福建省泉州市第七中学2027届高三毕业班“顶尖计划”（一）数学试题

试卷工作★考前保密 严防泄密★泄密必究 1卷 2027届高三毕业班“顶尖计划”（一） 数学·答案 1.C 解法：方法一：由-4≥2，得二42≥0， x-1 x-1 所以-2之0，即+2 x-1 0， x-1 [x-1≠0 即 (r+2)(x-1)s0'所以-2≤x<1, 所以不等式岩青2的解线是和2s< =4≥2，得 [x-1>0 x-1<0 方法二： -4≥20x-1)或 x-4≤2(x-1)1 解得x∈0或-2≤x<1, 所以不等式-4≥2的解集是{x-2≤x<1。 x-1 2.A 解法：由A=k=sim匹n∈Z=千10,1}，B=-1<x<2头，则AnB=0,1 2 3.B 思路：根据奇函数的定义即可求出参数的值 解法：“f=3+k:3”是定义在(m,+网上的奇函数，（对=-）， 2 即3+k.33+k.3 ，整理得(k+1)3”+3x)=0. 2 2 ·3x+3x>0,k=-1 4.D 解法：因为J)方log,即U(日s0, 所以/e）--片 5.A 思路：根据函数奇偶性的定义，求出m的值，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 解法：已知函数f(x)=, In (mx+4x2+1 若∫(x)是奇函数，则有f(x)=-(-x), 答案第1页（共12页） 上 即n(x+V4x2+1 血m(x)+4(-x+1, 得到(x+V4x2+1)V4x2+1-x)=1,化简得 (4-m2)x2=0, 要使等式对定义域内的x恒成立，则必须满足4-m2=0,解得=2或=-2， 当m=2时，函数(x)= x 2x+V4x2+1>0 ln2x+4x2+1）? 定义域满足 ,即x≠0，关于原点对称： 2x+V4x2+1≠1 国 当m=-2时，函数f()= -2x+V4x2+1>0 n-2x+V4x2+1 定义域满足 即x≠0，关于原点对称： -2x+√4x2+1≠1 所以，若m=2,则f(x)是奇函数；若f(x)是奇函数，则m=2或m=-2; 因此“=2”是“f(x)为奇函数”的充分不必要条件，故A正确， 6.B 思路：根据函数的定义域和奇偶性排除选项A,C，然后利用函数在无穷远处的变化趋势确定最终选项 解法：函数f(x)=x+cosx-3-lnx2的定义域为(-w,0)U(0,+o). x∈(-n,0)U(0,+o),都有-x∈(-o,0)U(0,+0), f(-x)=(-x)2+cos(-x)-3-In(-x)2=x+cosx-3-Inx2=f(x), 所以f(x)为偶函数，y=∫(x)的图象关于y轴对称. 所以A,C错误. f()-2x-inx--2x-sinx-2 当xe(2,切)时，2x>4simx≤1,2<1， 所以f'(x)>0,f()单调递增. 所以排除D,B符合 7.D 思路：利用导数法求得极值点，再根据函数在(a-1,a+1)内存在极值建立关于a的不等式求解即可. 解法：fw=2-x+1的定义域为0，+，f)=2-1-2x+1)2x-山 2x 2.x 令f(9=0,可得：=或x=-号 (舍)， 21 2 由f(x)在其定义域内的一个子集(a-1,a+1)内存在极值， a-1≥0 1 3 可得：}a-l<7解得1≤a< 答案第2页（共12页） 所以实数α的取值范围为 1 3-2 8.D 思路：根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可 解法：设3+1og2x=1+1og3y=4+lg5==k, 则x=2-3,y=3-1,三=5-4 对于A,当k=4时，x=2,y=27,二=1，则y>x>2,A有可能 对于B,当k=5时，x=4,y=81,二=5，则y>>x,B有可能 对于C,要满足x>y,即2-3>3-1，同时取对数得(k-3)h2>(k-1)ln3, 则k<32-n3-a8-n3<0 In 2-1n 3 1n 2 -1n3 当k<0时，二=5-4会非常小；当k足够小时，x=2-3比y=3-1衰减慢，会出现x>y: 如众=10时，=2=0y=3其=5“=动 514 因为213=22.211=4×211,31=(2×1.5)1=21x1.51,1.511>1.54=2.25×2.25>4, 所以21<3，易得514>31,514>23，所以213<31<514， 故x>y>2,C可能 对于D,若x>z>y,则必有x>y和z>y. 由>y,得32 >1 y8(3 若k≥0，则 3) 1,从面君1，矛后，所以<0. 由>y,得=35) >1 y625(3 这与k<0矛盾，因此x>z>y不可能出现. 9.ACD 思路：先由条件确定α，b的大小关系，再借助相应函数的单调性或作差法逐项判断. 解法：因为a,b>0,a+b>0, 、a+b<之，得2a<a+b,所以0<a<b. 对于A,因为y=log027x在(0，+∞）上单调递增，则log2027a<l0g2027b,故A正确： 对于B,(b-b)-(d-a)=(b-a2)-(b-a=(b-a(a+b-1), 其中b-a>0,a+b-1不能确定正负 答案第3页（共12页） 例如取a-才b=分则云-a=。}5-b,放B错误： 1641 对于C, bab(a+1)-a(b+1) b-a >0,故C正确： b+1a+1(a+1)(b+1) (a+1)b+1) (1) 对于D,因y=(2027) 是减函数，则得 1）° 2027>2027 ,故D正确。 10.BD 思路：根据各项的描述，应用一元二次不等式的解法、对数函数的性质求对应情况下参数的范围，由集合 的交补运算、必要不充分条件求参数范围判断各项的正误 解法：由A={x|x2-3x-10<0}={x-2<x<5},B=xx2+a+3)x+3a)0a∈R, A,要使B=R,则须方程x2+(a+3)x+3a=0的判别式△<0， 即(a+3)2-12a=a-6a+9=(a-3)2<0,无解，故错误： B,方程x2+(a+3)x+3a=0的两个根为-a、-3,且a<3, .-a>-3,则B={x|x<-3或x>-},又A∩B=⑦，A={x|-2<x<5}, .-a≥5，即a≤-5，故正确： C,a=-1,则B={2+2x-30}=xx<-3或x>1, RB=-3≤x≤1，故An(RB)=-2<x≤1，故错误； D,A={x|-2<x<5},且a<3,则B={x|x<-3或x>-a}. “x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件， .A是B的真子集，则-a≤-2，解得a≥2， ∴.实数a的取值范围为[2,3)，故正确 11.BC 思路：对于A,举反例即可；对于B,利用函数零点和符号确定、b的关系；对于C,利用图象关于原 点对称的性质及导数判断交点个数；对于D,取边界值检验D项，并证明该值确实满足原不等式. 解法：对于A,取=b=0,则f(x)=x,该函数严格递增，输出幅度值与输入幅度值一一对应，但 f(2)=8≠2，A错误. 对于B,由题意得f(x)>0当且仅当x>0. 又f(a)=f(b)=0,因此a≤0，b≤0. 若a≠b,不妨设a<b≤0，取x∈(a,b),则x<0,x-a>0,x-b<0,所以f(x)=x(x-a)(x-b)>0, 与题意矛盾. 因此一定有a=b,B正确. 对于C,此时f(x)=x-3x,其图象与边界x+y=2均关于原点对称，只需判断右半平面的交点个数. 当0<x<√5时，f(x)<0,由+y=2得y=x-2,故交点横坐标满足h(x)=x-4x+2=0 答案第4页（共12页） 由h(x)=3x2-4,列增减表如下： 0 后 √5 H(x) 0 h(x) 2>0 21 360 2-√5>0 由表可知，方程h(x)=0在(0，V⑤)内恰有2个不同的解，对应2个交点. 当V3<x<2时，∫(x)>0,由边界方程得y=2-x,故交点横坐标满足k(x)=x-2x-2=0 由k(W5)=5-2<0,k(2)=2>0,且K(x)=3x2-2>0,知该区间恰有1个交点. 边界上x≤2，且x=0、x=√5、x=2时均非交点，故右半平面恰有3个交点 结合关于原点的对称性，共有6个交点，C正确. 2x+y=2 -2 y=x3-3x 对于D,当a=b=2时，f(x)=x(x-2). 取m-,则当03s时.3四-sg2-80:)非}。 所以当m=3时，对任意x∈[0，m均有f(x)≤m,但m=3不满足<3，D错误. 12.2 解法： --me】2 1-i-1-i)0+i) 2 2-m=0 若2+m(meR)是纯虚数，则 21 ，解得m=2 1-i 2+m≠0 s.e-126安1-8 思路：先把不等式∫(x)<0变形为e<ar+l,转化为两个函数图像的位置关系，对参数a分三类讨论，根 答案第5页（共12页） 据仅有一个整数解列出边界不等式，最后合并两段取值范围得到答案. 解法：因为f(x)<0有且只有1个整数解， 则e*<心+1有且只有1个整数解， 因为当a=1时，e≥x+1恒成立， 所以不符合题意： 当a>1时，在同一坐标系中，作出函数y=e与y=ar+1的图象如下图1所示， a+1>e 则e<ar+1只能有且只有一个整数解1，即 2a+1≤e2, 解得e-1<a≤L, 2 当0<a<1时，在同一坐标系中，作出函数y=e与y=x+1的图象如下图2所示， 则ex<ar+1只能有且只有一个整数解-1， -a+1>1 e 则有 2a1 即1 22esa<11 e 当a≤0时，由下图3可知，e*<ax+1有无穷多个整数解，不符合题意. 综上，实数a的取值范围为： v=e v=er =ax+1 y=ax+l y=ax+1 图1 图2 图3 14.（-0,2-e) 思路：方法一：把条件整理为“同构”形式，用同一函数的单调性得到x2=e5，再把2x-x3化为1的函数求 值域；方法二：由原条件得x,n+(x-1)(s-e)=0分析得到=e,令t=5-1>0,则 e 2x-x2=2+2t-te,构造h(t)=2+2t-e求导确定单调性即可求解 解法：方法一：因，x>1,分母xe9+x3>0,原条件等价于 e+xhx2=xe4+x32,即x,(n53-1)=(s-1)e. 因右边为正，故lnx2-1>0,即x2>e. 令t=nx2>1,则(t-1)e=(x-1)e. 答案第6页（共12页） 设F(x)=(x-1)e,x>1,则F'(x)=ex+(x-1)e=xex>0, 故F(x)在(1，+o)上单调递增，由F(t)=F(:)得t=,即x2=e. 于是2x-x3=2x-e.设G(x)=2x-e,x>1,则G(x)=2-e*<2-e<0, 故G(x)在(1，+o)上单调递减：当x→1+时G(x)→2-e,当x→+o时G(x)→-∞. 所以2x-3∈(-o,2-e). 反之，任取>1，令x2=e>1,代入原式恒等于1，故上述范围内的值都能取到. 方法二：由原条件得hs-为=(x-1)e, 因为n,=-飞+nx,=X-ne+ln飞=+ln高，所以nx,=x+hn高代入并整理， e专 得血专+（伍-1(g-e）=0. 因5>0，x-1>0,且n点与x,-e同号， e 两个同号实数相加等于0，只能两项都等于0，故两项只能同时为零，即x3=e 令t=-1>0,则x1=1+t,2x-x2=2+2t-e+ 令h(t)=2+2t-e,t>0, h(t)=-e+2<0恒成立， 故h(t)=2+2t-e+<h(0)=2-e 又t→+0时2+2t-eH→-0， 所以2.x-x3∈(-m,2-e). 15.081 .16 @剑剖 思路：(1)利用基本不等式直接求解即可： (2)结合“1'的妙用，将x+y≥2-m恒成立，转化为(c+y)am≥2-m,进而求出结果即可. 解法：(1)因为x>0,y>0,所以4x+y≥2√4y=4Vy, 所以g24灯，则专号 16 811 2 当且仅当4x=y,即x= 8时等号成立 答案第7页（共12页） (2)由4x+y=9y得+49. x V 当且仅当2x=y, 1 即x=3,y=3 时等号成立 所以x+y的最小值为1 由x+y≥2m2-恒成立，则2m2-m≤1得(2m+1)(-1)≤0， 解得m1,所以实效m的取值范国为合 16单调适减K间为对和2+，单调运招区间为（公2小 ce 思路：(1)求导后因式分解，由α>0比较两根的大小，得单调区间： (2)先求f(x)在[1,3]上的最值，把“充分条件”转化为最值所满足的不等式组. 解法：(1)f(x)的定义域为R,且 f"(x)=(2am+1)e-(a2+x-1)e=[-m2+(2a-1)x+2]e=-(x-2)(a+1)e. 因a>0,。>0,两银2与满起-合0<2， 故当<或x>2时，四<0，当石<2时，>0 a 所以（刊的单调莲发区同为日和2，单洞递区间为（后之 (2)由(1)知f(在[L2]上单调递增，在[2,3]上单调递减，故最大值为/(2)=4+1 e2 又/0-gf6)=9a兰2，面j8-f0-9a*2.a9-eH20 e3 >0, 故（四在[列上的最小值为0-名 “x∈[1,3]是f(x)e[1,4]的充分条件即当x∈[1,3]时恒有1≤f(x)≤4， 故g≥1，且+1s 解得a2c且a≤e- 因e-子e,所以a的取值范国是ce-引 17.(1)A={1<x<5}:AnB={xh<x<2.5} (2)(1,3] 答案第8页（共12页） (3)(0,2) 思路：(1)解一元二次不等式即可求得集合A,解分式不等式求得集合B,再根据交集的定义求解A⌒B; (2)先求得集合B,由题设可得B是A的真子集，进而求解即可； (3)由题设，结合含参一元二次不等式的解法分类讨论求解即可。 解法：(1)不等式(x-1)(5-x)>0,变形为(x-1)(x-5)<0,解得1<x<5, 则A={x1<x<5}: 当m=05时，B的不等式为=05≤0，则 x-2.5 -056-25)0,解得0.5≤x<25, -2.5≠0 则B={x0.5≤x<2.5},即AnB={x1<x<2.5} x-m一≤0，则 (2)集合B的不等式为x-m+) J(x-m)[x-(m+2)]≤0 x-(m+2)≠0 解得m≤x<m+2,即B={xm≤x<+2, 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 所以B是A的真子集，而A={x1<x<5}, m+2s5解得1<m≤3，即实数m的取值范围为1,3] >1 则 (3)由题意AUC(0,5],且B∩C≠O,A={x<x<5},B={xm≤x<m+2}, 而集合C的不等式为x2-(3m+2)x+22+4≤0， 则(x-2m)[x-(m+2]≤0， 当2<m+2,即m<2时，不等式解得2m≤x≤m+2,则C=[2m,+2], m<2 由AUCs(0,5],得2>0，解得0<m<2, +2≤5 此时m<2<m+2,因此B∩C≠②，符合题意： 当2m=m+2,即m=2时，不等式解得x=4,即C={4, 此时B={x2≤x<4},则B∩C=0,不符合题意； 当2m>m+2,即m>2时，不等式解得m+2≤x≤2，即C=[+2,2m], 此时B∩C=②，不符合题意 综上所述，实数m的取值范围为(0,2)· 答案第9页（共12页） 18.(1)-3 62同3号 思路：(1)先根据f(1)=f(3)得出a≤-3，再根据f(0)=f(4)分类讨论求出a,再代入检验即可： (2)结合函数图象，分x≥1、x<1两种情况，利用对称性和单调性可得： (3)将问题转化为方程t2-t+6=0在(2,4)上有一根另一根小于2或有两个相等根均在(2,4)，结合二次 函数图象求解 解法：(1)因为函数f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(1)=f(3),即la+1=2+a+3引， 两边平方得：d2+2a+1=4+d+6a+9+4a+3引，整理得：a+3=-(a+3), 所以a+3≤0，即a≤-3， 再由f(0)=f(4),得1+ld=3+a+4,即a=2+a+4. 当4≤a≤-3时，-a=2+a+4,解得a=-3: 当a<-4时，-a=2-a-4,无解. 所以a=-3. 当a=-3时，f(x)=x-1+x-3, 则f(4-x)=4-x-1+4-x-3=x-3+x-1=f(x): 所以a=-3符合题意， 「-2x+4,x<1 (2)因为f(x)=x-1+x-3={2,1≤x≤3，作出函数f(x)的大致图象如下图所示， 2x-4,x>3 4 013 由图可知，函数f(x)在(-o,1)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 当1≤x≤3时，f(x)=2, 当x≥1时，x+5>x≥1，所以f(x)≤f(x+5),所以x≥1符合题意： 当x<1时，因为f(x)=f(4-x),所以f(x)≤f(x+5),等价于f(4-x)≤f(x+5), 答案第10页（共12页） 因为4>3，x+5>,所以+524，解得x2方所以-方<1 (3)因为函数g(x)=[f(x)]-f(x)+6有两个不同零点x,x2,且x<x,0<<1, 即[f(x)-f(x)+6=0有两个不等根，x2,且x<x2,0<:<1, 令t=f(x),则t-t+6=0①，2<f()<4, 所以方程①在(2,4)上有一根另一根小于2或有两个相等根均在(2,4). 令h(t)=t2-mt+6, h(2)=4-2+6<0 △=2-24=0 则有h4-16-m+6>0 24 解得5<m<或m=26, 则实数u的取植范国为：（号 19.(1)y=x; (2)(i)a=1; (ii)此时f(x)=xnx.令F(x)=lnr-ex, x>0,则F'()=1+e>0, 又P0-0,Pa)-2己>0. 故F(x)在(0，+o)上有唯一零点c∈(1,2)，即nc=e. f(x)-g(x)=x(lmx-e*)=xF x), [xhnx,0<x≤c 所以H(x)= xe*,x>c 当0<x≤1时H(x)≤0： 由解析式可知H(x)在(L,c)上单调递增、 当x>C时，H心之0恒成立，故H9)在(C+切)上单调递减 且H(c)=cc>0, 所以H(x)的最大值点x=c, 答案第11页（共12页） 不妨设x<x.由H(x)=H(x)及两侧的单调性得： 1<<c<,且f(x)=8(x2),f(c)=g(c) P(x)=xnx-x,e(x)=xe*+x,x>1, 则P'(田=>0，gx)=1+1-x)e=e-r+L0 e (因e>x+1,下面证明， 证明：令y=e-x-1,则y'=e-1>0在x>1时恒成立， 即y=e-x-1在(1，+o)单调递增，又当x=1时，y=e-2>0,故e*-x-1>0 即e>x+1), 故P(x)、Q(x)在(1，+∞)上均单调递增 由P(c)>P()得c-x<f(c)-f(): 由2(s)>2(c)得x2-c>g(2)-8c). 又f()=g(),f(c)=g(c),故f(c)-f(x)=g(c)-g(s), 所以c-<g(c)-g()<5-c,即5+>2c=2,得证. 思路：(1)求导得切线斜率，用点斜式写出切线方程； (2)(i)分别求f(x)的最小值与g(x)的最大值，由互为相反数列方程求a:(ii)先确定H(x)的 分段表达式与最大值点，再由H()=H(5)把，分居两侧，通过比较单调函数的增量证 明结论 解法：(1)g(四=c二e=1-对e,故g(0)=0,g(0)=1. e2x 所以曲线y=g(x)在点(0，O)处的切线方程为y=x. (2)(i)f(x)的定义域为(0，+o),f'(x)=l(ax)+1. 当0<x<1时f(e)<0,当x>1时f(x)>0, ae ae 放f的最小值为)n上- ae)ae e ae 又g(y=1-c,故g似在(m)上单调递增、在(1+)上单调递减，录大值为8① 由题意-1+1=0，解得a=1. ae e 答案第12页（共12页) 1卷此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 试卷工作★考前保密 严防泄密★泄密必究 2027届高三毕业班“顶尖计划”（一） 数 学 (试卷满分：150分 考试用时：120分钟) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．不等式 的解集是 A． B． C． D． 2．已知集合，，则 A． B． C． D． 3．已知是定义在上奇函数，则实数的值为 A． B． C．1 D．2 4．已知函数，则 A． B．4 C． D． 5．已知函数，则“”是“为奇函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数的大致图象为 A． B． C． D． 7．若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知正数 满足 ，则 A． B． C． D． 10．已知全集为，集合，，则下列结论正确的是 A．若集合，则实数的取值范围为 B．若，且，则实数的取值范围为 C．若，则 D．若，且“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 11．某功率放大器的输出幅度值与输入幅度值满足模型：，其中参数，由功率放大器电路的特性决定，则下列说法正确的是 A．若输出幅度值与输入幅度值是一一对应的，则当输入幅度值为时，输出幅度值也为 B．若输出幅度值为正数当且仅当输入幅度值为正数，则一定有 C．若，，输出曲线与系统安全运行边界有个交点 D．若，且当输入幅度值在内时，输出幅度值不超过，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若是纯虚数，则__________． 13．已知函数，若有且只有1个整数解，则实数的取值范围是__________． 14．若，且，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知，且． （1）求的最小值； （2） 若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围． 16．（15分） 已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若是的充分条件，求的取值范围． 17．（15分） 富平尖柿采摘季，合作社安排工人采摘柿子．设为单日采摘柿子的质量（单位：，）．根据生产经验：集合：柿子保鲜要求下，单日采摘量的可行范围，满足不等式；集合：人工成本管控下，单日采摘量的可行范围，满足不等式，实数为生产调配参数． （1）求集合；当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （3）合作社新增冷链仓储限制，对应单日采摘量集合．若满足，且，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知函数，若函数的图象关于直线对称. （1）求的值； （2）若集合，求集合； （3）若函数有且仅有两个零点，且时，求实数的取值范围. 19．（17分） 已知函数，． （1）求曲线在点 处的切线方程． （2）若的最小值与的最大值互为相反数． （ⅰ）求； （ⅱ）设函数 的最大值点为，实数满足 ，且 ，，证明：． 数学试卷第1页，共2页 数学试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $