精品解析：江西吉安市永丰县第三中学、吉安长田学校2026-2027学年上学期高一第一次联考数学试卷

吉安市永丰县三中、吉安长田学校2026-2027学年上学期 高一第一次联考数学试卷 一、单选题：本题有8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数则（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，然后可求出答案. 【详解】因为，所以，所以 故选：C 2. 已知，则下列不等式成立的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质计算即可. 【详解】解：. 故选：C. 4. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性以及单调性可得答案. 【详解】因为为偶函数， 所以， 又因为在上是增函数， 所以， 故. 故选：B 5. A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质分析可得. 【详解】为简便起见，复用表示四个同学的年龄，则 则：①，②,③. ①+②得,①+③得，②+③得,由于,,故由③得,, 由①得，∵,∴，∴,∴, 综上. 故选：D. 6. 命题“”是真命题的一个充分但不必要条件的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】参变分离得对恒成立，则，从而，然后结合选项利用充分不必要条件概念判断即可. 【详解】由于命题“”是真命题， 则等价于，即对恒成立，则只需即可； 又由，得，可知，从而得. 又因区间是区间的真子集， 则满足题意的一个充分但不必要条件是. 故选：B 7. 已知函数（且），若对任意两个不相等的实数，，恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得：函数在上为增函数，则有，解不等式即可得出答案. 【详解】对任意两个不相等的实数，，恒成立， 所以函数在上为增函数，则有 解得：. 故选：D. 8. 若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，通过分析函数为奇函数且为增函数得到，即可推出结果. 【详解】构造函数， 由已知，可得， 又，且定义域为， 是奇函数，， 又易知为上的单调递增函数，，. 二、多选题：本题有3小题，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用作差法比较大小判断A，利用基本（均值）不等式判断BCD，要注意“一正二定三相等”. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，故A正确； 因为的等号成立条件不成立，所以B错误； 因为，所以，故C错误； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 故选：AD 10. 二次函数与指数函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数图象可知，结合二次函数零点所处的区间可得结果. 【详解】由选项中指数函数图象可知：， 令，解得：或， ，，可排除ABC. 故选：D. 11. 已知函数，且满足，则下列结论正确的是（    ） A. B. 实数的取值范围为 C. D. 实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据构造方程组可求得，判断A、C，根据求的范围，判断B、D. 【详解】由已知，得， 解得，则，故知选项A，C正确. 又因，即得，即实数的取值范围是，故知选项B正确，选项D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题有3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象恒过定点_____________. 【答案】（1,3） 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，即可得答案. 【详解】令，可得， 所以，即图象恒过定点（1,3）. 故答案为：（1,3） 13. 偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义，结合偶函数的性质进行求解即可. 【详解】因为当时，不等式恒成立，所以有，即 ，所以函数在上单调递增， 因为函数的图象经过点，所以， 因此由，可得，函数是偶函数，且在上单调递增，所以由， 故答案为： 14. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数和的图象，数形结合求解即可. 【详解】作出函数和的图象如图所示， 依题意应有，即得， 故实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题有5小题，共77分；第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求 ； （2）判断函数在上的单调性并用定义证明. 【答案】（1） （2）函数在上单调递减，证明如下： 设是内任意两个实数，且，则有， ， 因为，所以，因此， 所以函数在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）用代入法进行求解即可； （2）用单调性的定义进行判断并证明即可. 【小问1详解】 因为，所以； 【小问2详解】 略 16. 已知是整数，幂函数在上是单调递增函数. （1）求幂函数的解析式； （2）作出函数的大致图象； （3）写出的单调区间，并用定义法证明在区间上的单调性. 【答案】（1）； （2） （3）减区间为；增区间为， 证明：设任意的，且 则 又，且 即在区间上单调递增. 【解析】 【分析】(1)根据幂函数在上是单调递增函数，可知，解不等式即可. (2)由(1)可知，则，先画出的图象，再将该图象轴下方的部分翻折到轴上方，即可. (3)根据(2)的图象写出单调区间，再根据定义法证明函数单调性，即可. 【小问1详解】 由题意可知，，即 因为是整数，所以或 当时， 当时， 综上所述，幂函数的解析式为. 【小问2详解】 由(1)可知，则 函数的图象，如图所示： 【小问3详解】 由(2)可知，减区间为；增区间为 当时，， 证明略 【点睛】本题考查求幂函数的解析式以及画函数图象，单调性的定义法证明.属于中档题. 17. 某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元. （1）写出辆客车运营的总利润(万元)与运营年数的函数关系式： （2）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元. 【解析】 【分析】（1）由题知，每辆车年总收入为万元，总支出为，进而得利润的表达式； （2）结合（1）得年平均运营利润为，再根据基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：（1）依题意得，每辆车年总收入为万元， 总支出为， 所以辆客车运营的总利润. （2）年平均运营利润为， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 此时， 所以这4辆客车运营年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数a的值； （2）求不等式的解集； （3）若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数满足，即可求解；（2）根据的单调性，即可根据函数值的大小确定自变量的大小，即可转化求解，（3）将恒成立问题转化为最值问题，即可利用二次函数的性质求最值进行求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，即， 因为，所以，所以（经检验，符合题意） 【小问2详解】 由（1）得， 因为与在上均为增函数，所以在上为增函数， 又，所以， 所以，即， 所以，所以不等式的解集是. 【小问3详解】 因为关于x的不等式恒成立，即恒成立， 所以恒成立，所以， 因为， 所以当，即时，取得最小值. 所以，即实数k的取值范围是 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1． （1）求a，b的值； （2）若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； （3）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的单调性结合题意建立方程，求解参数即可. （2）结合题意转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数即可. （3）先求出，再利用分离参数法求解参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得； ∵，∴在上单调递增， ，可得，解得， 则为所求值. 【小问2详解】 由上问得，当时，， 又∵存在，对任意的都成立， ∴对任意的都成立， 即对任意的都成立，其中看作自变量，看作参数， 即，解得. 【小问3详解】 由题意得， 由， 令， ，而不等式在上有解， ，又， 而， ，故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市永丰县三中、吉安长田学校2026-2027学年上学期 高一第一次联考数学试卷 一、单选题：本题有8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数则（ ） A. 5 B. 8 C. 9 D. 17 2. 已知，则下列不等式成立的是 （ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A. B. C. D. 5. A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（ ） A. B. C. D. 6. 命题“”是真命题的一个充分但不必要条件的是 （ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（且），若对任意两个不相等的实数，，恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 二、多选题：本题有3小题，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则 10. 二次函数与指数函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，且满足，则下列结论正确的是（    ） A. B. 实数的取值范围为 C. D. 实数的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题有3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象恒过定点_____________. 13. 偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是___________. 14. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题有5小题，共77分；第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求 ； （2）判断函数在上的单调性并用定义证明. 16. 已知是整数，幂函数在上是单调递增函数. （1）求幂函数的解析式； （2）作出函数的大致图象； （3）写出的单调区间，并用定义法证明在区间上的单调性. 17. 某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元. （1）写出辆客车运营的总利润(万元)与运营年数的函数关系式： （2）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数a的值； （2）求不等式的解集； （3）若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围. 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1． （1）求a，b的值； （2）若存在，对任意的都成立；求m的取值范围； （3）设，若不等式在上有解，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $