精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年上学期建平县实验中学高一年级第一次月考 数学科试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，进而求出交集. 【详解】，故. 故选：A 2. 方程组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解方程组得. 所以原方程组的解集为. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】将存在量词改为全称量词，否定结论， 所以命题“，”的否定是“，”. 4. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过移项化简将不等式转化为，然后求解该分式不等式即可. 【详解】 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得：， 因为“”“”，但“”推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式得到的最小值，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当时取等，此时解得， 而，可得，解得，故C正确. 故选：C 7. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路单位时间内通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速．当安全距离取时，该道路的“道路容量”的最大值约为（ ） A. 90 B. 96 C. 110 D. 122 【答案】B 【解析】 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】 当且仅当，即时等号成立， 所以该道路的“道路容量”的最大值约为. 8. 若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，分别求得不等式组中每个不等式的解集，结合不等式组的解集中所含整数解只有，分类讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得或， 由于不等式，可得， 当时，即时，不等式的解集为； 当时，即时，不等式的解集为； 当时，即时，不等式的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 当时，不等式组的解集为，此时，不符合题意，舍去； 当时，不等式组的解集为，不符合题意，舍去； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如果，，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式性质可判断AC正确，取特殊值可知B错误；利用作差法可知D正确. 【详解】由题知，，所以，故A正确﹔ 取，，则，，故B不正确﹔ 因为，，所以，故C正确； 因为，故，故D正确， 故选：ACD. 10. 若集合，，满足，则实数的值可能是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先表示出集合，然后根据得到，再对集合进行分类讨论，由此可求得结果. 【详解】，， 因为，所以. 所以或或. 若，则； 若，则，即； 若，则，即. 所以实数的值可能是. 11. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A：由基本不等式，， 当且仅当时取等号，故最大值为，故A正确； 对于B： 当且仅当，即时取等号， 结合可得当，时，取最小值，最小值为，故B错误； 对于C：，， 所以，当取等号， 最小值为，故C正确； 对于D： 即，当且仅当， 即时取等号，最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合，则集合的子集个数为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据集合子集的定义和公式即可得到结论． 【详解】记是集合中元素的个数，集合的子集个数为个. 故答案为8 【点睛】本题主要考查集合子集个数的求解，含有n个元素的子集个数为2n个，真子集的个数为2n-1个． 13. 已知（为实数）．若的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义求解． 【详解】由题意是的充分不必要条件，所以． 故答案为：． 14. 已知，，且，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过条件中的等式消元，再使用基本不等式求解. 【详解】由，得，则， 由，，得， ， 当且仅当即时等号成立，此时， 所以的最小值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的方程，. （1）当时，若方程的两实数根为与，求下列各式的值： ①；②；③. （2）若该方程有两个负实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）①；②；③ （2） 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理依次求解各个式子即可； （2）分别讨论两个负实数根相等和不相等的情况，结合二次函数图象可列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 当时，的两根为，，， ①； ②； ③. 【小问2详解】 若两个负实数根相等，则，解得：； 若两个负实数根不相等，则，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 16. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）先解不等式求出集合，再代入得到集合，最后计算交集、补集与并集； （2）由得，需要分和两种情况讨论，列出不等式组求解的范围. 【小问1详解】 由题意知， 当时，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 若，则， 当时，则，解得； 当时，则，解得． 综上，的取值范围为. 17. 已知函数． （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围： （2）当时，求不等式的解集． 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）根据恒成立要求，分，讨论即可； （2）化简为，分，，，讨论即可. 【小问1详解】 不等式， 当时，恒成立，则符合题意； 当时，，解得； 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，， 当时，，解集为； 当时，，解集为； 当时，，解集为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 18. 定义集合，，，的长度均为，其中． （1）求不等式解集的长度； （2）求集合的长度的最小值； （3）若关于x的不等式Ω：的解集为，求不等式Ω解集的长度l的取值范围． 【答案】（1）4． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先不等式转化为关于的一元二次不等式，再解绝对值不等式，结合集合长度的定义，即可求解； （2）根据集合长度定义转化为，变形后利用基本等式，即可求最小值； （3）首先不等式转化为，再利用韦达定理，表示的关系，结合集合长度的定义，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由，得， 因为，所以，即， 则不等式解集的长度为4． 【小问2详解】 集合P的长度， 因为，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 【小问3详解】 由，得， 由题知关于x的方程的两根为和，则，， 则， 由，得，即， 因为，所以， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，则， 所以不等式Ω解集的长度l的取值范围为． 19. 若实数，，满足，则称比接近． （1）若2x比更接近1，求实数的取值范围； （2）若比接近，证明：“”的充要条件是“”； （3）已知，且．设，若对于任意的，，命题“比接近”恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）因为比接近，故，则， 即，即， 即得， 必要性：由，可得，所以，即，必要性成立； 充分性：因为，所以，所以，即，充分性成立. “”是“”的充要条件.即“”的充要条件是“”. （3） 【解析】 【分析】（1）利用比接近的定义可得，求解该不等式即可；（2）利用充分性与必要性的条件，结合不等式的性质证明即可；（3）由基本不等式得，再利用比接近的定义将原问题转化为对恒成立，然后分离参数求解实数的取值范围即可. 【小问1详解】 由已知有：， 即，解得， 所以x的取值范围是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，且．则， 由于对于任意的，，命题“比接近”恒成立， 故对恒成立， 即得，即， 得，即， 由于，故， 故对恒成立，即对恒成立， 由于， 故， 故，即实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期建平县实验中学高一年级第一次月考 数学科试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 方程组的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路单位时间内通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速．当安全距离取时，该道路的“道路容量”的最大值约为（ ） A. 90 B. 96 C. 110 D. 122 8. 若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如果，，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 若集合，，满足，则实数的值可能是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 11. 已知正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合，则集合的子集个数为__________. 13. 已知（为实数）．若的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________． 14. 已知，，且，则的最小值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的方程，. （1）当时，若方程的两实数根为与，求下列各式的值： ①；②；③. （2）若该方程有两个负实数根，求实数的取值范围. 16. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围： （2）当时，求不等式的解集． 18. 定义集合，，，的长度均为，其中． （1）求不等式解集的长度； （2）求集合的长度的最小值； （3）若关于x的不等式Ω：的解集为，求不等式Ω解集的长度l的取值范围． 19. 若实数，，满足，则称比接近． （1）若2x比更接近1，求实数的取值范围； （2）若比接近，证明：“”的充要条件是“”； （3）已知，且．设，若对于任意的，，命题“比接近”恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $