精品解析：福建省厦门市思明区第五中学2025－2026学年八年级上学期11月期中考试数学试卷

厦门市第五中学2025—2026学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答题前填写好自己的姓名、班级、座号等信息． 3．请将答案正确填写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的） 1. 团结协作共发展，求真务实育新人，我校迎来了建校119周年校庆．下列文字为轴对称图形的是（ ） A. 我 B. 爱 C. 五 D. 中 2. 如果三角形的两边长分别为2和5，则第三边的取值可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 3. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 4. 可写成 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，，且，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量点到河对面的目标之间的距离，在点同侧选择一点，测得，，然后在处立了标杆，使，，得到，测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ 　 ） A. B. C. D. 9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，中，，，垂直平分，点在边上，连接，，，，若，给出下列四个结论： ①；②；③；④是等边三角形．其中一定正确的结论是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11. 直接写出结果： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 12. 如图，这是蜡烛的平面镜成像的原理图，若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖S点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是________． 13. 如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是______． 14. 若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）． 15. 若，，则_____． 16. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在中，，是边上的高，试用等式表示与的数量关系，并加以证明． 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点． （1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F，（要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断AF与BC有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由． 21. 如图，李大爷想在家门口用篱笆围出一块长方形的菜地，宽，长，后来发现用这些篱笆围成了一个正方形的菜地，长方形的面积大，还是正方形的面积大？相差的面积是否与的大小有关？并说明理由． 22. 阅读下列材料： 黄老师在黑板上写了三个算式：，，，俊宇同学接着又写了两个具有同样规律的算式：，． （1）请你再写出两个具有上述规律，但数字不完全相同的算式； （2）用符号表示上述算式反映的规律，并用所学知识证明这个规律的正确性． 23. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，点，分别在轴的负半轴和第四象限． （1）直接写出的值； （2）若，，的面积为3，求点的坐标． 24. 定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段． 例如：如图1，在中， ∵于D，且， ∴是直角三角形，是等腰三角形， ∴是等直三角形， 是的一条等直分割线段． （1）如图2，已知中，，是的垂直平分线，请说明是的一条等直分割线段． （2）若是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，和均小于，求证：是等腰三角形． 25. 在中，，，点是平面上一个动点，，点关于直线的对称点为，连接，． （1）如图1，当点在边上时， ①求证：； ②求； （2）当点在内部时，连接，依题意补全图2，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市第五中学2025—2026学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答题前填写好自己的姓名、班级、座号等信息． 3．请将答案正确填写在答题卡上，否则不能得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的） 1. 团结协作共发展，求真务实育新人，我校迎来了建校119周年校庆．下列文字为轴对称图形的是（ ） A. 我 B. 爱 C. 五 D. 中 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、“我”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、“爱”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、“五”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、“中”是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 如果三角形的两边长分别为2和5，则第三边的取值可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．由三角形的三边关系得出第三边大于3，小于7，即可得到答案． 【详解】解：三角形的两边长分别为2和5， 第三边大于3，小于7， 即只有B选项满足， 故选：B． 3. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 4. 可写成 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方法则即可得． 【详解】解：A、，则此项符合题意； B、，则此项不符题意； C、，则此项不符题意； D、，则此项不符题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 5. 如图，，且，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质，根据，，得，再结合全等三角形的性质，得，最后代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：C． 6. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算．根据单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，以及完全平方公式的运算法则求解，即可解题． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图，为了测量点到河对面的目标之间的距离，在点同侧选择一点，测得，，然后在处立了标杆，使，，得到，测得的长就是，两点间的距离，这里判定的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：在和中， ， ， 判定的理由是， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形判定的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 8. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC， ∴PA=PB， 根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上， 故可判断B选项正确． 故选B． 9. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，然后分别根据直角三角形两锐角互余即可得． 【详解】解：依题意，分以下两种情况： （1）如图1，等腰为锐角三角形，顶角为， ， ， （2）如图2，等腰为钝角三角形，顶角为， 综上，顶角的度数为或 故选：C． 10. 如图，中，，，垂直平分，点在边上，连接，，，，若，给出下列四个结论： ①；②；③；④是等边三角形．其中一定正确的结论是（ ） A. ①④ B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，三角的内角和定理，等边对等角，解题的关键是掌握以上性质． ①根据线段垂直平分线的性质得出相等边即可； ②假设，则，根据等边对等角得出相等的角，利用三角形内角和定理表示出相关的角，然后进行比较即可； ③利用②中结论即可； ④利用②中结论即可． 【详解】解：①∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴假设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 题目中未确定值， 故②错误，不符合题意； ③由②得， 故③正确，符合题意； ④由②得，当时，是等边三角形， 题目中未确定值， 故④错误，不符合题意； 综上，正确选项为①③， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11. 直接写出结果： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方法则计算； （2）根据单项式除以单项式的法则计算； （3）根据单项式乘以多项式的法则计算； （4）根据多项式乘以多项式的法则计算． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） ； 故答案为：，，，． 12. 如图，这是蜡烛的平面镜成像的原理图，若以桌面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．如果某刻火焰顶尖S点的坐标是，那么此时对应的虚像顶尖点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据题意的描述，得火焰顶尖S点与虚像顶尖点关于轴对称，结合火焰顶尖S点的坐标是，则顶尖点的坐标是，即可作答． 【详解】解：依题意，火焰顶尖S点与虚像顶尖点关于轴对称， ∵火焰顶尖S点的坐标是， ∴顶尖点的坐标是， 故答案为：． 13. 如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴的长为点到的距离， ∵是的角平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∵， ∴点到的距离等于2； 故答案为：2． 14. 若，，，则a，b，c的大小关系是______（用“”表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂，熟练掌握并运用实数的0次幂、平方差公式、实数的奇偶次幂是解题的关键． 首先根据任何数的0次幂都是1对a进行计算，再利用平方差公式对b进行化简计算，最后结合实数的奇偶次幂对c进行化简计算，再比较结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 15. 若，，则_____． 【答案】19 【解析】 【分析】首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解． 【详解】解：∵a+b=5， ∴a2+2ab+b2=25， ∵ab=3， ∴a2+b2=19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是掌握完全平方的变形公式． 16. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简与求值、完全平方公式． 利用完全平方公式、整式的运算法则化简，再代入的值到化简后的式子求值即可． 【详解】解： ， 代入，，原式． 19. 如图，在中，，是边上的高，试用等式表示与的数量关系，并加以证明． 【答案】 ，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边对等角得出相等的角，利用三角形的内角和定理表示出，根据高得出直角三角形，得出两个锐角互余，然后可得出两个角的数量关系． 【详解】略 20. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点． （1）利用尺规作出∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F，（要求在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断AF与BC有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由． 【答案】（1）如图： （2）AF∥BC且AF=BC，理由如下： ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ABC+∠C，∴∠DAC=2∠C， 由作图可知∠DAC=2∠FAC，∴∠C=∠FAC，∴AF∥BC； ∵E是AC的中点，∴AE=CE， 在△AEF和△CEB中， ,∴△AEF≌△CEB （ASA）， ∴AF=BC． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意画出图形即可； （2）根据等腰三角形的性质，可得两底角相等，根据三角形的外角的性质，可得∠DAC=∠ABC+∠C，根据内错角相等，可得两直线平行，根据ASA，可得两个三角形全等，根据全等三角形的性质，可得证明结论． 试题解析： 略 21. 如图，李大爷想在家门口用篱笆围出一块长方形的菜地，宽，长，后来发现用这些篱笆围成了一个正方形的菜地，长方形的面积大，还是正方形的面积大？相差的面积是否与的大小有关？并说明理由． 【答案】 解：正方形的面积大，相差的面积与m的大小无关，理由 ： 依题意，正方形的边长为， 设长方形的菜地的面积为，正方形的面积为 依题意， ， ∴的值与m的大小无关． 即相差的面积与的大小无关， ∵， ∴正方形的面积大， 故正方形的面积大，相差的面积与m的大小无关， 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、长方形和正方形的周长和面积、求差法比较大小，解决本题的关键是综合运用相关知识．先表示出正方形的边长为，再根据求差法比较大小，即可求解． 【详解】略 22. 阅读下列材料： 黄老师在黑板上写了三个算式：，，，俊宇同学接着又写了两个具有同样规律的算式：，． （1）请你再写出两个具有上述规律，但数字不完全相同的算式； （2）用符号表示上述算式反映的规律，并用所学知识证明这个规律的正确性． 【答案】（1），（答案不唯一） （2） 理由如下：设两个两位数分别为，，其中， ． 【解析】 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． （1）两个十位数相同且个位数字之和为10的两位数相乘，结果为四位数，其中十位和比它大1的数相乘结果作为结果的千位和百位，个位数相乘的结果作为积的十位和个位，由此规律可解决问题； （2）利用整式的计算方法计算验证正确性即可． 【小问1详解】 解：观察算式，两个十位数相同且个位数字之和为10的两位数相乘，结果为四位数，其中十位和比它大1的数相乘结果作为结果的千位和百位，个位数相乘的结果作为积的十位和个位， 例如：，； 【小问2详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，点，分别在轴的负半轴和第四象限． （1）直接写出的值； （2）若，，的面积为3，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）作轴于点，求得，据此列式计算即可求解； （2）先求得，作轴于点，作轴交的延长线于点，证明四边形是矩形，证明，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：作轴于点， ∵与轴所夹的锐角为，即， ∴， ∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知， 如图， ∵的面积为3， ∴， ∵， ∴， 作轴于点，作交的延长线于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 24. 定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段． 例如：如图1，在中， ∵于D，且， ∴是直角三角形，是等腰三角形， ∴是等直三角形， 是的一条等直分割线段． （1）如图2，已知中，，是的垂直平分线，请说明是的一条等直分割线段． （2）若是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，和均小于，求证：是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：如图： 是的垂直平分线， ，则是等腰三角形， 是直角三角形 是的一条等直分割线段； （2） 证明：如图，，是的两条等直分割线 ，，， ，， ，， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等直分割线的定义解答即可； （2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 在中，，，点是平面上一个动点，，点关于直线的对称点为，连接，． （1）如图1，当点在边上时， ①求证：； ②求； （2）当点在内部时，连接，依题意补全图2，若，求． 【答案】（1） ①证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由角所对直角边等于斜边的一半可得，由代换得，即，即可得； ②连接、，由，得，再由，得是等边三角形，得，即可得，由点关于直线的对称点为，得，，得，可得是等边三角形，得，再由，得垂直平分，即可得出； （2）延长至点，使，连接，，，，，可得是等边三角形，可得，，可证，得，，再证明得，，进而可得． 【小问1详解】 ①略 ②解：如图，连接、， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴垂直平分， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长至点，使，连接，，，，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点 ，关于直线对称， ∴直线是的垂直平分线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，轴对称性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $