精品解析：重庆市兼善中学2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试卷

兼善中学高2027届高三上10月质量检测 数 学 试 题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， . 2. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【详解】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C 3. 已知等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的项的性质计算即可. 【详解】在等差数列中，由于，故，所以. 故选：D. 4. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出溶液的上底面半径为，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为溶液高度恰为5cm，所以溶液的上底面半径为， 下底面半径为，高为， 所以溶液的体积. 故选：B 5. 已知等比数列的公比，记为数列的前项和，若，则 的公比为（ ） A. 2 B. 1 或 2 C. D. 1 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式列出关于公比的方程，求解出符合条件的公比值即可. 【详解】当时，等比数列的前项和，此时，，. 代入中得，，整理得，即. 又等比数列中，所以. 当时，等比数列的前项和， 则，，. 代入中得，. 因为， ，可化为， 整理得，又，所以， 解得或，又且，所以. 故选：A. 6. 已知函数为偶函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由偶函数定义待定，再将自变量取值由对称性转化至，然后由指对函数性质比较自变量取值的大小，借助函数单调性可比较大小. 【详解】因为函数为偶函数， 则即， 即对于恒成立，所以，即． 当时，. 而， 因为在内单调递增，则， 又在定义域内单调递增，则， 在上单调递增，又， ，即． 故选：A． 7. 在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式求出，然后利用基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】根据三角形面积公式可得： ， 则有，化简得 ，即. 所以， 当且仅当即时等号成立， 此时取最小值为. 故选：C. 8. 已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，构造函数得，再构造函数，结合图象即可得答案． 【详解】由，，知 故， 即 即 令则上述式子即为 由于，且， 故在是单调递增函数， 故由可得 即，令， ， 由，得， 当时，， 当时，， 故，，且当时，恒成立， 由此可得出的大致图象如下： 由题意要求函数存在两个零点，等价于函数与的图象有两个交点， 由图可得：． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 复数为纯虚数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数除法，将复数化为一般式，然后根据复数的基本知识，逐项判断即可. 【详解】由，所以，A错； 的虚部为4，B正确； 为纯虚数，C正确； ，D错误． 故选：BC 10. 中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（ ） A. 3人选择的作品均不同的方法总数为24 B. 恰有2人选同一部作品的方法总数为27 C. 恰有1人选《红楼梦》的概率是 D. 若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先确定总情况数，再针对每个选项，用排列或分步计数算事件数，概率用事件数÷总数求解. 【详解】首先分析总情况：3人每人选4部作品中的一部，总方法数为种. 对于A选项，3人选择的作品均不同的方法总数为，故A选项正确. 对于B选项,恰有2人选同一部作品:先选重复的作品，再选这2人，最后第3人选剩下的3部之一，方法数为,故B选项错误. 对于C选项,恰有1人选《红楼梦》：先选这一人，另外2人从剩下3部中选，方法数为 ，概率为,故C选项正确. 对于D选项,小明已选择读《西游记》，其余两位同学每人有4种选择，总情况为种， “至少有一人选择读《西游记》”的对立事件是“两人都不选《西游记》”，方法数为， 所以概率为,故D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，在上单调递减且，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可得函数周期，据此可判断选项正误；对于B，由题可得或，，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，然后结合函数的最小正周期，可得，可判断选项正误；对于D，由在单调递减且，可得不等式，然后由t的存在性结合可判断选项正误. 【详解】对于A，如图，过B点作x轴垂线，垂足为C，因， 则，设函数最小正周期为，所以，故， 又，则，解得，故A正确； 对于B，因，则，又由图可得，且点在减区间图象上， 所以，因，则， 则，令， 则，或，， 则，或，， 则当时，，故B正确； 对于C，由B分析，， ， ， ， 则， 又由A可知函数最小正周期为，而， 则， 故C错误； 对于D，由B分析，，因， 则，又在单调递减且， 则，则， 因存在，则. 则，的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，， 则在方向上的投影向量为. 13. 已知是第二象限角，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式将转化为，解一元二次方程得到；由是第二象限角求出，再求，最后用正切二倍角公式计算. 【详解】由，，得 ，整理得， 即，得， 因为在第二象限，所以，故， 所以， 则. 14. 等差数列 的通项公式 ，前项和为，则数列的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的前n项和公式可得，由题意可知，令，利用导数求解即可. 【详解】由题意可得， 由题意可知， 令， 则， 由可得，由可得， 即在上单调递减，在上单调递增， 又因，而， ， 因为，所以数列的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）的最小正周期及单调减区间； （2）若任意的，都有，求m的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，单调减区间为 （2）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简解析式，由此求得的最小正周期及单调递减区间； （2）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的最小值即可得解. 【小问1详解】    所以的最小正周期是，  由正弦函数的性质，令，， 解得， 所以的单调递减区间是. 【小问2详解】 当时，， 所以当，即时，，  又任意的，都有， 所以. 16. 某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布，不低于的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱件包装出厂．某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于的为“一等品”，其余的为“二等品”． （1）在一箱产品均为合格品的条件下，从中任取件，求该产品是“一等品”的概率； （2）从一箱合格产品中任取件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列如下： 数学期望为 【解析】 【分析】（1）利用正态分布的对称性得，结合已知合格率通过条件概率公式计算结果； （2）判断服从二项分布，由二项分布的概率公式计算概率及分布列，再用二项分布期望公式求期望. 【小问1详解】 由，可知正态分布曲线关于直线对称，因此. 又因为不低于的产品视为合格品，且合格率为， 所以产品合格率，故，即. 设事件为“任取件产品为合格品”，事件为“任取件产品为一等品”，所求事件的概率为条件概率. 因为，，由条件概率公式： ， 因此在一箱产品均为合格品的条件下，从中任取件，该产品是“一等品”的概率为. 【小问2详解】 从合格产品中任取件为一等品的概率为，从件产品中任取件可看成次独立重复试验， 因此，的所有可能取值为， 所以， ，， ，， 所以的分布列如下： 由二项分布期望公式，. 17. 已知数列满足，，． （1）证明：数列为等比数列并求的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 【答案】（1），，得； ，，. 数列是以首项为1，公比为3的等比数列. . 当时，，，，，，； ； . 当时，，符合题意； ，即的通项公式为. （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，结合等比数列的定义即可得证数列为等比数列；利用累加法即可求得通项公式； （2）由和，化简；利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，得. ； ； 数列的前n项和. 18. 在中，角所对边分别为，且满足. （1）求角A的大小； （2）若D是线段的中点，且，，求； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求出角； （2）把中线长转化为中线向量，再利用向量运算结合余弦定理即可求出面积； （3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变形，利用锐角三角形确定角的范围，问题即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得:， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，，，代入可得:， 因为为线段的中点，所以， 则，即， 由上面两式相减可得:，解得:， 所以； 【小问3详解】 由正弦定理得:，所以，， 即 ， 因为为锐角三角形，所以，解得:， 则，所以，即， 因为，所以，即的取值范围为. 19. 已知函数，，曲线在点处的切线与轴垂直． （1）求的单调区间； （2）若，，使得，求实数的取值范围； （3）设，，证明：． 【答案】（1）减区间为，增区间为 （2） （3）由（1）可知，即 ，当且仅当 时，等号成立， 由（2）可知当时，对任意的 ，，即， 所以，其中且， 在不等式 中令，可得， 所以， 所以， 所以 . 故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）由题意得出，可求出的值，可得出函数的解析式，利用导数与函数单调性的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）由题意可知，使得，然后对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证是否存在使得，综合可得出实数的取值范围； （3）由前两问得出 ，当且仅当 时，等号成立，当 时，，由此可得出，然后利用不等式的基本性质结合等比数列的求和公式可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，所以， 由题意可知，解得 ，所以，该函数的定义域为， 则， 由可得 ，由可得 . 所以函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 若，，使得，则， 由（1）可知，， 所以，使得， ，当时，， ①当时，对任意的，， 所以函数在上单调递减，则，不合乎题意； ②当时，对任意的，， 所以函数在上单调递增，则，合乎题意； ③当时，因为，， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兼善中学高2027届高三上10月质量检测 数 学 试 题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列的公比，记为数列的前项和，若，则 的公比为（ ） A. 2 B. 1 或 2 C. D. 1 或 6. 已知函数为偶函数，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （ ） A. 6 B. C. D. 8. 已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 复数为纯虚数 D. 10. 中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（ ） A. 3人选择的作品均不同的方法总数为24 B. 恰有2人选同一部作品的方法总数为27 C. 恰有1人选《红楼梦》的概率是 D. 若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为 11. 已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，在上单调递减且，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 13. 已知是第二象限角，且，则__________. 14. 等差数列 的通项公式 ，前项和为，则数列的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）的最小正周期及单调减区间； （2）若任意的，都有，求m的取值范围. 16. 某厂家生产一种产品，已知产品的质量指标服从正态分布，不低于的产品视为合格品，且合格率为，厂家将合格品按每箱件包装出厂．某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于的为“一等品”，其余的为“二等品”． （1）在一箱产品均为合格品的条件下，从中任取件，求该产品是“一等品”的概率； （2）从一箱合格产品中任取件，记“一等品”的件数为，求的分布列与数学期望． 17. 已知数列满足，，． （1）证明：数列为等比数列并求的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 18. 在中，角所对边分别为，且满足. （1）求角A的大小； （2）若D是线段的中点，且，，求； （3）若为锐角三角形，，求的取值范围. 19. 已知函数，，曲线在点处的切线与轴垂直． （1）求的单调区间； （2）若，，使得，求实数的取值范围； （3）设，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $