精品解析：重庆市万州中学开州中学等七校联盟2027届高三上学期10月联考数学试题

重庆市名校联盟（七校）高三上期联考 数学试卷（高2027届） 注意事项: 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】易知，所以． 2. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，即，解得， 则，故. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，利用充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得． 由，得，解得； 因为，推不出， 所以“”是“”成立的充分不必要条件． 4. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，又， 则，可得. 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，由可得，两式作差可得出等比数列的公比，然后在等式中，令，可求出的值，进而可求出数列的通项，即可得出的值. 【详解】因为，所以当时，． 两式相减，得，所以，即等比数列的公比为． 当时，，解得，所以， 所以． 6. 已知（），则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据求出，再利用三角恒等变换化简得到，代入即可得到答案． 【详解】由得， 又因为，故，故， 因此 ． 7. 若函数在内有两个零点，是自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数在内有两个零点转化为有两解，令，根据导数与最值的关系求解即可. 【详解】函数在内有两个零点，即有两解.令，则， 当时，，当时，， 故当时，取最小值1， 又，所以． 8. 设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，设，建立平面坐标系，由得四点共圆，进而得圆心的坐标，即得圆的方程，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以， 设，如图所示， 由，所以，所以， 所以，所以四点共圆， 又过点三点的圆的圆心在轴上，所以， 连接，由，所以，解得， 所以过点三点的圆的方程为， 由，令，连接， 所以， 又点在圆上，且满足，所以，， 所以. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知则下列说法正确的是（ ） A. 与图像有两个公共点 B. 的解集为 C. 的解集为 D. 有最大值和最小值 【答案】AC 【解析】 【详解】在同一坐标系中作出函数，的草图如下，由图可知： 对A：函数与的图象仅有，两个公共点，故A正确； 对B：不等式的解集为，故B错误； 对C：不等式的解集为，故C正确； 对D：，当和时，，无最大值，故D错误． 10. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，可得判定A不正确，B正确，C正确；由，化简得到，结合二次函数的性质，可判定D不正确. 【详解】对于A，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A不正确； 对于B，因为， 当且仅当时取等号，所以B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C正确； 对于D，因为，，且，所以， 又因为，可得，所以D不正确. 11. 设数列各项均为正整数，其所有项的和为，，若对于任意正整数，，则为数列中的某一项或若干项的和，下面说法正确的是（ ） A. 可能为2 B. 当时，的最小值为4 C. 当该数列为递增的等比数列时，其公比为2 D. 对任意的都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题中数列可表示不超过的任意正整数这一条件，逐一验证选项中关于首项、项数最小值、等比数列及项间不等式的结论是否成立. 【详解】选项A：若，根据定义，正整数，但数列各项均为正整数且，后续项均不小于2，无法用任何项或项的和表示1，因此与条件矛盾； 选项B：当时，为使能表示的正整数范围最大，数列应取， 此时可表示的最大数为，故无法满足， 当时，数列取，其和为，且取中若干项之和可表示1到15的所有整数，因此满足条件； 选项C：设数列首项为，公比为（且为正整数），数列单调递增， 由条件可知，1必须能被表示，故，则数列变为， 要表示2，则（若，无法表示2）， 因此验证公比为2时，可通过项的和表示任意正整数，符合题目条件； 选项D：记，假设， 由于数列单调递增，，则， 此时正整数，但无法用前项的和表示（最大值为）， 也无法包含及后续项（均大于），与题设矛盾，故假设不成立， 即. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以 13. 已知、都是锐角，，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，则， 且，，则，， 所以. 14. 已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先对进行拆分，分别求出和的最小值．对于，提取后，利用，构造齐次式，从而借助基本不等式求得最小值；对于，将看作常数，借助基本不等式求得最小值．求得的两个最小值都与有关，观察后再次借助基本不等式求得最小值． 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为，此时，，，． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，函数 （1）若，求的值； （2）求函数的单调递增区间和值域． 【答案】（1） （2）单调递增区间是．值域为 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示化简求解； （2）由数量积的坐标表示化简函数，再利用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 ，， ； ． 【小问2详解】 ， ， 令得， 单调递增区间是． 值域为． 16. 已知函数． （1）求在上的最大值和最小值； （2）求过原点的切线方程． 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）和 【解析】 【分析】（1）先对原函数求导，找到导函数在区间内的零点，利用导数研究函数的单调性，比较极值点和区间端点的函数值即可得到函数的最值； （2）设出切点坐标，利用导数几何意义写出切线方程，代入原点坐标求解切点横坐标，由点斜式即可得到切线方程. 【小问1详解】 由得， 令得或， ，，，， 当在上变化时，的变化情况如下表： 0 2 3 0 + 0 0 因为， 所以在上的最大值为，最小值为． 【小问2详解】 因为， 所以在定义域上处处可导，即过原点的切线的斜率存在. 设过原点的切线与曲线的切点为，则切线斜率， 所以切线方程为， 由切线过原点得，即，解得或. 当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为； 当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． 综上，所求切线方程为和． 17. 的内角，，的对边分别为，，，设． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理可得； （2）利用正弦定理将周长表示为角的三角函数形式，结合三角函数的最值求周长的最大值. 【小问1详解】 由， 得， 故由正弦定理得， 由余弦定理得， 又因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以， 由可得，即， 所以， 当，即时，有最大值，故有最大值， 所以周长的最大值为. 18. 已知数列，满足且． （1）证明:为等比数列，并求数列的通项公式； （2）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如.设． （i）求数列的前2026项和; （ii）若存在使得不等式成立，求实数的最小值． 【答案】（1）证明：，则， 当时，，又，解得；首项，所以是以为首项，为公比的等比数列； ； （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）对递推式两边同除以构造等比数列，先求出首项，再利用等比通项推导出； （2）（i）利用二项展开分析按奇偶分段的表达式，将拆为奇数项、偶数项两组等比数列求和，再减去对应取整修正量进行计算； （ii）对存在型不等式参变分离转化为求的最小值，分奇、偶讨论单调性，比较奇偶项最小值得到的最小值. 【小问1详解】 证明略 ，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ． （ⅱ）存在使得不等式成立， 将其参变分离，得：，令，等价于求． 当为奇数时：， 显然随着奇数的增大而单调递增，故； 当为偶数时：， ， 因为时，，所以，所以偶数项的最小值为． 由于，故的最小值为． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）当且时，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减 （2） （3）证明:由（1）得，当时，，在上单调递增， 所以，即， 当时，整理，得， 令（，且）， 得， 两边同时取自然对数，得， 则， 即当且时，.. 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性与导函数的关系，讨论参数对导函数零点的影响，根据参数范围确定零点范围，进而求出函数单调区间； （2）由函数单调性讨论，求出的取值范围； （3）由的单调性情况，当的特殊情况下，构造函数，求得前置不等式，证明题目中不等式. 【小问1详解】 由，得，. 若，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 当时， 令，得或. 若时， ， 当，则，单调递减， 当，则，单调递增， 当，则，单调递减； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 对恒成立，即， 由（1）知，当时，在上单调递增， 所以， 则，解得，所以； 当时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 当时，，， 又的增速比快，所以，不满足， 综上，的取值范围是； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市名校联盟（七校）高三上期联考 数学试卷（高2027届） 注意事项: 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知（），则（ ） A. B. C. 3 D. 7. 若函数在内有两个零点，是自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设向量满足，，且与的夹角为，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知则下列说法正确的是（ ） A. 与图像有两个公共点 B. 的解集为 C. 的解集为 D. 有最大值和最小值 10. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设数列各项均为正整数，其所有项的和为，，若对于任意正整数，，则为数列中的某一项或若干项的和，下面说法正确的是（ ） A. 可能为2 B. 当时，的最小值为4 C. 当该数列为递增的等比数列时，其公比为2 D. 对任意的都有 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则_____． 13. 已知、都是锐角，，，则__________． 14. 已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，函数 （1）若，求的值； （2）求函数的单调递增区间和值域． 16. 已知函数． （1）求在上的最大值和最小值； （2）求过原点的切线方程． 17. 的内角，，的对边分别为，，，设． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 18. 已知数列，满足且． （1）证明:为等比数列，并求数列的通项公式； （2）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如.设． （i）求数列的前2026项和; （ii）若存在使得不等式成立，求实数的最小值． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）当且时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $