辽宁省2026-2027学年高二上学期11月名校联盟期中数学模拟卷02

辽宁省2026-2027学年上学期11月名校联盟期中模拟卷02 高二数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选修第一册第一章+第二章至2.5。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知直线：，：，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先验证充分性是否满足，再验证必要性是否满足即可. 【详解】当时，：，即， 此时，故充分性满足； 当时，则有， 解得，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件. 2．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间基底及空间向量共面性质求解． 【详解】对于A，， 则向量与向量，共面，故不能构成一个基底，A错误； 对于B，设，则， 得，显然方程组无解， 故向量与向量，不共面，故能构成一个基底，B正确； 对于C，，则向量与向量，共面， 故不能构成一个基底，C错误； 对于D，， 则向量与向量，共面，故不能构成一个基底，D错误． 3．（25-26高二上·上海虹口·期中）椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（     ） A．24 B．48 C．12 D．96 【答案】A 【分析】结合椭圆的定义与直角三角形的勾股定理，求出两条焦半径的乘积，进而计算焦点三角形的面积. 【详解】对于椭圆，得，， 因此，，故, 设，,根据椭圆的定义，得，所以, 由，为直角三角形，根据勾股定理得, 即 ，解得, 因此的面积. 4．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的外接球表面积为，M是棱CD的中点，将过点M且以为法向量的平面记为平面，则点A到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正方体棱长，建立空间直角坐标系，再用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】设正方体外接球半径为，由外接球表面积公式，解得， 正方体的体对角线长等于外接球直径，设正方体棱长为，则，得， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 得，，，中点，故， 又平面α的法向量是， 所以点到平面α的距离为 . 5．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）已知空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 因为，所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积为： . 6．（26-27高二上·广东·阶段检测）在正方体中，为棱上的一点（不与点重合），若平面平面，则直线与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面面平行的性质得到交线，以为原点，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的一个法向量，利用空间向量的线面角公式求解． 【详解】在正方体中，上底面下底面， 平面，平面同时与平面、平面相交， 平面平面，平面平面， 故由面面平行的性质定理，可得， 以为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则，，，，， 所以，即为直线的方向向量， ，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以直线与平面所成角为． 7．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到曲线为圆心为，半径为2的下半圆，求出特殊位置时直线的斜率，数形结合得到答案 【详解】，两边平方得， 故曲线为圆心为，半径为2的下半圆， 如图所示， 当过点时，斜率为，当过点时，斜率为， 直线的斜率不存在时，此时直线与曲线有1个交点，不合要求， 设直线为， 若直线与相切，则，解得或0， 由图可知，直线与曲线有且仅有两个不同的交点， 则的斜率的取值范围是 8．（26-27高三·全国·二轮复习）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过点引的外角平分线的垂线，垂足为，且点与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长交的延长线于点，连接， 由题意知:， 所以，则点的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 所以与短轴顶点的最短距离为， 所以，所以，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）如图，正方体中，G是棱的中点，则（   ） A．可以作为空间的一个基底 B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】 设正方体棱长为1，以为原点， 分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，. 假设存在实数、，使得 ， 则，即，无解， 故不存在这样的实数、，即 不能由 、 线性表示，三向量不共面， 可以作为空间的一个基底，选项A正确. 选项B：， 而 ，横坐标不相等，选项B错误. 选项C：，选项C正确. 选项D：在上的投影向量为 ，选项D正确. 10．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．若圆M：上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是 C．“直线与直线互相垂直”是“”的充分而不必要条件 D．过点且在x轴、y轴上的截距相同的直线方程是 【答案】ABCD 【分析】逐项判断：A由直线斜率与倾斜角的关系求范围；B把“到定点距离为1”转化为两圆交点个数；C用两直线垂直的系数条件；D分截距是否为0两种情况求直线方程. 【详解】对于A，由得，故直线斜率. 因为，所以，其中. 当时，由得；当时，由得. 因此倾斜角的取值范围是，不是，A错误. 对于B，圆的圆心为，半径为，点，则. 到点距离为1的点在以为圆心、1为半径的圆上，所以圆与该圆恰有两个交点. 两圆相交需满足，解得. 因此的取值范围是，不是，B错误. 对于C，两直线互相垂直的充要条件是，即. 解得或，所以“两直线互相垂直”等价于“或”. 由能推出两直线垂直，但两直线垂直不一定有，故“两直线互相垂直”是“”的必要而不充分条件，C错误. 对于D，当直线在两轴上的截距均不为时，设截距均为，则直线方程为，即. 将代入得，此时直线方程为. 当直线在两轴上的截距均为时，直线过原点，设为，将代入得，即. 因此过点且在轴、轴上截距相同的直线有两条，D错误. 11．（2026·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为，左焦点为，且，，点为椭圆上一点，圆的半径为2，过原点作圆的两条切线，，分别交椭圆于，若直线，的斜率都存在，分别记为，，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最小值为 C．的值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用椭圆中之间的关系，可求出，判断A；设出点的坐标，由两点间的距离公式可得到的表达式，根据二次函数的最值问题可判断B；由直线与圆的位置关系，过原点的直线方程特征以及根与系数的关系可判断C；设出的坐标，根据点在椭圆上可求出的值，根据基本不等式可判断D. 【详解】对于A，由题意知，，，即， 在椭圆中，由，所以， 所以椭圆的离心率为，故A正确； 对于B，由A得：，所以椭圆的方程为：， 设，由点在椭圆上得，所以， 又， 所以. 令， 则图象的对称轴为，开口向上，所以在上单调递增， 所以， 所以， 故B错误； 对于C，椭圆，由得圆的方程为：， 因为直线，的斜率都存在，且为，， 所以直线，直线， 又直线，与圆均相切，所以有， 由整理得：，① 同理由整理得：，② 由①②可知，为方程的两个不同实根， 又，所以，故C正确； 对于D，设，由C知， 则，又， 所以，整理得：， 所以， 所以， 由基本不等式得：，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知为空间中一点，，，三点不共线，平面且满足，若，，，四点共面，则________． 【答案】/ 【详解】已知为空间中一点，，，三点不共线，平面， 且满足，则向量，，不共面． 若，，，四点共面，则可知向量，，的系数和为1， 即，解得． 13．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线l：与⊙C：交于A，B两点，写出满足“面积为”的所有m构成的集合______． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由， 所以或， 解得：或，故所有m构成的集合为． 14．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则______． 【答案】/ 【分析】根据题意，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，并向上建立轴，根据线面角的向量求法即可得到的坐标，从而得到答案. 【详解】因为，，所以是等腰三角形，取的中点为，连接，则， 在中，，，所以， 因为，且在平面内的投影为，所以，这意味着点在的中垂线上，即在直线上， 已知，而，所以在上，且，则， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，并向上建立轴，如图所示， 各点坐标如下，，，， 因为在上，且，所以的坐标为，即，点在的正上方，，所以， 已知点 ，计算向量， ， 设平面 的法向量为 ，则，令，则，，所以， 点在线段上，设，其中， 向量，直线与平面所成角 ，为锐角， ， 平方得，解得或（舍去，不在内）， 所以，此时，，，，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，.设，，. (1)用基底表示向量和； (2)证明：向量与不共线，并求的值. 【答案】(1)， (2)假设与共线，则存在实数，使得， 故，整理得①， 因为平面，，易知 两两垂直， 所以向量是三个不共面的向量，它们构成了空间的一个基底， 根据空间向量基本定理，因为线性无关， 所以①中各向量的系数必须全为，故假设错误， 因此，向量与不共线； 【分析】（1）应用空间向量加减法则，用，，表示出和； （2）应用反证思想，假设与共线，结合空间向量共线的性质得到矛盾即可证，再应用向量数量积的运算律及向量夹角的求法求. 【详解】（1）根据向量的减法法则，可得， 根据向量的减法法则，可得； （2）（证明略） 由题意知，且两两垂直， 所以，且， ， ， ， 综上，. 16．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）(1)一条直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的倍时，求该直线方程； (2)一条直线经过点，与轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小（为坐标原点）时求该直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求已知直线倾斜角的正切值，通过二倍角正切公式得到所求直线斜率，结合点坐标用点斜式求直线方程； （2）设直线的截距式方程，代入点坐标后利用基本不等式求出面积最小时的截距，进而得到直线方程. 【详解】（1）设所求直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 将直线化为斜截式，可得其斜率， 由二倍角正切公式，所求直线的斜率， 因为直线过点，故直线方程为，整理为一般式得：. （2）设所求直线与轴正半轴交点为，与轴正半轴交点为，其中， 则直线的截距式方程为，将点代入方程得：， 的面积，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 对不等式两边平方得，即，因此， 即面积的最小值为，联立，解得， 代入截距式方程得，整理为一般式得：. 17．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）如图①所示，正三角形的边长为，是边上的高，，分别为和边上的中点，现将沿翻折成直二面角，如图②所示． (1)试判断翻折后的直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)平面. 理由如下：由题意知，平面平面，. 翻折后，，， 因为平面平面，则即为直二面角的平面角， 所以. 以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 因为，， 所以，所以，即. 又平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）结合直二面角的定义建立空间直角坐标系，利用平行关系的向量表示得到，根据线面平行的判定定理证明即可. （2）求出平面的法向量，根据点到平面的距离公式的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）在平面内，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，所以. 又， 所以，. 所以点到平面的距离. 18．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知直线： 与圆：． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若为圆C上一点，求的取值范围； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)或； (2) (3)为定值，. 由（1）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，， 联立方程，即，，即， ，，又，， 所以， 所以为定值，. 【分析】（1）根据直线过定点并求出圆心和半径，分别讨论直线斜率是否存在，利用点到直线距离公式即可求得切线方程； （2）由目标式的几何意义解不等式即可求得结果； （3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理计算可求出结果. 【详解】（1）先整理圆：； 可得其圆心，半径. 对于直线变形得； 令，解得. 所以直线恒过定点. 由圆：，得圆心，半径，直线恒过定点， ①当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立， ②当直线斜率存在时，设直线的方程为， 圆心到直线的距离， 由直线与圆相切可得，即， 解得，直线方程为，即， 综上所述：直线的方程为或； （2）设 ，即 ， 直线与圆有交点，所以 ， 因此的取值范围为. （3）略 19．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知椭圆：的长轴长为4，焦距为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； (3)直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在最大值，最大值为 【分析】（1）根据题设条件可得值，再利用关系可求得值，进而可得到椭圆的方程； （2）设，两点的坐标并代入椭圆方程，利用点差法，结合中点坐标公式、斜率公式即可求解； （3）设点，根据点到直线的距离公式求出；取，的法向量，，利用向量的数量积公式求出，进而可以得到的值；然后根据三角形的面积公式写出的面积，最后结合的取值范围判断面积的最大值. 【详解】（1）依题意，因为长轴长为4，即，解得； 设焦距为，因为焦距为，即，解得； 所以； 所以的方程为． （2）设，，线段的中点为，则，； 因为，两点在上，所以，， 两式作差得，即， 又，所以，即； 由（1）可知点为的右顶点，所以点或点与点重合，可得； 故线段中点的轨迹方程为． （3）设，则，点到，的距离分别为，，所以， 分别取，的法向量，， 则，所以， 所以的面积， 由，得，， 所以，，当或1时，取得最大值， 所以的面积存在最大值，最大值为． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027学年上学期11月名校联盟期中模拟卷02 高二数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选修第一册第一章+第二章至2.5。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知直线：，：，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海虹口·期中）椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（     ） A．24 B．48 C．12 D．96 4．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的外接球表面积为，M是棱CD的中点，将过点M且以为法向量的平面记为平面，则点A到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）已知空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（   ） A． B． C．7 D． 6．（26-27高二上·广东·阶段检测）在正方体中，为棱上的一点（不与点重合），若平面平面，则直线与平面的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三·全国·二轮复习）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过点引的外角平分线的垂线，垂足为，且点与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）如图，正方体中，G是棱的中点，则（   ） A．可以作为空间的一个基底 B． C． D．在上的投影向量为 10．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．若圆M：上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是 C．“直线与直线互相垂直”是“”的充分而不必要条件 D．过点且在x轴、y轴上的截距相同的直线方程是 11．（2026·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为，左焦点为，且，，点为椭圆上一点，圆的半径为2，过原点作圆的两条切线，，分别交椭圆于，若直线，的斜率都存在，分别记为，，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的最小值为 C．的值为 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知为空间中一点，，，三点不共线，平面且满足，若，，，四点共面，则________． 13．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线l：与⊙C：交于A，B两点，写出满足“面积为”的所有m构成的集合______． 14．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，.设，，. (1)用基底表示向量和； (2)证明：向量与不共线，并求的值. 16．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）(1)一条直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的倍时，求该直线方程； (2)一条直线经过点，与轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小（为坐标原点）时求该直线方程. 17．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）如图①所示，正三角形的边长为，是边上的高，，分别为和边上的中点，现将沿翻折成直二面角，如图②所示． (1)试判断翻折后的直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求点到平面的距离． 18．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知直线： 与圆：． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若为圆C上一点，求的取值范围； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知椭圆：的长轴长为4，焦距为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； (3)直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $