作业】 4. 如图，有一小孔成像装置，蜡烛与小孔的距离是20cm，小孔与屏幕的距离是10cm，蜡烛火焰的高度是2cm，求屏幕上火焰的像的高度。 答案： 【课堂练习】 1. D 2. 相似（斜边和一条直角边成比例） 3. √6 4. 解：根据反射定律，入射角等于反射角 ∴ △ABM∽△CDM（两角分别相等） ∴ AB:CD = BM:DM 即 1.5:CD = 2:20 解得 CD=15（m） 答：这栋楼的高度为15m。 【作业设计】 1. D 2. 6 3. 解：∵ CD⊥AB，∠ACB=90° ∴ CD² = AD·BD = 8×2 = 16 ∴ CD = 4 AC = √(AD²+CD²) = √(64+16) = √80 = 4√5 BC = √(BD²+CD²) = √(4+16) = √20 = 2√5 4. 解：根据小孔成像原理，物体与像相似 ∴ 物体高度:像高度 = 物体到小孔距离:像到小孔距离 即 2:像高 = 20:10 解得 像高 = 1（cm） 答：屏幕上火焰的像的高度为1cm。 教学反思 本节课是探索三角形相似条件的第4课时，主要内容是直角三角形相似的特殊判定及实际应用。教学中从一般到特殊，引导学生探索直角三角形相似的判定方法，体现了数学的逻辑体系。 教学中要特别重视实际应用问题，引导学生将实际问题转化为数学模型，培养学生的数学建模能力。同时，要通过“双垂直”图形的练习，让学生熟悉直角三角形相似的常见模型，为后续学习打下基础。 学科网（北京）股份有限公司 $