精品解析：辽宁葫芦岛市东北师范大学连山实验高中2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

东北师范大学连山实验高中2026年高一十月月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，或，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 2. 满足的集合M共有（ ）. A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 15个 3. 已知命题p:，，则命题p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若命题· “”为真命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A. B. C. D. 6. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 类比基本不等式，有以下结论成立：对于正实数，，有，当且仅当时取等号，已知，若的最小值为，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 使“或”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 11. 已知a，b，c为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最大值为 C. 的最小值为5 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，，且，则的最小值是__________． 13. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为________________________． 14. 若，，都是正实数，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， （1）用、表示文字宣传区域面积和； （2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 17. 对于题目：已知，，且，求最小值． 同学甲的解法：因为，，所以，，从而： ． 所以A的最小值为8． 同学乙的解法：因为，， 所以． 所以A的最小值为． ①请对两位同学的解法正确性作出评价； ②为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决： 已知，，且，求的最小值． 18. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 19. 已知集合（具有性质：对任意（），与至少有一个属于M，则称M为“封闭集”． （1）已知集合判断P、Q是否是“封闭集”？并说明理由； （2）若集合是“封闭集”，且，求集合P； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学连山实验高中2026年高一十月月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，或，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由并集的定义可得或. 故选A. 2. 满足的集合M共有（ ）. A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 15个 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集，真子集的关系，一一列举即可. 【详解】集合M 中必含元素a，且为的真子集，可按元素个数分类依次写出集合M为，，，，，，，共7个. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的关系，是基础题. 3. 已知命题p:，，则命题p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题p:，的否定为，. 4. 若命题· “”为真命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，转化为不等式在上恒成立，进而可求得的取值范围. 【详解】由命题 “”为真命题，即不等式在上恒成立， 所以，当，可得，所以. 故选：D. 5. 已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】举反例逐一判断三个不等式，已知仅给出条件，没有限定的正负性： ①：取，，满足，但，，此时，故①不恒成立； ②：取，，满足，但，，此时，故②不恒成立； ③：取，，满足，此时，，，即， 故③也不恒成立； 三个不等式都无法在的条件下保证成立，成立的个数为. 6. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】当时，不妨取，则，此时“”“”， 当时，不妨取，，则，此时“”“”， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】，当且仅当时，等号成立， 故， 则，当且仅当时，等号成立. 8. 类比基本不等式，有以下结论成立：对于正实数，，有，当且仅当时取等号，已知，若的最小值为，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， 当且仅当时取等号， 又的最小值为，即，即，解得， 当，即时，满足条件． 所以正实数的值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 使“或”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】BC 【解析】 【详解】要使“或”成立的一个充分不必要条件， 即的取值范围是或的一个真子集． 对于A，由或不是或的一个真子集，故A错误； 对于B，由或⫋或，故B正确； 对于C，由⫋或，故C正确； 对于D，由或的不是或的一个真子集，故D错误． 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由一元二次不等式的解集确定，且是方程的两根，利用韦达定理得到，，再代入各选项验证判断. 【详解】因为的解集为， 所以， 则是方程 的两根， 则，解得，即， 因为，所以，，故选项A正确； ，故选项B正确； 将代入，得到， 解得，即， 因为，所以，即，故选项C错误； 将代入，得到， 解得， 因为，所以，即， 解得，故不等式的解集是，故选项D正确. 11. 已知a，b，c为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为8 B. 的最大值为 C. 的最小值为5 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接用基本不等式即可判断；对于B，将其变形为，利用基本不等式化成关于的一元二次不等式求解判断；对于C，将其变形为，利用基本不等式计算判断；对于D，利用将化成，两次应用基本不等式计算判断. 【详解】对于A，因，则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，且，为正实数，可得， 即，解得，取平方得， 当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C，由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，且时，即时取等号，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 13. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理得到两根之积与两根之和与系数的关系，得到方程，解得，再验证时，原不等式解集为即可 【详解】由题设可得. 由韦达定理， 当时，原不等式无解，不满足题意. 当时，， 所以，解得. 将代入原式可得关于的不等式 此时一元二次方程满足判别式， 故的解集为，满足题意，所以 14. 若，，都是正实数，则的最小值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】将分子拆分分组后，对两组项分别应用基本不等式放缩，凑出与分母线性相关的结果，验证等号成立条件后即可得到最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号， 即的最小值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，， （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集和补集的定义求解； （2）利用交集和子集的定义求解. 【小问1详解】 ，，， 或， 因为，所以， . 【小问2详解】 因为，所以， ，， 当时，即，满足 当时，即时，需使，即. 综上所述，的取值范围是 . 16. 某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， （1）用、表示文字宣传区域面积和； （2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）长和宽分别为时，面积取得最大值. 【解析】 【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得. （2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形， 所以. 【小问2详解】 依题意，，由（1）知， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值. 17. 对于题目：已知，，且，求最小值． 同学甲的解法：因为，，所以，，从而： ． 所以A的最小值为8． 同学乙的解法：因为，， 所以． 所以A的最小值为． ①请对两位同学的解法正确性作出评价； ②为巩固学习效果，老师布置了另外一道题，请你解决： 已知，，且，求的最小值． 【答案】①甲错误，乙正确；②． 【解析】 【分析】①说明甲同学多次运用基本不等式时未保证同时取“=”即可；②先将待求式分式通分再运用题中所给等式化简、配凑后运用基本不等式即可. 【详解】①甲错误，乙正确，甲同学连续两次运用基本不等式，取等号的条件为，则，故不能保证可以同时取“=”． ② 当且仅当，即时，取“=”． 18. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）通过讨论的正负，结合判别式即可求解； （2）通过讨论，，，，，即可求解. 【小问1详解】 由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意， 当时，则需满足，解得， 综上所述，. 【小问2详解】 由，可得， ①当时，即，解集为； ②当时，，不等式即为，解集为； ③当时，，不等式即为，解集为； ④当时，可得，解集为； ⑤当时，，不等式即为，解集为. 综上可得，的解集如下， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 19. 已知集合（具有性质：对任意（），与至少有一个属于M，则称M为“封闭集”． （1）已知集合判断P、Q是否是“封闭集”？并说明理由； （2）若集合是“封闭集”，且，求集合P； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 【答案】（1）集合不是封闭集；集合是封闭集. （2） （3）取，则，故. 由定义必有，又，故. 对任意，当时，，故. 由定义得；当时，，也成立. 因此均为中元素. 由，得. 即这个元素严格递减，恰好是中元素的倒序排列，故（）. 即. ，又， 两式相加得：. 故，即.得证. 【解析】 【分析】（1）根据“封闭集”的定义，通过举反例否定，通过分类讨论验证； （2）利用集合中最大元素与自身的和、差确定，再利用与的关系确定； （3）利用最大元素的极端性，推导出，进而证明集合元素具有对称性，最后利用倒序相加法求和. 【小问1详解】 集合不是封闭集. 理由：取，则，且，不满足封闭集定义. 集合是封闭集. 理由：对任意：当时，； 当时，； 当时，； 当时，，但. 综上，任意两元素之和与差至少有一个属于，故是封闭集. 【小问2详解】 因为是封闭集，取，则， 故，由定义必有. 又，故. 取，则，故，由定义必有. 因中元素为，且，故，即. 已知，得. 经检验，满足封闭集定义. 故. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $