精品解析：辽宁锦州市某校2026-2027学年高三上学期第二次自主考试数学试卷

高三第二次自主考试 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 3. 在等比数列中，是方程的两根，则等于（ ） A. 6 B. 2 C. 2或6 D. －2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数同时满足：①，当时，有；②，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式对任意恒成立，其中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 幂函数是奇函数 C. 若，则的最小值为2 D. 若函数在上单调递增，则 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为5 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 在数列中，，，且，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等差数列 C. D. 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______ 13. 已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________． 14. 已知函数，若等差数列的前n项和为Sn，且，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知正项等比数列中，，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）解不等式． 17. 已知设备可在两种电压和下生产某种零件，现有、两个工厂，工厂设备用电压生产一小时得个零件，工厂设备用电压生产一小时得个零件为了了解两种电压下生产的零件情况，通过分层抽样的方式共抽取个零件作为样本，测量其尺寸后，按照以下区间分为九组：；；；：；；；；.得到频率分布直方图如下，已知抽取的零件中尺寸小于的有个． 优等品 非优等品 总计   总计 （1）求的值，如果把尺寸在内作为优等品的标准，对抽取的个零件，完成列联表据此资料，你是否认为有把握认为电压与零件优等品率有关？ （2）从厂设备的生产流水线上随意抽取个零件，把抽样的频率看作概率，试计算其中优等品个数的数学期望； （3）从厂抽取的样本中随意抽取个零件，计算其中非优等品个数的分布列和数学期望． 参考公式及临界值表：，其中． 18. 已知函数，数列满足，， （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 19. 已知函数，，． （1）求函数的最值； （2）讨论函数在上极值点的个数； （3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第二次自主考试 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合， 因为，，得. 所以. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 和表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：函数，则，解得且，所以函数的定义域是，故A错误. 选项B：函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一个函数，故B错误. 选项C：函数，因为，所以，解得，所以函数的值域为，故C错误. 选项D：由题意可知，定义在上的函数满足①， 用替换得，②， 对于①两边分别乘以2得③， 然后②+③得，所以，故D正确. 3. 在等比数列中，是方程的两根，则等于（ ） A. 6 B. 2 C. 2或6 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦达定理得到两根的和与积，结合等比数列下标性质求出，再根据条件判断的符号，舍去负解，完成求值. 【详解】是方程的两根， 根据韦达定理，所以 【点睛】本题考查等比数列性质与韦达定理综合应用，重点检验学生对等比数列项的符号辨析能力，提醒学生在利用等比中项公式时，不能直接默认正负双解，需要结合题干条件判断符号取舍。 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】化简已知： ， 分子分母分别用诱导公式化简： ， ， ， ， 原式： ， 分子分母同除以：， 代入， . 5. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称． 分子为奇函数，分母为奇函数，所以A中的函数为偶函数． 取，有且，从而，而题图在附近位于轴上方，故A错误； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称． 分子为偶函数，分母为奇函数，所以B中的函数为奇函数，图象不关于轴对称，故B错误； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称． 分子为偶函数，分母为偶函数，所以C中的函数为偶函数． 取，有且，从而，与题图在附近的形状相符，故C正确； 对于D，函数的定义域为，关于原点对称． 分子为奇函数，分母为偶函数，所以D中的函数为奇函数，图象不关于轴对称，故D错误． 6. 若函数同时满足：①，当时，有；②，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析出为偶函数且在 单调递增，比较自变量大小可得解. 【详解】根据题意的定义域为，①，当时，有，即， 所以满足 ，则 为偶函数， 又因为 ，恒成立， 所以 在 单调递增，在 单调递减， 因为为偶函数，则， 而，所以， 根据指数函数的性质得出 ，所以， 所以. 故选：A 7. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式，因为，得出， 设，求导得， 因为，所以，又因为，所以，即在R上单调递增， 因为是偶函数，所以，即函数的图像关于直线对称， 所以，所以， 因为单调递增，所以时，，所以不等式解集为. 8. 已知函数，若不等式对任意恒成立，其中，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先考虑函数是否具有奇偶性、单调性；再根据函数的性质将题中条件等价为对任意恒成立，因而将求的最大值转换为先求的最小值，再求该最小值的最大值 【详解】对，，故函数的定义域为， ， 因此函数是奇函数， 对，， 所以函数在上单调递增， 对，不等式恒成立， 即， 由于单调递增，所以对任意恒成立， 因为，所以对任意恒成立，所以， 设函数，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因此在时取最小值，， 要使对恒成立，等价于恒成立， 设，，则， 则当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 幂函数是奇函数 C. 若，则的最小值为2 D. 若函数在上单调递增，则 【答案】AD 【解析】 【分析】依次根据对数函数过定点的性质、幂函数的定义与奇偶性、对勾函数的最值规律、分段函数单调递增的条件判断各选项正误. 【详解】 选项A：令得，代入函数得，因此图象恒过定点，A正确； 选项B：幂函数的系数必须为1，故，得，此时函数为，定义域为，定义域关于原点对称，设， 则，故是偶函数，B错误； 选项C：将函数变形为，令，因为对勾函数在上单调递增，因此时取最小值为，C错误； 选项D：分段函数在上单调递增需满足两个条件：①二次函数在上单调递增，其开口向下，对称轴为，故即；②左段在处的函数值不大于右段在处的极限值，即，解得，综上得，D正确. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为5 B. 的最小值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，将变形为，利用基本不等式求解；对B，利用基本不等式求解；对C，由条件可得，可得，根据二次函数求最值判断；对D，利用“1”代换结合基本不等式求解. 【详解】对于A，因为，， 所以， 当且仅当，即时，取等号，故A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，由，，得，则， 所以，当，时取等号，故C正确； 对于D，由，， 得，当且仅当，即时取等号，故D正确. 11. 在数列中，，，且，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等差数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为， 所以，即，解得， 因为，所以， 则是首项为，公比为3的等比数列，故A正确； 因为， 所以，即， 所以数列为首项为2，公差为0的等差数列，故B正确； 当时， ， 又符合，所以，故C正确； 已知， 则，故D错误． 三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______ 【答案】 【解析】 【详解】因为， 故原式 ． 13. 已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据θ的象限和的值求，得到点P的坐标，再利用任意角三角函数的定义计算. 【详解】已知θ为第二象限角，，得： 故，，故 则原点到点P的距离， 故. 14. 已知函数，若等差数列的前n项和为Sn，且，，则______． 【答案】4052 【解析】 【分析】根据的解析式，判断为单调增函数且为奇函数，利用奇函数性质得到，再结合等差数列的前项和公式及角标和性质，即可求得结果． 【详解】函数，令， 其定义域为，又，所以为奇函数， 又在为单调增函数，在为单调增函数， 所以在单调递增， 又在为单调增函数，所以在上为单调增函数， 因为为上的奇函数，所以在上为单调增函数， 因为，，所以， ，则，即； 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知正项等比数列中，，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为q，由题得，解方程即得数列的通项公式； （2）先求出，再利用裂项相消求数列的前n项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为q. 因为，，成等差数列， 所以，得， 又，则，即， 所以，所以，所以， 所以. 显然，所以，解得. 故数列的通项公式. （2）由（1）知， 所以. 则 . 【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的计算，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数在处有定义时的性质求出参数，再代入已知点求出参数 ，最后验证分母不为零并确定解析式即可； （2）先判断并证明函数在定义域上的单调性，然后利用奇偶性将不等式转化为，再结合函数的单调性和定义域，建立关于的不等式组进行求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，且， 所以，即，解得，此时， 又因为，代入得，即，解得， 所以， 经检验，分母 恒成立，且，符合题意， 故函数的解析式为，定义域为. 【小问2详解】 任取 且，则， 因为且，所以，，且分母大于， 所以，即，故在上单调递增， 不等式 等价于， 因为为奇函数，所以，即， 又因为在上单调递增，所以， 解得， 所以不等式的解集为. 17. 已知设备可在两种电压和下生产某种零件，现有、两个工厂，工厂设备用电压生产一小时得个零件，工厂设备用电压生产一小时得个零件为了了解两种电压下生产的零件情况，通过分层抽样的方式共抽取个零件作为样本，测量其尺寸后，按照以下区间分为九组：；；；：；；；；.得到频率分布直方图如下，已知抽取的零件中尺寸小于的有个． 优等品 非优等品 总计   总计 （1）求的值，如果把尺寸在内作为优等品的标准，对抽取的个零件，完成列联表据此资料，你是否认为有把握认为电压与零件优等品率有关？ （2）从厂设备的生产流水线上随意抽取个零件，把抽样的频率看作概率，试计算其中优等品个数的数学期望； （3）从厂抽取的样本中随意抽取个零件，计算其中非优等品个数的分布列和数学期望． 参考公式及临界值表：，其中． 【答案】（1） ，列联表如下： 优等品 非优等品 总计 总计 有 的把握认为电压与零件优等品率有关 （2） （3） 的分布列为： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）先求出抽取的零件中尺寸小于的频率，根据频率，频数和样本容量的关系求，根据分层抽样性质结合频率分布直方图求出列联表中所需数据，补充列联表，根据独立性检验方法判断结论； （2）根据二项分布期望公式求结论； （3）确定的可能取值，求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望定义求期望. 【小问1详解】 由已知尺寸小于的区间为和，组距为， 对应频率分别为和， 因此尺寸小于的频率为，  已知该部分共个零件，故， 由分层抽样规则，、厂每小时生产零件数为和， 因此抽样比例为，总样本个，得厂抽取个，厂抽取个， 优等品区间的频率为， 即总优等品数为，总非优等品数为， 结合已知厂优等品、非优等品， 所以厂优等品、非优等品， 补全列联表如下： 优等品 非优等品 总计 总计 零假设为：电压与零件优等品率之间无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到  根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即可以认为电压与零件优等品率有关联，此推断犯错误的概率不大于； 【小问2详解】 厂样本共个，其中优等品个，因此抽样得到的优等品频率为， 将该频率作为流水线任意抽取个零件为优等品的概率， 则随意抽取个零件，优等品个数服从二项分布， 因此数学期望； 【小问3详解】 厂样本共个，其中非优等品个，从厂样本中任取个， 非优等品个数服从超几何分布，的可能取值为， ，​，​ ， 因此的分布列为： 0 1 2 数学期望：  18. 已知函数，数列满足，， （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 【答案】（1）因为函数，所以， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， . （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意写出数列递推公式，进而根据等比数列的定义证明数列是等比数列，进而根据数列的首项和公比，写出数列的通项公式，进而求出的通项公式； （2）根据条件直接写出数列的通项公式，进而求出，构造新数列，通过作差法，说明数列单调性，进而根据数列最大值，求出参数范围. 【小问1详解】 证明略， 可知，即. 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以， 所以由，得出，，可得， 设，由， 可知当时，函数是减函数， ，， 于是有时，， 所以，，因此， 存在，使得成立，则有，因此实数k的最大值. 19. 已知函数，，． （1）求函数的最值； （2）讨论函数在上极值点的个数； （3）设函数，若在定义域内有三个不同的极值点，，，且满足，求实数a的取值范围． 【答案】（1）最小值为，无最大值 （2）当或时，无极值点； 当时，有2个极值点． （3） 【解析】 【分析】（1）对求导找到临界点，通过导数符号判断单调性，进而求得最小值，结合定义域端点趋势判断无最大值； （2）将极值点个数转化为导函数的变号零点个数，分离参数得到，通过研究函数的单调性与值域，分类讨论的范围得到零点个数； （3）先化简并求导，将极值点问题转化为方程根的问题，结合的图像得到三个极值点的条件，再利用根的关系将化简为关于的函数，通过单调性解不等式得到的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，． 令，即，解得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此在处取得极小值（也是最小值），此时． 无最大值． 所以函数的最小值为，无最大值． 【小问2详解】 由题意知，讨论在上变号零点个数 对，求导可得． 讨论在上的解的个数，即在上的解的个数． 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时． 且当时，；时，． 当时，在上无解，此时在上无极值点； 当时，在上有2个解，此时在上有2个极值点； 当时，在上有1个解， 但在上为非负数，仅在处取0，故此时在上无极值点； 当时，在上无解，此时在上无极值点； 综上，当或时，无极值点； 当时，有2个极值点． 【小问3详解】 ，其定义域为， 则，． 令，解得或． 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，此时， 且当时，；当时，． 因此的大致图象如图所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点，，，且为的一个根， 所以与有两个不同的交点（且不等于1），所以， 即在上有两个不同的正根，分别位于和，且不等于1． 不妨设，则， 所以，即，，也即，， 所以 ． 令，则 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又，所以， 所以在上单调递增． 因为 因此当时，， 即当时，恒成立， 所以实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $