专题第5讲 相似三角形 讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第5讲 相似三角形 知识点1相似三角形的判定 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. 相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似. （2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似. （4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.  直角三角形相似判定定理 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似. 【典例】 1.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为　 　时，△ACB与△ADC相似． 【答案】4 【解析】解：∵∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2， ∴△ADC是等腰直角三角形，AC==2， ∵△ACB与△ADC相似， ∴△ACB是等腰直角三角形，BC=AC=2， ∴AB==4， 即当AB的长为4时，△ACB与△ADC相似； 故答案为：4． 2.如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）． （1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值； （2）求证：△PAN∽△PMB． 【解析】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB， ∵OM=AB=×4=2， ∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4； （2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB． 3.如图，已知 O 是△ABC 内一点，D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点． 求证：△ABC∽△DEF． 【解析】证明：∵D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点， ∴DE= AB，EF= BC，DF= AC， 即 = = ， ∴△ABC∽△DEF 4.如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过 P作PF⊥AE于F． （1）求证：△PFA∽△ABE； （2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠PAF=∠AEB． ∵∠PFA=∠ABE=90°， ∴△PFA∽△ABE． （2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB． ∴PE∥AB． ∴四边形ABEP为矩形． ∴PA=EB=2，即x=2． 若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB． ∵∠PAF=∠AEB， ∴∠PEF=∠PAF． ∴PE=PA． ∵PF⊥AE， ∴点F为AE的中点． ∵AE=， ∴EF=AE=． ∵，即， ∴PE=5，即x=5． ∴满足条件的x的值为2或5． 【方法总结】 （1） 在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口： ①寻找另一组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等. （2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但是有时需要证明） （3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似. 【随堂练习】 1．（潍城区期末）如图，在中，点为上一点连接．若再添加一个条件使与相似，则下列选项中不能作为添加条件的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、当，，可得，故该选项不符合题意； 、当，，可得，故该选项不符合题意； 、当，，可得，故该选项不符合题意； 、当，，无法证明，故该选项符合题意； 故选：． 2．（太仓市期末）如图，中，点在边上，点在边上，且，则与相似的三角形的个数为　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：，， ， ，， ， 图中与相似的三角形有2个． 故选：． 3．（南昌一模）如图，下列条件中，不能判定的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：（A），， ，故能判定； （B），， ，故能判定； （D），， ，故能判定； 故选：． 4．（昌图县期末）已知的三边长分别为7.5，9和10.5，的一边长为5，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似　　 A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8 【解答】解：的三边长分别为7.5，9和10.5，三边的比为， 而的一边长为5， 所以当的另两边长分别为6、7时，这两个三角形相似． 故选：． 5．（洞口县模拟）如图，由下列条件不能判定与相似的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故选：． 6．（河北模拟）如图，已知点是的斜边上任意一点，若过点作直线与直角边或相交于点，截得的小三角形与相似，那么点的位置最多有　　 A．2处 B．3处 C．4处 D．5处 【解答】解：截得的小三角形与相似， 过作的垂线，作的垂线，作的垂线，所截得的三角形满足题意， 则点的位置最多有3处， 故选：． 7．（滨海新区模拟）下列各组图形中可能不相似的是　　 A．各有一个角是的两个等腰三角形 B．各有一个角是的两个等腰三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 【解答】解：、不正确，因为没有指明这个的角是顶角还是底角，则无法判定其相似； 、由已知我们可以得到这是两个正三角形，从而可以根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似； 、正确，已知一个角为，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似判定这两个三角形相似； 、正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似． 故选：． 8．（吴江区期末）如图，已知点，点，，点是第一象限内的动点，且点的纵坐标为，若和相似，则符合条件的点个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：点的纵坐标为， 点在直线上． ①当时，，，则； ②当时，， ， ， ， 解得， 或． 综上所述，符合条件的点有3个． 故选：． 二．解答题（共4小题） 9．（莱州市期末）如图，在边长为4的正方形中，动点以每秒1个单位长度的速度从点开始沿边向点运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点开始沿边向点运动，动点比动点先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点的运动时间为秒． （1）如图1，连接，．若，求的值； （2）如图2，连结，．当为何值时，？ 【解答】解：（1）， ， ， ， ， 又四边形是正方形， ，， ， ， 解得． （2）如图2， 四边形是正方形， ， ，， ，， 当时， ， ， 解得，，（舍去）， 故． 所以当时，； 10．（南昌一模）（1）解方程； （2）如图，、相交于点，连接、，且，求证：． 【解答】解：（1）， 或； （2）， ， ； 11．（普宁市期末）如图，点为边上一点． （1）请用尺规作，使点在边上，且；（保留作图痕迹，不写作法） （2）与相似吗？为什么？ 【解答】解：（1）如图，即为所求作； （2）与相似． 理由如下：， ． 12．（石景山区期末）如图，的高，交于点．写出图中所有与相似的三角形，并选择一个进行证明． 【解答】解：与相似的三角形有：，，． 选择求证：． 证明：的高，交于点， ． ， ． 知识点2 相似三角形的性质 相似三角形的性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【典例】 1.如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12，∠A=58°，求AB、OC的长和∠D的度数． 【解析】解：∵OA=2，AD=9， ∴OD=9﹣2=7， ∵AB∥CD， ∵△AOB∽△DOC， ∴==， ∵OA=2，OB=5，DC=12， ∴==， 解得OC=，AB=， ∵△AOB∽△DOC， ∴∠D=∠A=58°． 2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1． （1）求BD的长； （2）若△DCN的面积为2，求△DMN的面积． 【答案】 【解析】解（1）∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD， ∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC， ∴△MND∽△CNB， ∴=， ∵M为AD中点， ∴MD=AD=BC，即=， ∴=，即BN=2DN， 设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1， ∴x+1=2（x﹣1）， 解得：x=3， ∴BD=2x=6； （2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2， ∴MN：CN=1：2， ∵△DCN的面积为2， ∴△MND面积为1（高相同的两个三角形面积比等于底边长度比） 【方法总结】 1对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． 2顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． 3两个三角形形状一样，但大小不一定一样． 4全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． 5相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 【随堂练习】 1．（九龙坡区校级期末）若且面积比为，则与的周长之比为　　 A． B． C． D． 【解答】解：相似三角形与面积的比为， 它们的相似比为， 与的周长比为． 故选：． 2．（泰山区期末）若，相似比为，则对应面积的比为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，相似比为， 它们的面积的比为． 故选：． 3．（沙坪坝区校级三模）若，相似比为，则与对应的高线之比为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，相似比为， 与对应的高线之比， 故选：． 4．（贵阳期末）一个三角形三边的长分别为3，4，5，另一个与它相似的三角形的最长边是10，则其他两边的和是　　 A．9 B．12 C．13 D．14 【解答】解：设另一个三角形的两边为、， 根据题意得， 所以，， 则， 即其他两边的和是14． 故选：． 二．解答题（共4小题） 5．如图，正方形的边长为6，点是边上的一个动点，过点作交边于点． （1）当时，求的长； （2）连结，若，求的长． 【解答】解：（1）正方形， ，， ， ，， ， ， 又， ． ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ． 6．如图，已知，且的面积被线段、三等分，其中，求线段和的长度． 【解答】解：，且的面积被线段、三等分， ， 即， 解得， ，且的面积被线段、三等分， ， 即， 解得， 答：线段和的长度分别为，． 7．如图．已知中，，，求． 【解答】解：，， ， ， ． 8．已知．．．．．．，求： （1）、、、； （2）、 （3）和的相似比： （4）若、分别为和的高，求； （5）若中的内角平分线长为，求中的内角平分线长； （6）求． 【解答】解：（1）如图所示：，，， ，，， （2）， ， 则：，； （3）和的相似比：； （4）若、分别为和的高，则； （5）若中的内角平分线长为，则中的内角平分线长为：； （6）和的相似比：， ． 知识点3相似三角形的综合应用 【典例】 1.如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH=5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度． 【解析】解得BD=6，解：∵CD⊥BF，AB⊥BF， ∴CD∥AB， ∴△CDF∽△ABF， ∴=， 同理可得=， ∴=， ∴=， ∴=， 解得AB=5.1． 答：路灯杆AB高5.1m． 2.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=4米，BP=6米，PD=24米，求该古城墙CD的高度． 【解析】解：由题意知∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP， ∴△ABP∽△CDP， ∴=，得=， 解得：CD=16， ∴该古城墙CD的高度为16米． 3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试． （1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为　　． （2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？ （3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示） 【解析】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm， ∵AD∥A′D′， ∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′． ∴△PAD∽△PA′D′． 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得， ∴=， 解得x=180． （2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm， 同理可得∴=， 解得y=12cm； （3）记灯泡为点P，如图： ∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′． ∴△PAD∽△PA′D′． 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得 （直接得出三角形相似或比例线段均对） 设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM=x，PN=x﹣a，AD=na，A′D′=na+b， ∴=1﹣ =1﹣ x= 【方法总结】 相似三角形的应用，类型较多，主要集中在测高和测距；此类题目解题时，要把实际问题转化成几何图形，构造相似，利用相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质去求解；解题时对应边一定要找对，否则就会事倍功半 【随堂练习】 1．（保定一模）如图，、相交于点，连接、、、， （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【解答】解： （1）证明： ， （2）， ， ， 2．（西湖区一模）如图，在中，，为上的一点，于点，，． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【解答】（1）证明： 而 即得证． （2）设，则由题意知， ， 由 可得 于是有 可解得 故当时，的长为． 3．（下城区一模）如图，在中，为上的一点，过点作，，分别交，于点，． （1）求证：． （2）若，求的值． 【解答】解：（1），， ，， ； （2），， 四边形是平行四边形， ， ， ． 4．（镇江模拟）如图，与中，，连接、，． （1）求证：； （2）求证：； （3）已知，，．将绕点旋转，当点落在线段上时，求的长． 【解答】证明：（1）， ， ， ； （2）由（1）知， ， ， ； （3），，， ， ， ， ， 如图，将绕点旋转，当点落在线段上时，， ． 5．（滨江区一模）如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【解答】（1）证明： ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 6．（松桃县一模）如图，与相交于点，已知，，，，求证：． 【解答】证明：，， ． 又， ， ， ． 7．（河西区期末）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点， （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，，求的长． 【解答】（Ⅰ）证明：四边形是矩形， ， 故得证． （Ⅱ）解：由（1）知， 而是边的中点，且， ， 而 ， 故的长为． 8．（溧水区期末）如图，在中，，为边上的中线，于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【解答】（1）证明：，为边上的中线， ，， ，， ， ． （2）解：为边上的中线， ， 在中， 由（1）得， ， ， ． 9．（槐荫区期末）如图，正方形的边长为6，点是边上的一个动点，过点作交边于点，当时，求的长． 【解答】解：，， ． 又， ． 正方形的边长为6，， ，，， ，即， ． 综合运用：相似三角形 1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F． （1）求证：DF是BF和CF的比例中项； （2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF． 【解析】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠BCD=∠A，∠ADC=90°． ∵E是AC的中点， ∴DE=AE=CE，∴∠ADE=∠A， ∴∠BCD=∠ADE． 又∠ADE=∠FDB，∴∠FCD=∠FDB． ∵∠CFD=∠DFB，∴△CFD∽△DFB， ∴DF2=BF•CF． （2）∵AE•AC=AG•AD， ∴=． ∵∠A=∠A，∴△AEG∽△ADC， ∴EG∥BC，∴△EGD∽△FBD， ∴=． 由（1）知：△CFD∽△DFB， ∴=， ∴=， ∴EG•CF=ED•DF． 2.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40cm，AD=30cm，求这个正方形的边长． 【解析】解：∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC， ∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C， ∴△AEH∽△ABC． 如图，设AD与EH交于点M． ∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°， ∴四边形EFDM是矩形， ∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为xcm， ∵△AEH∽△ABC， ∴=， ∴=， ∴x=， ∴正方形EFGH的边长为cm． 3.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD． 【解析】证明：∵AC⊥BE， ∴∠AFB=∠AFE=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE=90°， 又∵∠AEF=∠BEA， ∴△AEF∽△BEA， ∴=， ∵点E是AD的中点， ∴AE=ED， ∴=， 又∵∠FED=∠DEB， ∴△DEF∽△BED． 4.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长120mm，高AD为80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （Ⅰ）图中与△ABC相似的三角形是　 　，说明理由； （Ⅱ）这个正方形零件的边长为多少？ 【解析】解：（Ⅰ）∵正方形EGHF， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， 故答案为：△AEF； （Ⅱ）设EG=EF=x ∵△AEF∽△ABC ∴=， ∴=， ∴x=48， ∴正方形零件的边长为48mm． 5.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形． （1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由． （2）求∠1+∠2的度数． 【解析】解：（1）相似． 理由：设正方形的边长为a， AC==a， ∵==，==， ∴=， ∵∠ACF=∠ACF， ∴△ACF∽△GCA； （2）∵△ACF∽△GCA， ∴∠1=∠CAF， ∵∠CAF+∠2=45°， ∴∠1+∠2=45°． 6.【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： △ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE=EF，AB=5，求AE的长． 小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： △ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE=AD，H、Q为BC上两点，CQ=DH，DQ=mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD=180°，猜想并验证EP与GH的数量关系． 【解析】解： 如图1，过点E作EH∥BC交AC于H， ∴∠FEH=∠FDC，∠FHE=∠C， ∴△FEH∽△FDC， ∴， ∵DE=EF， ∴， ∵BD=DC， ∴， 同理得：△AEH∽△ABC， ∴， ∵AB=5， ∴AE=； 【解决问题】 猜想：=，理由是： 如图2，过D作DM∥GH，交AC于M， ∴∠CMD=∠CGH，∠CDM=∠CHG， ∴△CDM∽△CHG， ∴， 设DH=CQ=x，则DQ=mx， ∴==， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAP=∠DAM， ∵∠EFG+∠EAD=180°， ∴∠AEP+∠ANF=180°， ∵GH∥DM， ∴∠ADM+∠DNG=∠ADM+∠ANF=180°， ∴∠ADM=∠AFP， ∵AE=AD， ∴△AEP≌△ADM， ∴EP=DM， ∴=． 学科网（北京）股份有限公司 $