专题03 实数 期中高效复习讲 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题03实数期中高效复习讲义 ✵复习目标 · 1.理解平方根、算术平方根、立方根的定义，掌握符号表示与基本性质，能够正确求非负数的平方根、算术平方根以及任意实数的立方根。 · 2.理解无理数、实数的概念，能对实数进行分类，掌握实数与数轴上的点一一对应的关系。 · 3.掌握实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，会比较实数大小，能进行简单的实数运算，遵循实数运算顺序。 · 4.掌握算术平方根的非负性，规范根式书写，会运用开方运算解决基础求值问题。 ✵高频题型梳理 题型1.平方根、算术平方根的概念辨析与求值 题型2.立方根的概念辨析与求值 题型3.利用算术平方根的非负性解题 题型4.无理数识别、实数分类及实数性质 题型5.无理数估算，求无理数的整数部分、小数部分 题型6.实数与数轴、实数大小比较 题型7.已知一个数的平方根，求原数 题型8.已知一个数的立方根，求原数 题型9.平方根、立方根的实际应用 题型10.实数混合运算 题型11.平方根、立方根相关规律探究 题型12.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、平方根与算术平方根 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（二次方根），记作±，其中a≥0。求一个数平方根的运算叫做开平方。 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，a≥0；0的算术平方根是0。 算术平方根具有双重非负性：≥0，被开方数a≥0。 知识点二、立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫做a的立方根（三次方根），记作，根指数3不能省略。求一个数立方根的运算叫做开立方。 性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0；任意实数有且只有一个立方根。 恒等式：=﹣。 知识点三、无理数与实数 无理数：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型：含π的数；开方开不尽的数；有规律但不循环的无限小数。有限小数、无限循环小数都属于有理数。 实数：有理数和无理数统称实数。 实数分类 ① 按定义分：有理数（整数、分数，有限小数或无限循环小数）；无理数（无限不循环小数）。 ② 按符号分：正实数、0、负实数。 实数与数轴：实数和数轴上的点一一对应。数轴上右边的点对应的实数大于左边的点对应的实数。 知识点四、实数的相关概念与运算 相反数：实数a的相反数是-a；互为相反数的两个实数之和为0。 绝对值：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，0没有倒数。 实数运算：有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然成立。 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左向右依次计算；有括号先算括号内。 ✵易错提醒 1.只表示算术平方根（非负）；正数的平方根是±。例：=4，16的平方根为±4。 2中(a≥0)，负数不能开平方；中a可取任意实数。 3.带根号的数不一定是无理数，需先化简判断。 4.算术平方根、平方、绝对值均为非负数；若和为 0，则每一项都为 0。 5.负数可以开立方，=﹣。 6.估算根式大小，借助相邻完全平方数、完全立方数判断范围。 7.混合运算：乘方、开方优先于乘除、加减。 ✵典例精讲 题型1.平方根、算术平方根的概念辨析与求值 1．下列关于平方根与算术平方根的说法中，正确的是（        ） A．正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个是算术平方根 B．0没有平方根 C．的平方根是±4 D．负数也有算术平方根 2．计算：________． 3．化简： (1)； (2)； (3)． 题型2.立方根的概念辨析与求值 1．下列关于立方根的说法中，正确的是（     ） A．负数没有立方根，所以 没有意义 B． C．的立方根是 D．立方根与平方根一样，都有两个 2．________的平方等于，立方得的数是________． 3．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请简单说出理由． 题型3.利用算术平方根的非负性解题 1．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．为任意实数 2．已知，则的算术平方根是___________． 3．已知：与是m的平方根，，c的算术平方根等于它本身； (1)求a，b，c，m的值； (2)求的平方根． 题型4.无理数识别、实数分类及实数性质 1．在，，，，（相邻两个之间的个数依次增加）中，无理数的个数是（     ） A． B． C． D． 2．已知实数：，，，0.16，，其中无理数的个数是___________． 3．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们又知道，所以我们把1叫作的整数部分，把叫作的小数部分．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分________． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的算术平方根； (3)已知：其中x是整数部分，y是小数部分，求的相反数． 题型5.无理数估算，求无理数的整数部分、小数部分 1．如图，在数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 3．阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)求的整数部分与小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的算术平方根． 题型6.实数与数轴、实数大小比较 1．下列关于的叙述，错误的是（     ） A．是12的算术平方根 B．是实数 C．在数轴上可以找到表示的点 D．是有理数 2．如图，数轴上在点，点之间且表示整数的点有______________个． 3．小康为研究汽车紧急制动时的安全刹车距离，整理出如下实验数据： 34 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 35 1156 1162.81 1169.64 1176.49 1183.36 1190.25 1197.16 1204.09 1211.04 1218.01 1225 根据上述表格内容，完成下列问题． (1)比较大小：________； (2)汽车在干燥水泥路面紧急刹车时，制动距离（单位：）与刹车前的行驶速度（单位：）之间的关系近似满足．现有一辆汽车在该路面行驶时突发状况，紧急刹车后测得制动距离，求这辆汽车刹车前的行驶速度大约是多少？ 题型7.已知一个数的平方根，求原数 1．已知一个正数的平方根是和，则的值是（     ） A．3 B．0 C．2 D．1 2．一个正数的平方根分别是与，则a的值为________． 3．已知一个正数p的两个平方根分别是和． (1)求p和a的值； (2)若，求的算术平方根． 题型8.已知一个数的立方根，求原数 1．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．已知，则___________ 3．已知：和是的两个不同的平方根，是64的立方根． (1)求、、的值． (2)求的平方根． 题型9.平方根、立方根的实际应用 1．下列说法正确的是（    ） A．5是25的一个平方根 B．8的立方根是 C．9的平方根是3 D．的平方根是 2．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 3．已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 题型10.实数混合运算 1．下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中，正确的结论有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 2．若实数a、b满足，，则_______． 3．计算： (1)； (2)． 题型11.平方根、立方根相关规律探究 1．先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 2．已知，，则______；已知，，则______． 3．在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．有限小数一定是有理数 B．无限小数一定是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．有理数与数轴上的点一一对应 2．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．的整数部分为a，小数部分为b，则为（   ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．的相反数是___________，绝对值是___________． 6．若，则___________ 7．规定用表示一个实数x的整数部分，例如，按此规定，则______． 8．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的__________倍． 三、解答题 9．按要求解答下列各题： (1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． (2)与都是的平方根，求的值． 10．在数轴上近似地表示下列实数，并比较这些实数的大小，用“<”连接． ，，，，，． 11．已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 12．探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03实数期中高效复习讲义 ✵复习目标 1.理解平方根、算术平方根、立方根的定义，掌握符号表示与基本性质，能够正确求非负数的平方根、算术平方根以及任意实数的立方根。 2.理解无理数、实数的概念，能对实数进行分类，掌握实数与数轴上的点一一对应的关系。 3.掌握实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义，会比较实数大小，能进行简单的实数运算，遵循实数运算顺序。 4.掌握算术平方根的非负性，规范根式书写，会运用开方运算解决基础求值问题。 ✵高频题型梳理 题型1.平方根、算术平方根的概念辨析与求值 题型2.立方根的概念辨析与求值 题型3.利用算术平方根的非负性解题 题型4.无理数识别、实数分类及实数性质 题型5.无理数估算，求无理数的整数部分、小数部分 题型6.实数与数轴、实数大小比较 题型7.已知一个数的平方根，求原数 题型8.已知一个数的立方根，求原数 题型9.平方根、立方根的实际应用 题型10.实数混合运算 题型11.平方根、立方根相关规律探究 题型12.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、平方根与算术平方根 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（二次方根），记作±，其中a≥0。求一个数平方根的运算叫做开平方。 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，a≥0；0的算术平方根是 0。 算术平方根具有双重非负性：≥0，被开方数a≥0。 知识点二、立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫做a的立方根（三次方根），记作，根指数 3 不能省略。求一个数立方根的运算叫做开立方。 性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0；任意实数有且只有一个立方根。 恒等式：=﹣。 知识点三、无理数与实数 无理数：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型：含π的数；开方开不尽的数；有规律但不循环的无限小数。有限小数、无限循环小数都属于有理数。 实数：有理数和无理数统称实数。 实数分类 ① 按定义分：有理数（整数、分数，有限小数或无限循环小数）；无理数（无限不循环小数）。 ② 按符号分：正实数、0、负实数。 实数与数轴：实数和数轴上的点一一对应。数轴上右边的点对应的实数大于左边的点对应的实数。 知识点四、实数的相关概念与运算 相反数：实数a的相反数是-a；互为相反数的两个实数之和为 0。 绝对值：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 倒数：乘积为 1 的两个实数互为倒数，0 没有倒数。 实数运算：有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然成立。 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左向右依次计算；有括号先算括号内。 ✵易错提醒 1.只表示算术平方根（非负）；正数的平方根是±。例：=4，16的平方根为±4。 2中(a≥0)，负数不能开平方；中a可取任意实数。 3.带根号的数不一定是无理数，需先化简判断。 4.算术平方根、平方、绝对值均为非负数；若和为 0，则每一项都为 0。 5.负数可以开立方，=﹣。 6.估算根式大小，借助相邻完全平方数、完全立方数判断范围。 7.混合运算：乘方、开方优先于乘除、加减。 ✵典例精讲 题型1.平方根、算术平方根的概念辨析与求值 1．下列关于平方根与算术平方根的说法中，正确的是（        ） A．正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个是算术平方根 B．0没有平方根 C．的平方根是±4 D．负数也有算术平方根 【答案】A 【详解】解：A．正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个是算术平方根，故该选项正确，符合题意； B．的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； C．，的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； D．负数没有算术平方根，故该选项不正确，不符合题意． 2．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 3．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型2.立方根的概念辨析与求值 1．下列关于立方根的说法中，正确的是（     ） A．负数没有立方根，所以 没有意义 B． C．的立方根是 D．立方根与平方根一样，都有两个 【答案】B 【详解】解：，负数也有立方根；立方根只有一个，而平方根有两个， 故选：B． 2．________的平方等于，立方得的数是________． 【答案】 【详解】解：的平方等于， 立方得的数是． 3．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？请简单说出理由． 【答案】 解：理由如下： ∵ ，，， ∴ 59319的立方根是两位数， ∵ 仅个位数字为9的正整数的立方的个位数字为9， ∴ 59319的立方根的个位数字为9， 划去59319的后三位319，剩余部分为59， ∵ ，，， ∴ 59319的立方根的十位数字为3， 综上，59319的立方根为39． 【分析】先根据10与100的立方确定立方根为两位数，再利用立方数的个位特征确定个位数字，最后通过划去后三位后所得数介于的连续整数的立方范围确定十位数字． 【详解】略 题型3.利用算术平方根的非负性解题 1．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【分析】利用算术平方根的非负性即可确定的取值范围． 【详解】解：，， ∵， ∴， 根据绝对值的性质，绝对值等于自身的数是非负数， ∴． 2．已知，则的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】算术平方根和绝对值均为非负数，两个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再计算算术平方根． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， 即 ，， 解得 ，， 可得 ， ∵ ，且算术平方根为非负数， ∴ 结果为． 3．已知：与是m的平方根，，c的算术平方根等于它本身； (1)求a，b，c，m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；；或；或 (2)或 【分析】（1）根据平方根定义列出关于x的方程，求出x的值，再求出m；根据非负数的性质求出a、b的值即可；根据算术平方根定义求出c的值即可； （2）先求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵与是m的平方根， ∴或， 解得：或， 当时，； 当时，； ∵， ∴，， 解得：，； ∵c的算术平方根等于它本身， ∴或； （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴此时的平方根为； 当时，， ∵4的平方根为， ∴此时的平方根为； 综上，的平方根为或． 题型4.无理数识别、实数分类及实数性质 1．在，，，，（相邻两个之间的个数依次增加）中，无理数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：无理数有，（相邻两个之间的个数依次增加），共有个． 2．已知实数：，，，0.16，，其中无理数的个数是___________． 【答案】2 【分析】本题考查无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：在实数，，，0.16，中，无理数有，，共2个． 故答案为： 3．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们又知道，所以我们把1叫作的整数部分，把叫作的小数部分．请解答： (1)的整数部分是________，小数部分________． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的算术平方根； (3)已知：其中x是整数部分，y是小数部分，求的相反数． 【答案】(1)4， (2)的算术数平方根是2 (3) 【分析】本题考查的是无理数的整数部分与小数部分的含义；算术平方根的含义； （1）根据从而可得答案； （2）由，， 可得，，再进一步求解即可； （3）由，可得，结合，其中x是整数部分，y是小数部分，可得，，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分为； （2）解：，， ，， ， 的算术平方根是2， 的算术数平方根是2． （3）解：， ， ，其中x是整数部分，y是小数部分， ，， ，   的相反数为． 题型5.无理数估算，求无理数的整数部分、小数部分 1．如图，在数轴上表示实数的点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， 观察数轴可知，点在与之间，点在与之间，点在与之间，点在与之间， ∴表示实数的点可能是点． 2．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______． 【答案】 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，得到的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． 3．阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： (1)求的整数部分与小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】(1)的整数部分为，的小数部分为 (2) 【分析】（1）利用例题结合，进而得出答案； （2）利用例题结合，，可求得a与b的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：， ∴， 的整数部分为，的小数部分为． （2）解：，， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根为． 题型6.实数与数轴、实数大小比较 1．下列关于的叙述，错误的是（     ） A．是12的算术平方根 B．是实数 C．在数轴上可以找到表示的点 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义可判断A，根据实数的定义可判断B，根据数轴与实数的对应关系可判断C，根据有理数与无理数的定义可判断D． 【详解】解：A、是12的算术平方根，原说法正确，不符合题意； B、是实数，原说法正确，不符合题意； C、在数轴上可以找到表示的点，原说法正确，不符合题意； D、是开方开不尽的数，是无理数，原说法错误，符合题意． 2．如图，数轴上在点，点之间且表示整数的点有______________个． 【答案】 【分析】先确定，再根据范围得出答案． 【详解】解：∵， ∴点A，点B之间的整数有， 一共有6个． 3．小康为研究汽车紧急制动时的安全刹车距离，整理出如下实验数据： 34 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 35 1156 1162.81 1169.64 1176.49 1183.36 1190.25 1197.16 1204.09 1211.04 1218.01 1225 根据上述表格内容，完成下列问题． (1)比较大小：________； (2)汽车在干燥水泥路面紧急刹车时，制动距离（单位：）与刹车前的行驶速度（单位：）之间的关系近似满足．现有一辆汽车在该路面行驶时突发状况，紧急刹车后测得制动距离，求这辆汽车刹车前的行驶速度大约是多少？ 【答案】(1) (2)这辆汽车刹车前的行驶速度大约是 【分析】（1）由表中数据得到，结合无理数比较大小的方法求解即可； （2）先由题中数据求出，再由表中数据估算出即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知，， ， ； （2）解：根据公式，代入制动距离， 得， 则或（负值，舍去）， 结合表格中的数据，可知，则， 答：这辆汽车刹车前的行驶速度大约是． 题型7.已知一个数的平方根，求原数 1．已知一个正数的平方根是和，则的值是（     ） A．3 B．0 C．2 D．1 【答案】D 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据该性质列方程即可求解的值． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数 去括号得 合并同类项得 移项得 解得． 2．一个正数的平方根分别是与，则a的值为________． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出一元一次方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 整理得 ， 解得 ． 3．已知一个正数p的两个平方根分别是和． (1)求p和a的值； (2)若，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解即可； （2）根据“如果几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解即可． 【详解】解：（1）因为一个正数p的两个平方根分别是和， 所以，解得． 将代入，得． 所以； （2）因为，且， 所以． 因为，，，且它们的和为0， 所以，，， 解得，，． 所以， 因此的算术平方根为． 题型8.已知一个数的立方根，求原数 1．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】先得出是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数最小解答即可． 【详解】解：∵是整数， ∴是一个整数的立方， 又∵要求满足条件的正整数最小，， ∴正整数最小是，此时，符合题意． 2．已知，则___________ 【答案】 【分析】根据立方根的小数点向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【详解】解：，， ． 3．已知：和是的两个不同的平方根，是64的立方根． (1)求、、的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质，即可求解； （2）把y的值代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵和是的两个不同的平方根， ∴， 解得：， ∴， ∵是64的立方根， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴的平方根为． 题型9.平方根、立方根的实际应用 1．下列说法正确的是（    ） A．5是25的一个平方根 B．8的立方根是 C．9的平方根是3 D．的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根与立方根的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：25的平方根为，则5是25的一个平方根，故A符合题意； 8的立方根是2，故B不符合题意； 9的平方根是，故C不符合题意； ，它的平方根是，故D不符合题意； 故选：A． 2．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 3．已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【分析】首先根据题意，求出a，b的值，再解答即可． 【详解】解：的算术平方根是3，的立方根是2， ， 解得， ， 的平方根为． 题型10.实数混合运算 1．下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中，正确的结论有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过举例验证是否成立即可． 【详解】解：①取两个不同无理数和，，差为整数，故①正确； ②取两个不同无理数和，，积为整数，故②正确； ③取两个不同非整数有理数和，，，和与商均为整数，故③正确；综上，正确的结论有3个． 2．若实数a、b满足，，则_______． 【答案】438 【分析】先化简，得，同理化简得，再把它们整体进行加减运算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 得， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依次计算算术平方根、绝对值、立方根、乘方，再进行实数加减运算即可； （2）依次计算乘方、绝对值、算术平方根、立方根，再进行实数加减运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型11.平方根、立方根相关规律探究 1．先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 【答案】B 【分析】先观察已知算式，总结被开方数与对应算术平方根的变化规律，再利用规律求解，也可利用积的算术平方根性质直接计算． 【详解】解：观察已知式子可得规律：被开方数中后每增加个，结果中后就增加个． 所求中，被开方数后共有个， 结果中后应有个，即． 2．已知，，则______；已知，，则______． 【答案】 【分析】算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 【详解】解：； ． 3．在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【详解】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．有限小数一定是有理数 B．无限小数一定是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．有理数与数轴上的点一一对应 【答案】A 【详解】解：有限小数一定是有理数，故选项A说法正确，符合题意； 无限不循环小数一定是无理数，故选项B说法错误，不符合题意； 实数可以分为正实数、负实数和0，故选项C说法错误，不符合题意； 实数与数轴上的点一一对应，故选项D说法错误，不符合题意． 2．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：、，该选项错误； 、被开方数为负数，式子无意义，该选项错误； 、，故，该选项错误； 、，该选项正确． 3．的整数部分为a，小数部分为b，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先估算出的范围，再求出的值，最后代入求出结果即可． 【详解】解：∵，的整数部分为a，小数部分为b， ∴，， ∴． 4．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】估算出，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴与最接近的数对应的点是． 二、填空题 5．的相反数是___________，绝对值是___________． 【答案】 【分析】相反数：在原数前面加负号，再化简；绝对值：先判断代数式正负。，，正数的绝对值等于它本身． 【详解】解：相反数： 绝对值：， ， ． 6．若，则___________ 【答案】 【分析】根据算术平方根和乘方的非负性可得，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 7．规定用表示一个实数x的整数部分，例如，按此规定，则______． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，推导得到的范围，再根据题目定义求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵表示实数的整数部分， ∴． 8．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的__________倍． 【答案】2 【分析】先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的2倍． 三、解答题 9．按要求解答下列各题： (1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． (2)与都是的平方根，求的值． 【答案】(1)9 (2)9或1 【分析】（1）根据平方根的定义得到，然后解方程即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴这个正数是； （2）解：∵与都是的平方根， ∴当与不相等时， 解得， ∴； 当与相等时， 解得， ∴； 综上，的值为9或1． 10．在数轴上近似地表示下列实数，并比较这些实数的大小，用“<”连接． ，，，，，． 【答案】解：， 把各数表示在数轴上如下： 在给定数轴上对应位置标注各数后，用“”连接为：． 【分析】先化简各数，再根据正数、负数的定义把各数表示在数轴上，然后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可． 【详解】略． 11．已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用立方根，算术平方根，求无理数的整数部分的法则求出各数的值即可； （2）代数求值后利用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得， ∵c是的整数部分，， ∴ ∴； （2）解： 12．探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 【答案】(1)①两；②3或7；③43或47；43 (2)见解析 【分析】（1）根据所提供的方法进行计算即可；（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． （1）①因为要确定算术平方根的位数，所以利用平方数的位数规律，通过对比已知的整十数、整百数的平方与1849的大小关系来判断． ②因为一个数的平方的个位数字由原数的个位数字决定，所以根据1849的个位数字，结合平方的个位特征来确定算术平方根的个位数字． ③因为要确定算术平方根的十位数字，所以划去后两位得到的数，对比相邻整数的平方，再结合给定的判断方法缩小范围，最终确定算术平方根． （2）因为求立方根的思路与求算术平方根类似，所以先利用立方数的位数规律确定立方根的位数；再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字；最后划去后三位得到的数，对比相邻整数的立方，结合类似的判断方法缩小范围确定十位数字，进而得到立方根． 【详解】（1）解：①∵，，且， ∴， ∴是两位数； ②∵1849的个位上的数是9，一个数平方后的数个位上为9的只有3和7， ∴的个位上的数是3或7； ③划去1849后面的两位49得到数18，而，， ∴十位上的数是4， ∴1849的算术平方根可能是43或47； ∵十位上的数是4，若个位上的数是7，需进位，，而， ∴个位上的数是3， ∴． （2）解：，， 103823的立方根是两位数； 103823个位上的数字是3， 103823的立方根个位上的数字是7； 如果划去103823后面的三位“823”得到数103，而，， 由此可确定103823的立方根十位上的数字是4， 那么103823的立方根是47． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $