江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2026-2027学年高一上学期9月纸质作业数学试卷

2026—2027学年度上学期高一9月纸质作业 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．命题：，的否定为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．设集合，集合，则（　　） A． B． C． D． 3．已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设，，，那么集合的关系是（　　） A． B． C． D． 6．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．已知，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．高一十二班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选三门课程进行学习。已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有14人，物理、化学只选一科的学生都至少5人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．下列命题中为真命题的是（　　） A． B．若都是正实数且，则 C．， D．若都是正实数， 10．若正实数满足，则（　　） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 11．对于一个非空集合，如果满足以下四个条件：①；②；③，若且，则；④，若且，则，则称集合为集合的一个“偏序关系”。以下说法正确的是（　　） A．设，则满足是集合的一个“偏序关系”的集合共有4个 B．设，则集合是集合的一个“偏序关系” C．设，则含有四个元素且是集合的“偏序关系”的集合共有6个 D．是实数集的一个“偏序关系” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．集合，则的真子集的个数为______． 13．已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，则是的______条件。 14．若集合中恰有6个整数元素，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．（13分）已知关于的不等式的解集为。 （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集。 16．（15分）已知集合，集合。 （1）是否存在实数，使得是的必要不充分条件，并说明理由； （2）若，求实数的取值范围。 17．（15分）命题：，，命题：，使得成立。 （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围。 18．（17分）随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择。某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量（单位：kW·h）与速度（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大。现有一辆同型号电动汽车从地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）。 （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达地，并说明理由； （2）若以该电动汽车的现存电量一定可以到达地与地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量=充电功率×时间），求到达地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）。 19．（17分）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题，根据上述材料解决以下问题： （1）已知均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值以及此时实数的值； （3）已知，，则的最大值是多少？ 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期高一9月纸质作业 数学学科 参考答案与解析 一、单选题 1．命题：，的否定为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，结论否定。 【解答】把“”改为“”，把“”否定为“”，选D。 2．设集合，集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求的补集，再与取交集。 【解答】，所以，选B。 3．已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用不等式性质逐项判断。 【解答】A中，，错误； B中，，错误； C中，错误； D中，正确。选D。 4．“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解分式不等式。 【解答】且，两者等价，选C。 5．设，，，那么集合的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通分后比较分子被3除的余数。 【解答】；；。所以，且中分子为，是中分子的特殊情形，故真包含于，选C。 6．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则整数的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应是的真子集。 【解答】的解集为。由得且，即且，所以。整数的最小值为5，选D。 7．已知，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】拆项后用基本不等式。 【解答】原式，当时取等号，选B。 8．高一十二班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选三门课程进行学习。已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有14人，物理、化学只选一科的学生都至少5人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设只选物理、化学、生物及只选两科的人数，列方程与不等式。 【解答】设只选物理、化学、生物的人数分别为，只选物理化学、物理生物、化学生物的人数分别为，三科都选10人。由题意，，。总人数：，即。要使最大，需最小：，，，故最小为20，，。当时达到，选C。 二、多选题 9．下列命题中为真命题的是（　　） A． B．若都是正实数且，则 C．， D．若都是正实数， 【答案】ABCD 【分析】逐项比较或作差。 【解答】A中，正确；B中，正确；C中，正确；D中，正确。选ABCD。 10．若正实数满足，则（　　） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】用基本不等式或二次函数求最值。 【解答】A中，正确；B中，正确；C中，正确；D中，最小值，错误。选ABC。 11．对于一个非空集合，如果满足以下四个条件：①；②；③，若且，则；④，若且，则，则称集合为集合的一个“偏序关系”。以下说法正确的是（　　） A．设，则满足是集合的一个“偏序关系”的集合共有4个 B．设，则集合是集合的一个“偏序关系” C．设，则含有四个元素且是集合的“偏序关系”的集合共有6个 D．是实数集的一个“偏序关系” 【答案】BCD 【分析】按自反、反对称、传递逐项验证。 【解答】A中的偏序关系有3个（相等关系及两种全序），不是4个，错误；B满足三条性质，正确；C中含有4个元素的偏序关系为自反关系再加一个有向可比对，共个，正确；D中“”满足自反、反对称、传递，正确。选BCD。 三、填空题 12．集合，则的真子集的个数为______． 【答案】 【分析】先求，再找的正因数。 【解答】。且为正整数，得，有4个元素，真子集个数。 13．已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，则是的______条件。 【答案】充分不必要 【分析】理清推出关系。 【解答】，，，所以；但不能推出，更不能推出，故是的充分不必要条件。 14．若集合中恰有6个整数元素，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】写出区间，用整数个数公式夹逼。 【解答】两根为，解集为。设为不超过的最大整数，则，且整数个数为6等价于。与联立，得，故。 四、解答题 15．（13分）已知关于的不等式的解集为。 （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）由根与系数关系；（2）代入后因式分解。 【解答】（1）是的两根，且。由，，得，所以。 （2），即，，解集为。 16．（15分）已知集合，集合。 （1）是否存在实数，使得是的必要不充分条件，并说明理由； （2）若，求实数的取值范围。 【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）。 【分析】（1）必要条件即，检验端点；（2）分是否为空集。 【解答】（1）若是的必要不充分条件，则且。需且，即且，矛盾，故不存在。 （2）时，。时，需且，得。故。 17．（15分）命题：，，命题：，使得成立。 （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【分析】真用判别式，真用区间最大值。 【解答】（1）真。 （2）真。真假：；假真：。故。 18．（17分）随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择。某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量（单位：kW·h）与速度（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大。现有一辆同型号电动汽车从地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）。 （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达地，并说明理由； （2）若以该电动汽车的现存电量一定可以到达地与地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW 【答案】（1）不能，理由见解析；（2）小时。 【分析】（1）求每千米耗电量最小值；（2）写出总时间函数，用基本不等式。 【解答】（1）每千米耗电，。由基本不等式，，当时取等号，所以。500km最少耗电kW·h，故不能。 （2）总用时。由基本不等式，，当，即时取等号。故，最少用时为小时（7小时20分）。 19．（17分）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题，根据上述材料解决以下问题： （1）已知均为正实数，且，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值以及此时实数的值； （3）已知，，则的最大值是多少？ 【答案】（1）；（2）最小值为，此时；（3）。 【分析】（1）用消元；（2）用化为一元函数；（3）换元后用导数求最值。 【解答】（1）。由，故最小值为7，时取得。 （2），，原式。由，最小值为，此时。 （3）令，则原式。令，。求导得，得，此时。故最大值为。 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $