精品解析：广西壮族自治区防城港市上思县上思中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋季学期高二年级10月份月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易知平面的法向量，结合线面夹角可得射影的模长. 【详解】易知平面的法向量为， 且，， 则， 即直线与平面的夹角的正弦值为，余弦值为， 则， 故选：A. 2. 两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B. 3. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出过两点的直线的斜率，结合倾斜角和斜率的关系，即可求得答案. 【详解】由题意得经过，两点的直线的斜率为， 而直线倾斜角范围为， 故经过，两点的直线的倾斜角为， 故选：C 4. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义求解． 【详解】，则是单位向量， 由，，，得，， ， 在上的投影向量为， 故选：A． 5. 定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量在基底下的斜坐标，整理为关于的线性组合即可求解. 【详解】因为向量在基底下的斜坐标为 所以， 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D 6. 如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加法、减法法则化简可得结果. 【详解】. 故选：D. 7. 已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】，， ，，， 设的夹角为，， ，故， 所以以为邻边的平行四边形的面积为. 8. 经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角. 【详解】因为,所以过两点的直线斜率为, 所以倾斜角为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】由两直线的平行与垂直，即可判断AB，由直线倾斜角的定义即可判断C，分直线过原点以及不过原点，即可判断D 【详解】对于A，由可得直线与直线互相垂直，故充分性满足， 由直线与直线互相垂直， 可得，解得或，，则必要性不满足， 所以“”不是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故A错误； 对于B，由可得直线与直线互相平行，故充分性满足， 由直线与直线互相平行 可得，解得，则必要性满足， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角，则， 又，所以，故C正确； 对于D，直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，则直线方程为； 若直线不过原点，则直线斜率为，在坐标轴上的截距为， 所以直线方程为，即； 所以直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为或，故D错误； 故选：BC 10. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（ ） A. 若为中点，则平面 B. 若为中点，则平面 C. 不存在点，使得 D. PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可判断A；利用线面垂直的判定定理可判断B；当Q与B重合时，结合平面，可证，判读C；利用线面角的定义求出PQ与平面所成角的正弦值的最值，可判断D. 【详解】对于A，连接，由于为中点，为线段的中点， 故，而平面，平面， 故平面，A正确； 对于B，在正方体中，连接，则， 又平面，平面，故， 而平面，故平面， 由A的分析可知，故平面，B正确； 对于C，在正方体中，为线段的中点，也为为线段的中点， 当Q与B重合时，平面， 连接，则， 又平面，平面，故， 而平面，故平面， 而平面，故，即 即存在点，使得，C错误； 对于D，不妨设正方体棱长为2，作，垂足为H，则H为的中点， 由于平面平面，平面平面， 且平面，故平面，且， 则为PQ与平面所成角， 当Q与B重合时，取到最大值BH，此时PB即为PQ的最大值， 此时PQ与平面所成角的正弦值取到最小值，为， 而,故； 作，垂足为G，则，， 当Q与G重合时，取到最小值即为HG，此时PG长即为PQ的最小值， 此时PQ与平面所成角的正弦值取到最大值，为， 即PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时要能根据线面角的定义，确定角的正弦值取到最值时的点Q的位置，从而解直角三角形求出正弦值. 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（　　） A. B. 点到直线的距离是 C. 平面ECG与平面的夹角正弦值为 D. 直线与平面的法向量所成角的正切值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过空间向量的基底运算可得A的正误，利用空间向量夹角公式和点到面距离公式可以判断B、C、D的正误. 【详解】对于A：依题意， 所以，因此本选项结论不正确； 对于B：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， ，，设， 则点到直线CQ的距离，因此本选项说法正确； 对于C：,； 设平面的向量为， 则， 令可得为， 设平面的法向量为， 则，则， 所以， 即平面与平面的夹角余弦值为，所以本选项说法正确； 对于D：由正方体的性质可知平面， 所以平面的一个法向量为， 因为，， 所以， ， 所以，因此本选项说法正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点B是点在坐标平面内的射影，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据空间中点的对称关系得到B点的坐标，利用两点之间的距离公式得到结果． 【详解】∵点B是点在坐标平面内的正射影， ∴B在坐标平面上，横标和纵标与A相同，而竖标为0， ∴B的坐标是， ∴， 故答案为：. 13. 已知空间向量和，则在上的投影向量为________(用坐标表示). 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可得在上的投影向量的坐标. 【详解】已知空间向量和， 则在上的投影向量为 . 故答案为：. 14. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示，结合投影向量公式进行求解即可. 【详解】由题意得，， ∴向量在向量上的投影数量为． 所以 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. （1）证明：平面； （2）当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】（1） 连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以， 因为面，面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，可取， 平面的法向量可取， 所以，得， 因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，，，，. （1）若平面，求的值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件判定垂直关系，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可； （2）利用空间向量求得两平面的法向量计算即可. 【小问1详解】 分别取中点，连接， 由已知底面是直角梯形，，，， 易得， ∵平面平面，平面平面， ∴， 以为中心，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意知为等腰直角三角形，，, 则， ∴， ∵， ∴， 显然是平面的一个法向量， 若平面，则， 即； 【小问2详解】 由（1）知，， 当时， ∴， 设分别为平面与平面的一个法向量， 则有，， 不妨令，则， 则， 设平面与平面的夹角为， 故, 即平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 如图，△ABC与△DBC所在平面垂直，且，． （1）证明：； （2）求直线BC与平面ABD所成角的余弦值． 【答案】（1） 过A作AO⊥CB交CB的延长线于点O，连接DO， 由题：，所以， 又因为，，所以． 因此分，故， 又因为，所以平面ADO， 又因为平面ADO，故． （2） 【解析】 【分析】（1）首先由角度关系得到，进而可得，再结合线面垂直的判定定理以及性质可得； （2）建立空间直角坐标系，求出直线BC的一个方向向量与平面ABD法向量，利用向量法即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，由（1）得：OD，OC，OA两两互相垂直， 故以O为原点，OD，OC，OA分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz如图， 则，，，， 所以，，， 设平面ABD法向量为，则有 ，则 设直线BC与平面ABD所成角为，则， 又因为，所以． 18. 根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： （1）经过点，平行于直线； （2）经过点，点. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行确定斜率，再由点斜式即可求解； （2）先求得斜率，再由点斜式即可求解. 【小问1详解】 由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得. 【小问2详解】 由条件可得斜率，故方程为：， 整理得： 19. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求到平面的距离； （3）若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，先证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明平面； （2）方法一，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及点D到平面的距离，利用平面，将到平面的距离转化为点D到平面的距离，即可得解； 方法二，利用平面，将到平面的距离转化为点到平面的距离，进而转化为点B到平面的距离，再利用等体积法计算即可； （3）设，利用正得到其外接圆圆心的坐标及半径，进而设出球心的坐标，根据球的性质求出点坐标，进而求出平面的法向量，即可根据向量法求出直线和平面所成角的正弦值，即可得解. 【小问1详解】 设，连接． 因为四边形为菱形，所以 为的中点． 在中，因为 为的中点，所以 OM为的中位线，故， 又因为平面，平面， 所以 平面； 【小问2详解】 方法一：向量法 以A为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴， 过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 在平面内过作，交的延长线于，连接. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为，所以， 因为，，所以， 所以，，即，所以. 在中，，所以，， 则，因为为中点，所以， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，则. 设点D到平面的距离为， 则． 由（1）知平面， 所以到平面的距离即为点D到平面的距离， 所以到平面的距离为； 方法二：等体积法 由（1）知平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离，设为． 因为为中点，所以点到平面的距离等于点B到平面的距离， 即， 在平面内作交直线的延长线于，取中点， 连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，所以，， 所以到平面的距离为. 因为，所以． 在中，， 由余弦定理可得， 在中，． 在中，，为中点，则， 由余弦定理可得， 所以，所以． 在中，，底边上的高为， 所以. 又因为. 由可得，解得， 所以到平面的距离为； 【小问3详解】 在（2）所建的坐标系中，设，则， 因为，所以． 由，可得， 解得，故. 在正中，外接圆圆心为，外接圆半径． 设三棱锥外接球的半径为，球心为． 由球的性质可得，解得，则， 所以，因为点在外接球上，则， 所以， 即，即． 解得，所以， 所以，. 设平面的法向量为． 则，即. 令，则，即． 设直线和平面所成角为， 则 因为，所以． 所以直线和平面所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期高二年级10月份月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 A. B. C. D. 3. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 8. 经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为 10. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（ ） A. 若为中点，则平面 B. 若为中点，则平面 C. 不存在点，使得 D. PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达•芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（　　） A. B. 点到直线的距离是 C. 平面ECG与平面的夹角正弦值为 D. 直线与平面的法向量所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点B是点在坐标平面内的射影，则__________. 13. 已知空间向量和，则在上的投影向量为________(用坐标表示). 14. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. （1）证明：平面； （2）当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，，，，. （1）若平面，求的值； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 如图，△ABC与△DBC所在平面垂直，且，． （1）证明：； （2）求直线BC与平面ABD所成角的余弦值． 18. 根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： （1）经过点，平行于直线； （2）经过点，点. 19. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求到平面的距离； （3）若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $