2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟测试卷

2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟测试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B C A B D C C 1．A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义可知，A是轴对称图形，符合题意； B，C，D不是轴对称图形，不符合题意． 2．B 【详解】解：图中的自行车的几根梁合成了一个三角形，是运用了三角形的稳定性原理． 3．C 【分析】根据关于轴对称点的坐标性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可解答． 【详解】解：点关于轴的对称点，横坐标不变，为，纵坐标取相反数，为， 因此对称点坐标为． 4．B 【分析】根据三角形内角和定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵、、为的三个内角， ∴， ① ， ， 代入得，即， 是直角三角形； ② ， 设，，， 则， 解得， ， 是直角三角形； ③ ， 设，则，， 代入得， 解得， 最大角， 不是直角三角形； ④ ， ， 是钝角三角形，不是直角三角形； 综上，符合条件的共2个． 5．C 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，计算即可得出结果． 【详解】解：设池塘两端、之间的距离为米， 由三角形三边关系可得：， 即， ∴池塘两端、之间的距离可能是12米． 6．A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：充电点到三条路的距离相等， 充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 7．B 【详解】解：，，三点共线， ， ，， ， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是关键． 由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，因此．结合可计算出，最后利用三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、根据线段垂直平分线的性质可知，根据两点之间线段最短可知当点、、三点共线时，的值最小，根据等腰三角形的三线合一性质可知是边上的高，利用三角形面积求出的长，即可得到的周长的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接、， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 点为边的中点， ， 当的值最小时，的周长的最小， 当点、、三点共线时，的值最小， ，点是的中点， ， ， ， 的周长最小值为． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据题意得，，则，由于，根据全等三角形的判定方法，当，时可判断，即，；当，时可判断，即，，然后分别求出对应的的值即可． 【详解】解：根据题意得，，，则， ， 当，时，， 即，， 解得：，； 当，时，， 即，， 解得：，， 综上所述，当与全等时，的值是2或3． 故选：C． 11．4 【分析】根据全等三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解： ． 12．3 【分析】由条件可先证明Rt△ABE≌△Rt△ACD，可得AD=AE，可证明Rt△AOD≌Rt△AOE，可得OD=OE，进一步可证明Rt△BOD≌Rt△COE，可求得答案． 【详解】，， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， 全等的直角三角形共有3对， 故答案为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等的方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 13． 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，先由作图得垂直平分，则，再由三角形内角和定理得，则． 【详解】解：由题意可得，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：61． 14．140° 【分析】根据题意可得，OA、OB分别垂直平分PH、PG，因此可得到∠OEP＝∠OFP＝90°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，在四边形OEPF中求得∠HPG． 【详解】由题意知：OA垂直平分PH， ∴∠OEP＝90°，∠1＝∠2， 同理，∠OFP＝90°，∠3＝∠4， ∵∠HOG＝80°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝80°，即：2（∠2＋∠3）＝80°， ∴∠2＋∠3＝40°，即：∠EOF＝40°， 在四边形OEPF中， ∠EOF＋∠OEP＋∠OFP＋∠HPG＝360°， ∴∠HPG＝360°－40°－90°－90°＝140°， 故填：140°．    【点睛】本题考查垂直平分线的判断及性质，四边形内角和等，熟练掌握基础知识，并能数形结合是关键． 15． 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现等边三角形的边长依次乘以2是解题的关键． 依次求出，，的边长，根据发现的规律：等边三角形的边长依次乘以2，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故的边长为2． 同理可得，， 故的边长为． ， 故的边长为． …， ∴的边长为． 当时，的边长为． 故答案为：． 16．线段长度为 【分析】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．先根据定理判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：由题意知， 在和中， ， ， ， ， ． 答：线段的长度为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，根据三角形的角平分线的定义，高的定义，进而得出，，结合图形，即可求解； （2）根据三角形的中线的性质得出，进而结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∵是高， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵中，是中线 ∴， ∵与周长之差为， ∴与之差为， ∵， ∴ 【点睛】本题考查了三角形角平分线，高线，中线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．(1) 证明：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； (2)3 【分析】（1）根据证明即可； （2）先得到，继而求出，然后由的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且E为的中点   ∴垂直平分． ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．(1)是等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，结合c为奇数求出c的值，进而判断三角形形状； （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项． 【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵，， ∴， 即． ∵为整数且是奇数， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解： ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴，，， ∴ ． 20．(1)即为所求，如图所示 (2)；； (3)点即为所求 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称变换以及“最短路径”问题；解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征（横坐标互为相反数，纵坐标不变），并会利用轴对称的性质将“两条折线之和最小”问题转化为“两点之间线段最短”问题；易错点是在确定对称点坐标时横坐标的符号出错． （1）分别找出点、、关于轴的对称点、、，再顺次连接即可得到； （2）根据（1）直接写出坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点． 【详解】（1）略 （2）根据网格点写出坐标：，， （3）∵点与点关于轴对称，对于轴上的任意一点，有， ∴， 根据“两点之间，线段最短”，当点位于线段与轴的交点时，（即）最短， ∴在图中，连接与轴的交点即为所求的点． 21．(1) (2) 解：我认为第二小组的方案可行，理由如下： 由题意得，，， 在和中， ∴， ， ∴只要测得的长度就能得到河宽； (3) 解：如图，观察者从点向东走到点，此时恰好测得， 由题意得，，， ， ， 即要知道河宽，只需要知道线段的长度． 【分析】（）利用三角形外角性质求出，进而根据等腰三角形的性质即可求解； （）证明即可说明理由； （）利用等腰直角三角形的性质解答即可求解； 本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：； （2）略 （3）略 22．【分析】（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF=∠ADF−∠ADB计算即可； （2）①根据要求画出图形即可； ②设∠ACM=∠BCM=α，由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=2α，可得∠NAC=∠NCA=α，∠DAN=60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α，∠BAC=60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，构建方程求出α，再证明∠MNB=∠MBN即可解决问题； 【解答】（1）解：如图1中， 在等边△ACD中， ∠CAD=∠ADC=60°，AD=AC． ∵E为AC的中点， ∴∠ADE=1/2∠ADC=30°， ∵AB=AC， ∴AD=AB， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°， ∴∠ADB=∠ABD=10°， ∴∠BDF=∠ADF−∠ADB=20°． 图1 （2）①补全图形，如图所示． 图2 ②证明：连接AN． ∵CM平分∠ACB， ∴设∠ACM=∠BCM=α， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=2α．在等边△ACD中， ∵E为AC的中点， ∴DN⊥AC， ∴NA=NC， ∴∠NAC=∠NCA=α， ∴∠DAN=60°+α， 在△ABN和△ADN中， AB=AD BN=DN AN=AN ∴△ABN≌△ADN（SSS）， ∴∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α， ∴∠BAC=60°+2α， 在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°， ∴60°+2α+2α+2α=180°， ∴α=20°， ∴∠NBC=∠ABC−∠ABN=10°， ∴∠MNB=∠NBC+∠NCB=30°， ∴∠MNB=∠MBN， ∴MB=MN． 23．（1）∵ ∠BAC=60°，∠C=90°， ∴ ∠ABC=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理）。 ∵ MN∥AB， ∴ ∠BFN=∠ABC=30°。 ∵ ∠BFH=1/2∠BFN， ∴ ∠BFH=15°。 ∴ ∠DFH=∠BFN+∠BFH=30°+15°=45°。 ∵ AD平分∠BAC，∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°。 ∵ D、F在MN上且MN∥AB，K在AD上， ∴ ∠KDF=∠DAB=30°。 ∵ K在FH上， ∴ ∠DFK=∠DFH=45°。 在△DFK中，∵ ∠KDF=30°，∠DFK=45°， ∴ ∠DKF=180°-30°-45°=105°（三角形内角和定理）。 ∵ A、D、K三点共线， ∴ ∠AKF=180°-∠DKF=180°-105°=75°。 答：∠AKF=75°。 （2）猜想：∠AKF=∠HAK+∠DFH 设∠DFH=x。 ∵ K在FH上， ∴ ∠DFK=∠DFH=x。 ∵ AD平分∠BAC，∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°。 ∵ H在AB上，K在AD上， ∴ ∠HAK=∠BAD=30°。 ∵ D、F在MN上且MN∥AB，K在AD上， ∴ ∠KDF=30°。 在△DFK中，∵ ∠KDF=30°，∠DFK=x， ∴ ∠DKF=180°-30°-x=150°-x（三角形内角和定理）。 ∵ A、D、K三点共线， ∴ ∠AKF=180°-∠DKF=180°-(150°-x)=30°+x。 ∴ ∠AKF=30°+∠DFH。 又 ∠HAK=30°， ∴ ∠AKF=∠HAK+∠DFH。 答：∠AKF=∠HAK+∠DFH（即∠AKF=∠DFH+30°，其中∠HAK=30°恒成立）。 （3）解：在△DFK中，∠KDF=30°。设∠DFK=x，则∠DKF=180°−30°−x=150°−x。 又∵ ∠AKF是△DFK的外角，∠AKF=30°+x。 △DFK为等腰三角形，分三种情况： ① 若DF=DK，则∠DFK=∠DKF，即x=150°−x，解得x=75°，∠AKF=30°+75°=105°； ② 若FD=FK，则∠KDF=∠DKF，即30°=150°−x，解得x=120°，∠AKF=30°+120°=150°； ③ 若KD=KF，则∠KDF=∠DFK，即30°=x，解得x=30°，∠AKF=30°+30°=60°。 当∠AKF=60°时，∠DFH=∠DFK=30°，此时点H须与点B重合，与条件“点H不与A、B重合”矛盾，故该情况舍去。 答：符合条件的∠AKF为105°或150°. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟测试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试范围：人教2024版八年级上册第13-15章 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，自行车的车架由钢管拼接成三角形，这里面蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 3．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．、、为的三个内角，在下列条件中：①，②，③，④，能确定是直角三角形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，某校实践小组测得地面上一点A到池塘两端、的距离分别是米，米．则池塘两端、之间的距离可能是（     ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 6．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 7．如图，，，三点共线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 9．如图,，在中，，，，的垂直平分线分别交， 边于点，，若为边的中点，为线段 上一动点，则的周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，，点、、、依次在同一直线上．若，，则______________． 12．如图，，于点D，于点E，BE与CD相交于点O，图中有______ 对全等的直角三角形． 13．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连结．若，，则 ___． 14．如图，点关于、的对称点分别为、，直线交、于点、，若，则______ ．    15．如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为 __________．    三、解答题（每小题7分，共21分） 16．如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等，若，求线段的长度． 17．如图，(BC＞AB)，是高，是角平分线，是中线，与相交于点． (1)若，，求的度数 (2)若，与周长之差为，求的长度？ 18．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简： 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点，均在小正方形的网格点上． (1)作，使和关于轴对称； (2)分别写出以下顶点的坐标： ； ； ； (3)在轴上找一点，使最短，请画图确定点位置． 21．据《荆门州志》记载，竹皮河古时称“权水”，绕城区段称“蒙水”，下游称竹陂河，后来才演变成“竹皮河”．现在是附近居民散步休闲的好去处，为了测量竹皮河某一段平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向；从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向；从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程，到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 (1)第一小组测得米，则河宽为 米； (2)第二小组认为只要测得的长度就能得到河宽．你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； (3)除上述方法外，请你运用所学知识再设计一种方案对河宽进行测量（画出示意图，并写出简要步骤和原理）． 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22．在△ABC中，AB=AC，在△ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD. （1）如图1，若∠BAC=100°，求∠BDF的度数； （2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN. ①补全图2； ②若BN=DN，求证：MB=MN. 23．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：已知MN∥AB，∠BAC=60°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F，AD平分∠BAC，交直线MN于点D，H为线段AB上一动点（不与A、B重合），连接FH，交AD于点K. （1）当∠BFH= ∠BFN（∠BFN是以点F为顶点、由射线FB与射线FN组成的角）时，求∠AKF的度数； （2）当点H在线段AB上任意移动时，猜想并证明∠AKF、∠HAK、∠DFH之间的数量关系； （3）当点H在线段AB上移动时，若△DFK为等腰三角形，直接写出所有符合条件的∠AKF的度数（点H不与A、B重合）. — 2 — — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟测试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试范围：人教2024版八年级上册第13-15章 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，自行车的车架由钢管拼接成三角形，这里面蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 3．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．、、为的三个内角，在下列条件中：①，②，③，④，能确定是直角三角形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，某校实践小组测得地面上一点A到池塘两端、的距离分别是米，米．则池塘两端、之间的距离可能是（     ） A．3米 B．4米 C．12米 D．13米 6．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 7．如图，，，三点共线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 9．如图,，在中，，，，的垂直平分线分别交， 边于点，，若为边的中点，为线段 上一动点，则的周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，，点、、、依次在同一直线上．若，，则______________． 12．如图，，于点D，于点E，BE与CD相交于点O，图中有______ 对全等的直角三角形． 13．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连结．若，，则 ___． 14．如图，点关于、的对称点分别为、，直线交、于点、，若，则______ ．    15．如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为 __________．    三、解答题（每小题7分，共21分） 16．如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等，若，求线段的长度． 17．如图，(BC＞AB)，是高，是角平分线，是中线，与相交于点． (1)若，，求的度数 (2)若，与周长之差为，求的长度？ 18．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简： 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点，均在小正方形的网格点上． (1)作，使和关于轴对称； (2)分别写出以下顶点的坐标： ； ； ； (3)在轴上找一点，使最短，请画图确定点位置． 21．据《荆门州志》记载，竹皮河古时称“权水”，绕城区段称“蒙水”，下游称竹陂河，后来才演变成“竹皮河”．现在是附近居民散步休闲的好去处，为了测量竹皮河某一段平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向；从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向；从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程，到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 (1)第一小组测得米，则河宽为 米； (2)第二小组认为只要测得的长度就能得到河宽．你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； (3)除上述方法外，请你运用所学知识再设计一种方案对河宽进行测量（画出示意图，并写出简要步骤和原理）． 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22．在△ABC中，AB=AC，在△ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD. （1）如图1，若∠BAC=100°，求∠BDF的度数； （2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN. ①补全图2； ②若BN=DN，求证：MB=MN. 23．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：已知MN∥AB，∠BAC=60°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F，AD平分∠BAC，交直线MN于点D，H为线段AB上一动点（不与A、B重合），连接FH，交AD于点K. （1）当∠BFH= ∠BFN（∠BFN是以点F为顶点、由射线FB与射线FN组成的角）时，求∠AKF的度数； （2）当点H在线段AB上任意移动时，猜想并证明∠AKF、∠HAK、∠DFH之间的数量关系； （3）当点H在线段AB上移动时，若△DFK为等腰三角形，直接写出所有符合条件的∠AKF的度数（点H不与A、B重合）. — 2 — — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟测试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B C A B D C C 1．A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义可知，A是轴对称图形，符合题意； B，C，D不是轴对称图形，不符合题意． 2．B 【详解】解：图中的自行车的几根梁合成了一个三角形，是运用了三角形的稳定性原理． 3．C 【分析】根据关于轴对称点的坐标性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可解答． 【详解】解：点关于轴的对称点，横坐标不变，为，纵坐标取相反数，为， 因此对称点坐标为． 4．B 【分析】根据三角形内角和定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵、、为的三个内角， ∴， ① ， ， 代入得，即， 是直角三角形； ② ， 设，，， 则， 解得， ， 是直角三角形； ③ ， 设，则，， 代入得， 解得， 最大角， 不是直角三角形； ④ ， ， 是钝角三角形，不是直角三角形； 综上，符合条件的共2个． 5．C 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，计算即可得出结果． 【详解】解：设池塘两端、之间的距离为米， 由三角形三边关系可得：， 即， ∴池塘两端、之间的距离可能是12米． 6．A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：充电点到三条路的距离相等， 充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 7．B 【详解】解：，，三点共线， ， ，， ， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是关键． 由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，因此．结合可计算出，最后利用三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、根据线段垂直平分线的性质可知，根据两点之间线段最短可知当点、、三点共线时，的值最小，根据等腰三角形的三线合一性质可知是边上的高，利用三角形面积求出的长，即可得到的周长的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接、， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 点为边的中点， ， 当的值最小时，的周长的最小， 当点、、三点共线时，的值最小， ，点是的中点， ， ， ， 的周长最小值为． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 根据题意得，，则，由于，根据全等三角形的判定方法，当，时可判断，即，；当，时可判断，即，，然后分别求出对应的的值即可． 【详解】解：根据题意得，，，则， ， 当，时，， 即，， 解得：，； 当，时，， 即，， 解得：，， 综上所述，当与全等时，的值是2或3． 故选：C． 11．4 【分析】根据全等三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解： ． 12．3 【分析】由条件可先证明Rt△ABE≌△Rt△ACD，可得AD=AE，可证明Rt△AOD≌Rt△AOE，可得OD=OE，进一步可证明Rt△BOD≌Rt△COE，可求得答案． 【详解】，， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， 全等的直角三角形共有3对， 故答案为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等的方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 13． 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，先由作图得垂直平分，则，再由三角形内角和定理得，则． 【详解】解：由题意可得，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：61． 14．140° 【分析】根据题意可得，OA、OB分别垂直平分PH、PG，因此可得到∠OEP＝∠OFP＝90°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，在四边形OEPF中求得∠HPG． 【详解】由题意知：OA垂直平分PH， ∴∠OEP＝90°，∠1＝∠2， 同理，∠OFP＝90°，∠3＝∠4， ∵∠HOG＝80°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝80°，即：2（∠2＋∠3）＝80°， ∴∠2＋∠3＝40°，即：∠EOF＝40°， 在四边形OEPF中， ∠EOF＋∠OEP＋∠OFP＋∠HPG＝360°， ∴∠HPG＝360°－40°－90°－90°＝140°， 故填：140°．    【点睛】本题考查垂直平分线的判断及性质，四边形内角和等，熟练掌握基础知识，并能数形结合是关键． 15． 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现等边三角形的边长依次乘以2是解题的关键． 依次求出，，的边长，根据发现的规律：等边三角形的边长依次乘以2，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故的边长为2． 同理可得，， 故的边长为． ， 故的边长为． …， ∴的边长为． 当时，的边长为． 故答案为：． 16．线段长度为 【分析】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．先根据定理判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：由题意知， 在和中， ， ， ， ， ． 答：线段的长度为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，根据三角形的角平分线的定义，高的定义，进而得出，，结合图形，即可求解； （2）根据三角形的中线的性质得出，进而结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∵是高， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵中，是中线 ∴， ∵与周长之差为， ∴与之差为， ∵， ∴ 【点睛】本题考查了三角形角平分线，高线，中线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．(1) 证明：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； (2)3 【分析】（1）根据证明即可； （2）先得到，继而求出，然后由的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且E为的中点   ∴垂直平分． ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．(1)是等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，结合c为奇数求出c的值，进而判断三角形形状； （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项． 【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵，， ∴， 即． ∵为整数且是奇数， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解： ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∴，，， ∴ ． 20．(1)即为所求，如图所示 (2)；； (3)点即为所求 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称变换以及“最短路径”问题；解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征（横坐标互为相反数，纵坐标不变），并会利用轴对称的性质将“两条折线之和最小”问题转化为“两点之间线段最短”问题；易错点是在确定对称点坐标时横坐标的符号出错． （1）分别找出点、、关于轴的对称点、、，再顺次连接即可得到； （2）根据（1）直接写出坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点． 【详解】（1）略 （2）根据网格点写出坐标：，， （3）∵点与点关于轴对称，对于轴上的任意一点，有， ∴， 根据“两点之间，线段最短”，当点位于线段与轴的交点时，（即）最短， ∴在图中，连接与轴的交点即为所求的点． 21．(1) (2) 解：我认为第二小组的方案可行，理由如下： 由题意得，，， 在和中， ∴， ， ∴只要测得的长度就能得到河宽； (3) 解：如图，观察者从点向东走到点，此时恰好测得， 由题意得，，， ， ， 即要知道河宽，只需要知道线段的长度． 【分析】（）利用三角形外角性质求出，进而根据等腰三角形的性质即可求解； （）证明即可说明理由； （）利用等腰直角三角形的性质解答即可求解； 本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：； （2）略 （3）略 22．【分析】（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF=∠ADF−∠ADB计算即可； （2）①根据要求画出图形即可； ②设∠ACM=∠BCM=α，由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=2α，可得∠NAC=∠NCA=α，∠DAN=60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α，∠BAC=60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，构建方程求出α，再证明∠MNB=∠MBN即可解决问题； 【解答】（1）解：如图1中， 在等边△ACD中， ∠CAD=∠ADC=60°，AD=AC． ∵E为AC的中点， ∴∠ADE=1/2∠ADC=30°， ∵AB=AC， ∴AD=AB， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°， ∴∠ADB=∠ABD=10°， ∴∠BDF=∠ADF−∠ADB=20°． 图1 （2）①补全图形，如图所示． 图2 ②证明：连接AN． ∵CM平分∠ACB， ∴设∠ACM=∠BCM=α， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=2α．在等边△ACD中， ∵E为AC的中点， ∴DN⊥AC， ∴NA=NC， ∴∠NAC=∠NCA=α， ∴∠DAN=60°+α， 在△ABN和△ADN中， AB=AD BN=DN AN=AN ∴△ABN≌△ADN（SSS）， ∴∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α， ∴∠BAC=60°+2α， 在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°， ∴60°+2α+2α+2α=180°， ∴α=20°， ∴∠NBC=∠ABC−∠ABN=10°， ∴∠MNB=∠NBC+∠NCB=30°， ∴∠MNB=∠MBN， ∴MB=MN． 23．（1）∵ ∠BAC=60°，∠C=90°， ∴ ∠ABC=180°-60°-90°=30°（三角形内角和定理）。 ∵ MN∥AB， ∴ ∠BFN=∠ABC=30°。 ∵ ∠BFH=1/2∠BFN， ∴ ∠BFH=15°。 ∴ ∠DFH=∠BFN+∠BFH=30°+15°=45°。 ∵ AD平分∠BAC，∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°。 ∵ D、F在MN上且MN∥AB，K在AD上， ∴ ∠KDF=∠DAB=30°。 ∵ K在FH上， ∴ ∠DFK=∠DFH=45°。 在△DFK中，∵ ∠KDF=30°，∠DFK=45°， ∴ ∠DKF=180°-30°-45°=105°（三角形内角和定理）。 ∵ A、D、K三点共线， ∴ ∠AKF=180°-∠DKF=180°-105°=75°。 答：∠AKF=75°。 （2）猜想：∠AKF=∠HAK+∠DFH 设∠DFH=x。 ∵ K在FH上， ∴ ∠DFK=∠DFH=x。 ∵ AD平分∠BAC，∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°。 ∵ H在AB上，K在AD上， ∴ ∠HAK=∠BAD=30°。 ∵ D、F在MN上且MN∥AB，K在AD上， ∴ ∠KDF=30°。 在△DFK中，∵ ∠KDF=30°，∠DFK=x， ∴ ∠DKF=180°-30°-x=150°-x（三角形内角和定理）。 ∵ A、D、K三点共线， ∴ ∠AKF=180°-∠DKF=180°-(150°-x)=30°+x。 ∴ ∠AKF=30°+∠DFH。 又 ∠HAK=30°， ∴ ∠AKF=∠HAK+∠DFH。 答：∠AKF=∠HAK+∠DFH（即∠AKF=∠DFH+30°，其中∠HAK=30°恒成立）。 （3）解：在△DFK中，∠KDF=30°。设∠DFK=x，则∠DKF=180°−30°−x=150°−x。 又∵ ∠AKF是△DFK的外角，∠AKF=30°+x。 △DFK为等腰三角形，分三种情况： ① 若DF=DK，则∠DFK=∠DKF，即x=150°−x，解得x=75°，∠AKF=30°+75°=105°； ② 若FD=FK，则∠KDF=∠DKF，即30°=150°−x，解得x=120°，∠AKF=30°+120°=150°； ③ 若KD=KF，则∠KDF=∠DFK，即30°=x，解得x=30°，∠AKF=30°+30°=60°。 当∠AKF=60°时，∠DFH=∠DFK=30°，此时点H须与点B重合，与条件“点H不与A、B重合”矛盾，故该情况舍去。 答：符合条件的∠AKF为105°或150°. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $