精品解析：福建厦门市莲花中学2026-2027学年 八年级上学期期中数学试卷

2026-2027学年八年级（上）期中质量检测 数学 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷三大题，25小题，试卷共7页，另有答题卡； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分； 3．选择题用2B铅笔填涂，其余一律用黑色水笔做答，不能使用涂改液/带． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 城市LOGO是一座城市的名片，它可以是山河图腾的浓缩，也可以是地标文化的符号．以下是我国四个城市的LOGO图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图,点在的延长线上,,,则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，且点B，M，D在同一直线上，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，下面是某同学的折纸示意图，则是中线的图形是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 以上都不是 6. 如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（　　） A. PC⊥OA，PD⊥OB B. OC=OD C. ∠OPC=∠OPD D. PC=PD 7. 如图，，点在边上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，若点与点，，形成的图形恰为轴对称图形，则点坐标可以是（ ） A. B. C. D. 10. 我校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（ ）． A. 53 B. 35 C. 47 D. 68 二、填空题（本大题共有6小题，每题4分，共24分） 11. 计算： （1）______；（2）_______； （3）________；（4）________． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为________． 13. 如图，，请你根据“”定理，添加一个条件_____________，使得． 14. 如图，中，，平分交于点，，，则点到的距离为_______． 15. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 16. 如图，在中，，，于点，于点，且，垂直平分，交于点，交于点，在上有一点，使得最小，则这个最小值_______． 三、解答题（本大题有9题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，是等边三角形，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作图：画出关于轴对称的． （2）填空：写出以下各点的坐标：__________，__________，__________． （3）作图：在轴上确定点的位置，使得的值最小． 21. 如图，在等边三角形中，是上的一点，是延长线上一点，连接、，已知． （1）求证：是等腰三角形． （2）当，时，求的面积． 22. 如图，在中，．利用尺规在上找一点P，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法．） 23. 在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 请你利用上述方法解决下列问题： （1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式． （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示． （3）提出问题：，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例： ①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面． ②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）． （4）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性． 24. 定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． （1）如图1，，，，P为AC上一点，_________时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度． （3）如图3，四边形是一片绿色花园，，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线上一动点，且 ，过D作于M． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）当A点运动时， 的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级（上）期中质量检测 数学 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 考生注意： 1．全卷三大题，25小题，试卷共7页，另有答题卡； 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分； 3．选择题用2B铅笔填涂，其余一律用黑色水笔做答，不能使用涂改液/带． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 城市LOGO是一座城市的名片，它可以是山河图腾的浓缩，也可以是地标文化的符号．以下是我国四个城市的LOGO图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析即可． 【详解】解：A．该文字上方的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该文字上方的图案是轴对称图形，故此选项符合题意； C．该文字上方的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该文字上方的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2. 如图,点在的延长线上,,,则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角和定理．根据题意可知是的一个外角,根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”定理代入条件,继而得出答案． 【详解】解:∵，, ∴, 故选:C． 3. 下列各式中，运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、与不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 4. 如图，，且点B，M，D在同一直线上，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由线段的和差关系求出的长，再由全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 5. 如图，下面是某同学的折纸示意图，则是中线的图形是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 以上都不是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，根据三角形中线的定义可得，再根据三位同学折纸方法和折叠的性质判断即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，只有丙同学的折叠图中，即是中线， 故选：C． 6. 如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（　　） A. PC⊥OA，PD⊥OB B. OC=OD C. ∠OPC=∠OPD D. PC=PD 【答案】D 【解析】 【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得． 【详解】对于A，由PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理可以判定△POC≌△POD； 对于B， OC=OD，根据SAS判定定理可以判定△POC≌△POD； 对于C，∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理可以判定△POC≌△POD； 对于D，PC=PD，无法判定△POC≌△POD， 故选:D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 7. 如图，，点在边上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质得到和的度数，结合三角形外角的性质求出，再利用等边对等角求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方形的面积减去空白处小长方形的面积来计算． 【详解】解：A、大长方形的面积为：（x＋6）（x＋4），空白处小长方形的面积为：6x，所以阴影部分的面积为（x＋6）（x＋4）−6x，故不符合题意； B、阴影部分可分为两个长为x，宽为x＋4和长为6，宽为4的长方形，他们的面积分别为x（x＋4）和4×6＝24，所以阴影部分的面积为x（x＋4）＋24，故不符合题意； C、阴影部分可分为一个长为x＋6，宽为4的长方形和边长为x的正方形，则他们的面积为：4（x＋6）＋x2，故不符合题意； D、阴影部分的面积为x（x＋4）＋24＝x2＋4x＋24，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式乘法与图形面积，难度适中，解题时要注意利用数形结合的思想找出对应的数量关系进行计算． 9. 在平面直角坐标系中，若点与点，，形成的图形恰为轴对称图形，则点坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，能熟记轴对称图形的定义是解此题的关键． 通过分析选项A、B、C、D的坐标，画出图形即可解答． 【详解】解：A、画出图形如下：不是轴对称图形，不符合题意； ， B、画出图形如下：不是轴对称图形，不符合题意； ， C、画出图形如下：不是轴对称图形，不符合题意； ， D、画出图形如下：是轴对称图形，符合题意； ， 故选：D． 10. 我校“快乐农场”开辟出一块边长为的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．为了兼顾美观，在菜地中设计两个长和宽分别为a，b的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为，每个长方形的面积为．如图，计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积是（ ）． A. 53 B. 35 C. 47 D. 68 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由题意先得出，再运用，得出，结合图形，得阴影部分面积，进行化简，再代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米， ∴， 则． （负值已舍去）， 阴影部分面积 （平方米）． 故选：A 二、填空题（本大题共有6小题，每题4分，共24分） 11. 计算： （1）______；（2）_______； （3）________；（4）________． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】需结合幂的乘方、同底数幂乘除、积的乘方、单项式乘多项式的运算法则计算，注意同级运算顺序，避免漏乘项、漏乘因式． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 12. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】两点纵坐标均为，已满足关于轴对称的纵坐标特征，可直接根据关于轴对称的点横坐标互为相反数的性质求解的值． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，关于轴对称的点的坐标特征为纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴． 13. 如图，，请你根据“”定理，添加一个条件_____________，使得． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题主要考查了用“”证明两个直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”． 根据“”定理内容即可进行解答． 【详解】解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 由图可知：和斜边为公共边，即， ∴应添加：（或） 故答案为：（或）． 14. 如图，中，，平分交于点，，，则点到的距离为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】先求出的长，过点作于点，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴点到的距离为． 15. 如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，延长交于，先求出，证明，得出，，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于， ∵在中，，，，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 16. 如图，在中，，，于点，于点，且，垂直平分，交于点，交于点，在上有一点，使得最小，则这个最小值_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用线段垂直平分线的性质将转化为，从而将求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短确定最小值为的长，最后利用等面积法计算即可． 【详解】连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题有9题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 如图，是等边三角形，，，．求证：． 【答案】证明：，， ． 是等边三角形， ，． ． 在和中， ． ． 【解析】 【分析】先根据、的垂直条件，得到．结合等边三角形的性质，得到，．推导与的大小关系，判断二者是否相等．因为已知，可通过判定和全等．依据全等三角形对应边相等的性质，即可求证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键； 先根据整式的运算法则进行化简，再把，代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解： ， ， ； 当，时， 原式． 20. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）作图：画出关于轴对称的． （2）填空：写出以下各点的坐标：__________，__________，__________． （3）作图：在轴上确定点的位置，使得的值最小． 【答案】（1）解：如图，为所求； （2）2，3；3，0；1， （3）如图，点P为所求； 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可直接得出点，，的坐标； （3）连接与轴交点即为点； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得，各点坐标为，，． 【小问3详解】 解：连接与轴交点为点，此时由对称可得，则， ∴当点在上时的值最小． 21. 如图，在等边三角形中，是上的一点，是延长线上一点，连接、，已知． （1）求证：是等腰三角形． （2）当，时，求的面积． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质，可得，，结合，即可证明结论； （2）过D作于H，根据三线合一以及三角形内角和定理，可得，求出的长，进而根据三角形面积公式即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 如图，过D作于H， ∴，， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，．利用尺规在上找一点P，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】 解：如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】作且交于点P即可． 【详解】略 23. 在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 请你利用上述方法解决下列问题： （1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式． （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示． （3）提出问题：，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以为例： ①画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面． ②分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，的矩形面积或的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即，用文字表述的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果． 请你参照上述几何建模步骤，计算，要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）． （4）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）： ，证明上述速算方法的正确性． 【答案】（1）图（1）：，图（2）：，图（3）： （2） 根据题意，几何图形如图所示： （3） 示意图如下： （4）十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了代数式、图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、图形和数字规律的性质，从而完成求解． （1）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案； （2）结合题意，根据长方形和正方形面积、代数式的性质分析，即可得到答案； （3）根据题意，根据图形和数字规律的性质分析，即可得到答案； （4）根据拓展运用的结论，根据数字规律的性质分析，根据题意与整式的运算法则即可验证． 【小问1详解】 解：根据题意，图（1）所表示的代数恒等式：， 图（2）所表示的代数恒等式： 图（3）所表示的代数恒等式：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：用文字表述的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果，即； 【小问4详解】 解：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果； 故答案为：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果． 证明：设两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数的十位数为a，个位数分别是b和 则这两个数为分别为：， ∴这两个数的乘积为：； 即十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积， 故速算方法正确． 24. 定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． （1）如图1，，，，P为AC上一点，_________时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，求的长度． （3）如图3，四边形是一片绿色花园，，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）与是偏等积三角形． 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． 【解析】 【分析】（1）连接，由与在、边上的高相等，可知当点P为中点时，与的面积相等，且与不全等，即可求解； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，连接， 与在、边上的高相等， 当时，与的面积相等， ， ， ， 与不全等， 与是偏等积三角形； 【小问2详解】 解：如图2，过C作交的延长线于E， ， 与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长度为正整数， ； 【小问3详解】 略． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点B与点C关于x轴对称，点D为x轴上一点，点A为射线上一动点，且 ，过D作于M． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）当A点运动时， 的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）证明：∵B，C关于x轴对称， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图：过D点作DN⊥CE， 在与中， ， ∴． ∴． 在与中， ∴． ∴平分． （3）不变；2 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据轴对称的性质可得，再结合可得，根据对顶角性质可得，然后根据三角形内角和定理即可证明结论； （2）如图：过D点作，易证可得．再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：作，先证明可得，进而得到，然后代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：不变，理由如下： 如图：作， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $