精品解析：福建省泉州第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

泉州一中2026届高三第二次月考数学试卷 20251101 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是不共线的非零向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，a，b，c为，，的对边，，，，则c的值为（ ） A. 3或5 B. 3或6 C. 3 D. 5 5. 设且则 A. B. C. D. 6. 若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（ ） A. 1 B. C. D. 7. “湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点，且，已经测得两个角，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的有（ ）组 ①和；②和；③和. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若幂函数的图象过点，则 B. “向量与向量共线”是“存在，使得”的充分必要条件 C. 若的终边不相同，则 D. 在中，角对边分别为，则“”是“且”的充要条件 10. 已知平面向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在的投影向量为，则 D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的值域为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______． 13. 已知，，则______． 14. 如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，已知，，． （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 16. 已知函数，. （1）若存在极小值，且极小值为，求； （2）若，求的取值范围. 17. 已知向量，，函数. （1）若，且，求的值； （2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式. 18. 在中，，是边上一点，． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围． 19. 已知函数，． （1）若，求函数的单调递增区间； （2）若对于任意，恒有，求实数a的取值范围； （3）证明：对任意的正整数n，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州一中2026届高三第二次月考数学试卷 20251101 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解对数不等式求出集合，再由集合可知集合中的元素为整数，将集合中的进行赋值即可求解. 【详解】由得，，所以，所以， 对于集合，因为，所以当时，； 当时，；当时，； . 故选：B. 2. 已知，是不共线的非零向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线基本定理，可得，即求解即可 【详解】由可知存在实数，使得，所以从而可得． 故选：A 3. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知在上恒成立，再根据二次不等式求解即可. 【详解】解：由，得到， 因为函数在上是减函数，所以在上恒成立， 当时，在上不恒成立，不满足题意； 当时，在上恒成立，则，解得， 综上，的取值范围是. 故选：B 4. 在中，a，b，c为，，的对边，，，，则c的值为（ ） A. 3或5 B. 3或6 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】结合正弦定理和二倍角公式可得，再由余弦定理求得或5，然后需要检验两解是否均符合题意． 【详解】解：∵，且 ∴ 则，得或5， 当时，，则与矛盾． 易知：； 故选：D. 5. 设且则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】[方法一]： . 故选：C. [方法二]： 又. 故选：C. 6. 若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先分别分析函数和的最大值，再根据三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数的最大值为1，的最大值为1， 由题意可知，取得最大值1时，也取得最大值1， 即当时，，， 得，，， 当时，，其他值不满足等式. 故选：D 7. “湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点，且，已经测得两个角，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的有（ ）组 ①和；②和；③和. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件结合正余弦定理，可判断所选的条件是否可以求出. 【详解】由，， ∴可求出、， ①和：△中，即可求； ②和：可求、，则在△中求； ③和：可求，则在△中，即可求； ∴①②③都可以求. 故选：D 8. 已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定定义域，根据存在极大值，确定其导函数存在零点且零点处由正变负，对其二次求导通过的正负确定的单调性从而确定的取值范围进而可解不等式. 【详解】因为存在，所以要求，故函数的定义域为， 因为函数存在极大值，所以其导数需存在零点，且零点处由正变负， 求导得：， 令，即.二阶导数， 当时，在定义域上恒成立，所以在上单调递增， 此时函数可能存在极小值或无极值，不存在极大值，不符合题意； 当时，时，即，时，即； 故在区间上单调递减，在区间上单调递增；故的极小值为， 若函数存在极大值，则，故，所以， 又因为，所以，故化简为，所以. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若幂函数的图象过点，则 B. “向量与向量共线”是“存在，使得”的充分必要条件 C. 若的终边不相同，则 D. 在中，角对边分别为，则“”是“且”的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据幂函数的图象过点，可确定幂函数的解析式，进而可判断A的真假；根据充要条件的判断方法可判断BD的真假；结合特殊角的三角函数值可判断C是错误的. 【详解】对A：设，由，所以，所以，故A正确； 对B：若与共线，且时，才存在，使得，所以“向量与向量共线”不是“存在，使得”的充分条件，故B错误； 对C：当，时，满足的终边不相同，但，故C错误； 对D：在中，，由正弦定理，所以“”与“”互为充要条件； ，又在上单调递减，所以.所以“”与“” 互为充要条件. 所以“”与“且”互为充要条件，故D正确. 故选：AD 10. 已知平面向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在的投影向量为，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助向量的平行及垂直的坐标运算可得A、B、D，借助投影向量定义结合坐标运算可得C. 【详解】对A：若，则有，解得，故A正确； 对B：若，则有，解得，故B错误； 对C：若在的投影向量为， 则有， 化简得，即，故C正确； 对D：若，则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用验证法选项AB，在定义区间内化简函数解析式，判断单调性并求值域. 【详解】因为，所以为的一个周期，故A正确； 因为，所以的图像关于直线对称，故B正确； 因为当时，， ， 故在上单调递减，故C错误； 因为在上单调递减，所以在上的取值范围为， 因为关于直线对称，所以在上的取值范围为， 又的周期为，所以在整个定义域上的值域为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到命题“，”为真命题，求的最小值即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题. 因为，当且仅当即时取等号. 所以. 故答案为： 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用弦切互化与两角和、差的三角函数公式化简求值. 【详解】由① 由（*）， 由题意，，均有意义，所以. 将（*）式两边同除以得：② ①②得：. 故答案为： 14. 如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是___________． 【答案】（，） 【解析】 【详解】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）. 考点：正余弦定理；数形结合思想 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，已知，，． （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正切公式化简等式，利用诱导公式求出，再利用正弦定理求出角； （2）根据得到点为三角形重心，由直接求解即可. 【小问1详解】 ， 在三角形中，， ，，， 在中，， ， 又， ，， 由正弦定理，得， ，或； 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以， ， 点为三角形重心， 所以， 又， 所以， 所以的面积为. 16. 已知函数，. （1）若存在极小值，且极小值为，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，判断函数的单调性，结合极小值为求解； （2）将不等式分离参数，得，设，，利用导数求出最值得解. 【小问1详解】 ，， 当时，，所以函数无极值， 当时，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，解得. 【小问2详解】 由，得，即，， 设，， 则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以，则， 所以的取值范围为. 17. 已知向量，，函数. （1）若，且，求的值； （2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简，依题意可得，即可求出，最后由利用两角差的余弦公式计算可得； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，，函数， 所以 ， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 . 【小问2详解】 将图象上所有的点向右平移个单位得到， 再将向下平移1个单位得到， 最后将的所有点的纵坐标变为原来的得到， 即， 由，即，所以，， 解得，， 令可得，令可得， 又，所以， 即在时不等式的解集为. 18. 在中，，是边上一点，． （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出、，再在、、中分别利用正弦定理计算可得； （2）设，则，，由面积公式表示出、、，即可得到，从而得到，令，则，设利用导数说明函数的单调性，即可求出的值域，即可得解. 【小问1详解】 解：由，， 可得，． 在中，由正弦定理得； 在中，由正弦定理得； 在中，由正弦定理得， 所以． 【小问2详解】 解：由，得． 设，则，， 所以，， ，则， 故． 设，则． 因为，所以，则． 设，，则． 因为当时，，所以函数在区间上单调递增． 因为，，所以， 故的取值范围为． 19. 已知函数，． （1）若，求函数的单调递增区间； （2）若对于任意，恒有，求实数a的取值范围； （3）证明：对任意的正整数n，． 【答案】（1）， （2） （3） 由（2）可知，当时，. 设，， 则； 令，， 则，可得在区间上单调递减， 所以， 所以在区间上单调递减， 所以. 所以当时，， 可得时，， 可得 ， 则. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，然后结合余弦函数性质求解导函数不等式即可求解. （2）先构造函数得，然后按照和分类讨论，研究函数单调性，进而分析的范围即可判断. （3）由（2）可知，当时，.设，， 利用导数法得在区间上单调递减，可得时，，可得，进而利用裂项相消法求和即可证明. 【小问1详解】 当时，， 对求导得， 令，得，即， 解得，； 故函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 对求导得， 记，令，则， ，由得，所以函数在上单调递增， 所以的最大值为，所以， ①当时，， 所以在上单调递减，所以； ②当时，因为， 即，使得当时，， 则在上单调递增，所以，与矛盾. 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $