4.5.1 函数的零点与方程的解（10个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学上学期人教A版必修第一册

4.5.1 函数的零点与方程的解 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数，我们把使_________的实数叫做函数的零点． （2）几个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与____轴_____有交点⇔函数有___零点______． （3）函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数在闭区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么，函数在开区间_________内至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求函数的零点/由函数的零点求参数 基础知识 核心知识 函数零点定义：对于，使的实数叫做函数的零点，零点是横坐标不是点 零点等价关系：与轴交点横坐标方程的实数根 已知零点则零点代入解析式等式成立 方法技巧 求零点：解方程，注意定义域优先 由零点求参数：把零点代入列方程解参数 分式、根式、对数型零点要检验增根，排除不在定义域内的解 分段函数零点分段单独求解，汇总结果 典型例题 【例题 1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知，分别是函数和的零点，则________． 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）函数的零点为（　　） A．1 B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【巩固练习2】（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【巩固练习3】（2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B． C． D．2025 【题型2】 判断零点所在的区间 基础知识 核心知识 零点存在定理：在上连续，且，则内至少存在一个零点 单调函数满足零点存在定理条件时，区间内有且仅有一个零点 零点存在定理是充分不必要条件 方法技巧 优先计算区间端点函数值，判断乘积符号 函数单调时，零点唯一；不单调只能判断至少一个零点 指对混合型函数，优先估算特殊点： 多个区间筛选时，从小到大依次验证端点函数值 典型例题 【例题1】（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）方程的解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·广西百色·期末）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·重庆永川·模拟预测）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）若函数的零点所在区间为，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型3】 由零点所在区间求参数范围 基础知识 核心知识 零点落在区间等价：连续函数在区间端点满足 分段函数、二次函数要区分：端点能否取等、是否存在多个零点 二次函数还要结合开口方向、对称轴辅助分析 方法技巧 列式解不等式，最后检验边界 二次函数注意：区间内有零点包含端点为零点的情况，区分开与 含参函数优先分离参数，转化为参数属于值域问题 画图辅助：画出函数变化趋势，验证临界情况 典型例题 【例题1】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4】 指对幂函数的零点分布问题 基础知识 核心知识 指数函数值域，本身无零点 对数函数零点为 幂函数零点情况随变化 指对混合函数连续性、单调性由复合函数法则判断 方法技巧 统一变形：同底转化、对数恒等式、指对互化 构造新函数，求导或利用复合单调性判断增减 估算特殊点函数值： 数形结合：拆成两个熟悉函数，看图像交点个数与位置 典型例题 【例题1】（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若函数有两个零点，则的取值范围是____________． 【例题2】（25-26高三·全国·一轮复习）若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是____________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知且，函数是指数函数，且. (1)求实数和的值； (2)对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，且一根大于0，另一根小于0，其中，求整数的最大值. 【巩固练习2】（25-26高一上·新疆昌吉·期末）已知函数是偶函数． (1)求实数k的值； (2)设函数，其中．若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数是偶函数． (1)求实数a的值； (2)当时，函数存在零点，求实数m的取值范围； (3)若关于x的方程恰有两个不等实根，求实数k的取值范围． 【题型5】 由方程的解/零点个数求参数范围 基础知识 核心知识 零点个数方程实根个数与轴交点个数 方程变形：的解等价两函数图像交点横坐标 含参二次函数零点个数由判别式、定义域共同决定 方法技巧 分离参数法：变形，转化为与交点个数 直接求导法：研究单调性、极值，画出草图，移动水平线看交点 二次型优先判别式+根的分布；超越函数优先分离参数 注意定义域挖去间断点，排除虚交点 典型例题 【例题1】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知关于的函数. (1)若不等式，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有3个不等实数根，求实数的取值范围. 【例题2】（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·重庆渝中·模拟预测）设，若关于的方程有五个不同的实数解、、、、，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数． (1)求的值域； (2)若函数存在两个不同的零点，求实数m的取值范围． 【巩固练习3】（26-27高三上·四川内江·阶段检测）已知函数 ，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是_____________. 【题型6】 嵌套函数的零点问题 基础知识 核心知识 嵌套函数形式：，换元令，先解得到的取值 多层嵌套逐层拆解，由外向内依次求解 每一层方程解的个数由内层函数值域、单调性决定 方法技巧 换元分层：由外到内，先解外层方程得到，再解 画外层函数图像，读出满足的所有 对每一个，判断解的个数，汇总总数 多层嵌套不要跳层，防止漏解、多解 典型例题 【例题1】（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（   ） A．方程有且仅有1个解 B．方程有且仅有2个解 C．方程有且仅有3个解 D．方程有且仅有9个解 【例题2】（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________． 【巩固练习2】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________. 【巩固练习3】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为__________. 【题型7】 零点的大小比较 基础知识 核心知识 零点是对应方程的根，零点大小等价根的大小 单调函数一一对应：自变量大小和函数值大小可互推 同构式：结构相同的方程，可以构造同一个函数利用单调性比较 方法技巧 同构法：整理式子构造单调函数，利用单调性比较零点 估算法：估算零点落在哪个整数区间，锁定范围比较 作差法：构造辅助函数，判断函数正负比较零点 数形结合：画出对应函数图像，直观读出零点左右位置 典型例题 【例题1】（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）（多选）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一下·云南昆明·期末）（多选）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 【题型8】 指数函数与对数函数（反函数）的零点问题 基础知识 核心知识 与互为反函数，图像关于直线对称 恒成立，自身无零点； 反函数交点不一定都在上 方法技巧 利用对称性：一个函数零点对应反函数交点信息，简化计算 指对互化： 同底指对方程优先两边取对数或者指数化 零点个数问题，画图利用对称快速判断交点 典型例题 【例题1】（多选）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·广东东莞·期末）（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（多选）已知函数，的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型9】 函数的性质与零点和的问题 基础知识 核心知识 奇函数：零点关于原点对称；偶函数零点关于轴对称 对称轴：若都是零点，则 周期函数零点周期性重复出现 方法技巧 先判断奇偶性、对称性，直接写零点之和 多个零点时，成对配对求和，单独处理落在对称轴上的零点 分段对称函数，分段找对称零点 先确定零点个数，再分组求和，避免重复计算 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河北·期末）已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（     ） A．0 B．1013 C．2026 D．4052 【例题2】（25-26高一上·山东·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，.关于的方程在区间内所有实数根的和为（   ） A． B． C．0 D．4 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）函数是R上的奇函数，函数，若函数与有n个交点分别为，，，，则的值为（    ） A．2n B．3n C．4n D．5n 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，若函数有6个零点，则6个零点的和为______． 【巩固练习3】（24-25高三上·广西·阶段检测）偶函数满足，当时，，则方程在上所有的实数根之和为（    ） A． B． C． D． 【题型10】 零点/方程的解的综合问题 基础知识 核心知识 综合融合：零点存在定理、单调性、对称性、指对运算、数形结合 核心等价链：零点方程实根图像交点 方法技巧 先审题判断方向：求值、求范围、零点个数、零点和、零点比大小 优先尝试：分离参数、换元、同构、数形结合 有单调性条件优先用单调性；有对称性优先配对 多问递进题，上一问结论可以直接用于下一问 最后检验定义域，排除不符合条件的解 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·期中）（多选）已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．的取值范围为 【例题2】（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）（多选）已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．当时， C．当时，单调递减 D．实数的取值范围是 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【巩固练习2】（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为_______，记函数的三个不同零点分别为，且.则的取值范围为__________. 【巩固练习3】（26-27高三上·天津河西·阶段检测）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，给出下列四个结论：①；②；③；④函数有8个零点；其中所有正确结论的序号是______． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·天津静海·期末）函数的零点所在区间是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知单调递增函数的零点在区间内，且，则n的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数，若关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为（      ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）设，分别是关于的方程和的根，则（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 7．（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数，若关于的方程有两个实数根，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，若方程有三个互不相等的实数解，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（26-27高一上·湖北·阶段检测）已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 12．（25-26高二下·广西南宁·期末）设函数 则下列说法正确的是（     ） A．方程的解集为 B．的单调递增区间是 C．若方程有个不等实根，则实数的取值范围是 D．若 则 三、填空题 13．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____________． 14．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 15．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数 ，若关于 x 的方程 恰有 3个不同的实数根，则实数 a =______． 16．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是______. 17．（26-27高三上·山东泰安·阶段检测）设函数，若函数有四个零点，，，，且，则k的取值范围是______，______． 18．（2026·河北·一模）已知函数，当方程的实数根的个数最多时，的取值范围是________. 四、解答题 19．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值； (3)设函数，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 20．（25-26高一上·山东淄博·期末）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)设函数，若对于任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，若函数有且仅有6个零点，求实数的取值范围. $4.5.1 函数的零点与方程的解 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数，我们把使_________的实数叫做函数的零点． （2）几个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与____轴_____有交点⇔函数有___零点______． （3）函数零点的判定（零点存在性定理） 若函数在闭区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么，函数在开区间_________内至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求函数的零点/由函数的零点求参数 基础知识 核心知识 函数零点定义：对于，使的实数叫做函数的零点，零点是横坐标不是点 零点等价关系：与轴交点横坐标方程的实数根 已知零点则零点代入解析式等式成立 方法技巧 求零点：解方程，注意定义域优先 由零点求参数：把零点代入列方程解参数 分式、根式、对数型零点要检验增根，排除不在定义域内的解 分段函数零点分段单独求解，汇总结果 典型例题 【例题 1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知，分别是函数和的零点，则________． 【答案】2026 【分析】本题通过同构变形构造严格单调函数，推导出的等量关系，代入目标式后结合零点等式即可直接求出结果. 【详解】由是的零点，得， 由是的零点，得， 令，根据指数与对数的互逆关系，可得，将代入得，即，又， 二者结构完全一致，均满足函数的函数值为， 设函数， 当时，和均为正且单调递增， 因此函数在上严格单调递增， 因为，，故， 定义域，且时，，故零点， 因此， 由，且在单调递增，可得，即， 所以. 【例题2】（26-27高一上·全国·课后作业）函数的零点为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即，解得， 故的零点为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可. 【详解】定义域为， ，所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故选：C. 【巩固练习2】（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合零点的定义及指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由题意可得，，则， 则，所以. 故选：D. 【巩固练习3】（2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B． C． D．2025 【答案】D 【分析】根据题意可得，利用函数得单调性可得，运算得解. 【详解】由题可得，可得， 因为函数在上单调递增， 所以，则. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由题得到，构造函数并根据单调性得到. 【题型2】 判断零点所在的区间 基础知识 核心知识 零点存在定理：在上连续，且，则内至少存在一个零点 单调函数满足零点存在定理条件时，区间内有且仅有一个零点 零点存在定理是充分不必要条件 方法技巧 优先计算区间端点函数值，判断乘积符号 函数单调时，零点唯一；不单调只能判断至少一个零点 指对混合型函数，优先估算特殊点： 多个区间筛选时，从小到大依次验证端点函数值 典型例题 【例题1】（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）方程的解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数零点存在原理，结合方程的解与相对应函数的零点关系进行求解判断即可. 【详解】设函数， 因为函数在上都是单调递增函数， 所以函数在上也是单调递增函数. 因为， 所以， 又因为函数在上是单调递增函数， 所以根据函数零点存在原理，函数在上有唯一零点，且该零点在区间内， 因此方程的解所在区间为. 【例题2】（25-26高一上·广西百色·期末）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知函数在上单调递增， 因为，，且在上连续不间断， 由零点存在定理可得在上存在零点. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】易知的定义域为， 因为函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以存在使得，即B正确. 【巩固练习2】（2026·重庆永川·模拟预测）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， ， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 【巩固练习3】（26-27高三上·甘肃平凉·阶段检测）若函数的零点所在区间为，，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为函数与函数均为增函数, 所以函数为增函数, 因为,, 所以函数的零点所在区间为, 所以. 【题型3】 由零点所在区间求参数范围 基础知识 核心知识 零点落在区间等价：连续函数在区间端点满足 分段函数、二次函数要区分：端点能否取等、是否存在多个零点 二次函数还要结合开口方向、对称轴辅助分析 方法技巧 列式解不等式，最后检验边界 二次函数注意：区间内有零点包含端点为零点的情况，区分开与 含参函数优先分离参数，转化为参数属于值域问题 画图辅助：画出函数变化趋势，验证临界情况 典型例题 【例题1】（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）已知函数在内有且仅有一个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按一次函数、二次函数分类，二次函数再分“重根在区间内”和“端点函数值异号（含端点验证）”两类讨论，最终合并所有符合条件的取值. 【详解】设，题意为在开区间内有且仅有一个零点，分情况讨论： （1），此时，令，解得，满足条件，故符合； （2）， ①方程有重根（判别式），且重根在区间内， 判别式，解得， 此时，零点为，满足条件，故符合； ②区间端点函数值异号（零点穿过区间）， ，， 由零点存在定理，时，区间内恰有一个零点， 即，解得且， ③验证端点函数值为0的情况， 当时，，此时零点为和，是区间端点（不算在开区间内）， 仅，满足条件，故符合； 当时，，此时零点为和， 是区间端点（不算在开区间内），仅，满足条件，故符合； 综上，或， 所以的取值范围是. 【例题2】（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 【巩固练习2】（25-26高一上·四川成都·期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【巩固练习3】（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，由条件结合零点的性质列不等式求的范围. 【详解】因为函数和在都单调递增， 所以函数在都单调递增， 又函数在区间上存在零点， 所以，故， 所以, 所以的取值范围是. 故选：D. 【题型4】 指对幂函数的零点分布问题 基础知识 核心知识 指数函数值域，本身无零点 对数函数零点为 幂函数零点情况随变化 指对混合函数连续性、单调性由复合函数法则判断 方法技巧 统一变形：同底转化、对数恒等式、指对互化 构造新函数，求导或利用复合单调性判断增减 估算特殊点函数值： 数形结合：拆成两个熟悉函数，看图像交点个数与位置 典型例题 【例题1】（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若函数有两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】方法一：应用换元法结合二次方程的根列式计算求解，方法二：应用换元法结合对勾函数的单调性结合图象得出参数范围. 【详解】令，得，即， 方法一：令，则，即，， 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二：设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 【例题2】（25-26高三·全国·一轮复习）若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【分析】将方程变形为，转化为两个函数图象的交点个数问题，因的最大值为1，只需的最低点低于1（即），两图象便有两个交点. 【详解】方程有两个实数根，等价于两函数的图象有两个交点， 方程可化为，在同一坐标系里画出两函数与大致图象如图所示， 观察图象可知，当，即时，两个函数图象有两个交点， 所以实数的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知且，函数是指数函数，且. (1)求实数和的值； (2)对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，且一根大于0，另一根小于0，其中，求整数的最大值. 【答案】(1)， (2) (3)0 【分析】（1）根据指数函数解析式特征求得，由求得； （2）由（1）可知，分离参数得对任意恒成立，然后利用换元法及对勾函数的单调性求得函数最小值，即可得解； （3）令，则方程有一根大于1，另一根大于0且小于1，记，利用二次函数根的分布列不等式组，即可求解． 【详解】（1）因为函数是指数函数， 所以，即，解得或， 又，所以， 又，且，所以； （2）由（1）知， 由题意对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 则，记， 令，因为，所以，则， 由对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围为； （3）方程， 即方程，即方程， 令，则方程， 因为关于的方程的一根大于0，另一根小于0， 所以关于的方程的一根大于1，另一根大于0且小于1， 记， 所以， 所以，所以整数的最大值为0. 【巩固练习2】（25-26高一上·新疆昌吉·期末）已知函数是偶函数． (1)求实数k的值； (2)设函数，其中．若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数的性质即可求出答案； （2）令，题目等价于在上只有一解，讨论，和三种情况即可求解. 【详解】（1）∵是偶函数， ∴对任意恒成立， 即：恒成立，即， 由于，故， ∴. （2）由题意知，则恒成立， 令，即， 即，则，即， 令，则，即 因而函数与的图象有且只有一个公共点， 等价于关于的方程在上只有一解， ①当时，解得，符合题意； ②当时，记，其图象的对称轴， ，此时要满足题意只需，即， 即，解得，或（舍）； ③当时，，其图象为开口向上的抛物线，对称轴， 由于，此时必有一正实数根，符合题意 综上所述，所求的取值范围为. 【巩固练习3】（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数是偶函数． (1)求实数a的值； (2)当时，函数存在零点，求实数m的取值范围； (3)若关于x的方程恰有两个不等实根，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或或. 【分析】（1）根据偶函数的性质列方程，从而求得的值. （2）问题化为在上有解，利用对数复合函数的性质求右侧的值域，即可得. （3）先判断的单调性，结合奇偶性、换元法以及判别式进行分类讨论，由此求得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意知的定义域为R， ， 整理得， 而 ， ∴恒成立，则； （2）由题设在上有解， 所以在上有解， 由，故， 所以，即； （3）由， 函数在区间上单调递增， 当时，，则在上单调递增，故函数在上单调递增， 由函数为偶函数，知函数的减区间为，增区间为， 令，有， 方程①， 可化为，整理为②， ， 当时，有或， 时，方程②的解为，可得方程①仅有一个解为； 时，方程②的解为，可得方程①有两个解； 当时，有或， 令，由上可知有一正一负两个零点， 只需，则或. 综上，或或. 【题型5】 由方程的解/零点个数求参数范围 基础知识 核心知识 零点个数方程实根个数与轴交点个数 方程变形：的解等价两函数图像交点横坐标 含参二次函数零点个数由判别式、定义域共同决定 方法技巧 分离参数法：变形，转化为与交点个数 直接求导法：研究单调性、极值，画出草图，移动水平线看交点 二次型优先判别式+根的分布；超越函数优先分离参数 注意定义域挖去间断点，排除虚交点 典型例题 【例题1】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知关于的函数. (1)若不等式，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有3个不等实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，建立关于的一元二次不等式，再利用一元二次不等式的解法及对数函数单调性求解. （2）用换元法，结合指数函数图象及一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】（1）函数， 不等式， 则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）函数的定义域为，令， 函数的大致图象如下： 当时，方程有两个不等实根； 当时，方程有一个实根， 而，原方程化为， 整理得，由原方程有3个不等实根， 得关于的方程的两个实根分别在内， 则，解得， 所以的取值范围为. 【例题2】（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用所给递推关系式推导函数的周期性，结合偶函数性质与给定区间解析式，确定的图象特征；将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，把的零点个数等价转化为与的交点个数；数形结合求解即可. 【详解】由对任意 ，有 ，则 ， 即 的一个周期为 2，函数 是定义在 上的偶函数， 当 时，，则当 时，， 函数 ， 又函数 在区间 内恰有 5 个不同的零点， 则函数 与 的图象在区间 上有 5 个不同的交点，如图： 则 且 ，解得 ， 即实数 的取值范围是 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·重庆渝中·模拟预测）设，若关于的方程有五个不同的实数解、、、、，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数的草图，数形结合，根据方程解的个数确定的取值范围. 【详解】作函数的草图如下： 可得当时，方程有3个不同的解；当且时，方程有2个不同的解. 设，则关于的方程有五个不同的实数解，转化成方程有两个解，且，且. 由得 ， 由得 . 故实数的取值范围为. 【巩固练习2】（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数． (1)求的值域； (2)若函数存在两个不同的零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数变形后利用指数函数的值域结合不等式的性质可求出函数的值域； （2）由可得或，然后分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，则， 所以，即， 故的值域为． （2）令，即，解得或．      若，则，因为在R上单调递增， 因为， 所以有唯一零点0，即有唯一零点，不符合题意．      若，因为在R上单调递增且值域为， 所以只需或，解得或． 综上所述，实数m的取值范围为． 【巩固练习3】（26-27高三上·四川内江·阶段检测）已知函数 ，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】根据函数的性质确定的取值范围，再结合二次方程根的分布条件求解的取值范围. 【详解】令，则等价于二次方程， 函数有个不同零点，等价于方程有个不同实根， 当时，，是开口向下的抛物线， 最大值为，且： 时，在 上有2个根， 时，在 上有2个根， 时，在 上有1个根， 当时，，不妨将在轴下方的部分翻折到轴上方， 时，恒有2个根，综上： 若，则，共个根， 若，则共 个根， 要得到个不同的，需要二次方程两个根 都落在区间内， 此时每个对应个，总个数为，设， 要让两个根都在上，需满足：判别式， ，，， 取交集得 . 【题型6】 嵌套函数的零点问题 基础知识 核心知识 嵌套函数形式：，换元令，先解得到的取值 多层嵌套逐层拆解，由外向内依次求解 每一层方程解的个数由内层函数值域、单调性决定 方法技巧 换元分层：由外到内，先解外层方程得到，再解 画外层函数图像，读出满足的所有 对每一个，判断解的个数，汇总总数 多层嵌套不要跳层，防止漏解、多解 典型例题 【例题1】（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，下列四个结论中正确的有（   ） A．方程有且仅有1个解 B．方程有且仅有2个解 C．方程有且仅有3个解 D．方程有且仅有9个解 【答案】ACD 【分析】由函数图象得到方程和的解，由函数的极大值和极小值得到方程及的解个数，从而判断各个选项. 【详解】由函数图象可知，∴方程有且仅有1个解，A选项正确； 由图象可知函数存在极大值和极小值，又∵，所以方程有且仅有3个解，B选项错误； ∵，∴，∴方程有且仅有3个解，C选项正确； 由图象可知存在三个解即或， ∴时，或， ∴方程有且仅有9个解，D选项正确. 故选：ACD. 【例题2】（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】令，则原方程转化为，分段解得或时，再分和进行求解. 【详解】令，则原方程转化为， 当时，，解得； 当时，，因为，所以该方程仅当时才有解，此时解为. 当时，的解为或，即或， 当时，，的解为，的解为； 当时，，故均为解. 因为时原方程有无数个实根，不符合题意，故. 当时，时无解，故有唯一解，即. 当时，，的解为，存在一个实根； 则当时，无解，即在时无解，时， 所以或，即或. 综上，. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，则函数的零点为______；若函数有3个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 或 或 【详解】当时，由得，解得或， 当时，由得，解得（舍）， 作出的图象如图，由得或， 即或， 当，即时，无实根，此时，最多两个实根，与题意不符； 当，即时，有一个实根，有两个实根，符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，至少有两个实根，不符合题意； 当，即时，有三个实根，至少有一个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有4个实根，不符合题意； 当，即时，有两个实根，此时，有一个实根，符合题意； 当，即时，有两个零点，有一个零点，符合题意； 当，即时，有一个零点, 有一个零点，不符合题意； 综上所述，有3个零点时，或. 【巩固练习2】（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知函数，若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据时的解析式，结合条件，可得为符合条件的解，则时，没有实数解，分别讨论、和三种情况，根据指数函数的单调性，分析即可得答案. 【详解】令， 由有且仅有一个实数解，得有且仅有一个实数解， 当时，令，解得， 所以有且仅有一个实数解， 当时，令，解得，为一个确定的解，符合题意， 所以当时，没有实数解， 当时，，符合题意； 当时，，在上恒成立， 所以在上有无数个解，不符合题意； 当时，单调递增，只需即可， 综上，实数的取值范围是. 【巩固练习3】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为__________. 【答案】 【分析】解方程，即可得出函数的零点个数. 【详解】令，令，即， 当时，由，解得或； 当时，由，解得. 当时，由，可得，，该方程无解， 由，可得，解得， 由，可得，解得或； 当时，由，解得， 由，解得， 由，解得. 综上所述，函数的零点构成的集合为. 故函数的零点个数为. 故答案为：. 【题型7】 零点的大小比较 基础知识 核心知识 零点是对应方程的根，零点大小等价根的大小 单调函数一一对应：自变量大小和函数值大小可互推 同构式：结构相同的方程，可以构造同一个函数利用单调性比较 方法技巧 同构法：整理式子构造单调函数，利用单调性比较零点 估算法：估算零点落在哪个整数区间，锁定范围比较 作差法：构造辅助函数，判断函数正负比较零点 数形结合：画出对应函数图像，直观读出零点左右位置 典型例题 【例题1】（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 【例题2】（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）若函数，，的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，转化为函数，，与的图象的交点的横坐标，在同一坐标系下，画出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令，可得，即， 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 令，可得，即 则函数的零点，即为函数与交点的横坐标， 在同一坐标系内，画出函数，，和的图象， 如图所示，结合图象，可得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）（多选）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数的单调性与零点存在定理，可判断的范围，解一元二次方程，可求得，即可得解. 【详解】易知与在上均单调递增，故在上单调递增， 对于A、B：又因为，， 根据零点存在定理，函数存在零点，故A正确，B错误； 对于C、D：，故的零点为，即，故，故C错误，D正确. 故选：AD. 【巩固练习2】（24-25高一下·云南昆明·期末）（多选）若正数满足，则的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意令，分别作，，的图象，然后利用数型结合从而可求解. 【详解】由题意令，分别作，，的图象，如图， 当时，可得，故D正确； 当时，可得，故C正确； 当时，可得，故A正确； 因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，故B错误； 故选：ACD. 【巩固练习3】（2024·江西南昌·三模）若，，，则正数大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断. 【详解】由，则为与交点的横坐标， 由，则为与交点的横坐标， 由，即，则为与交点的横坐标， 作出，，，的图象如下所示， 由图可知，. 故选：B 【题型8】 指数函数与对数函数（反函数）的零点问题 基础知识 核心知识 与互为反函数，图像关于直线对称 恒成立，自身无零点； 反函数交点不一定都在上 方法技巧 利用对称性：一个函数零点对应反函数交点信息，简化计算 指对互化： 同底指对方程优先两边取对数或者指数化 零点个数问题，画图利用对称快速判断交点 典型例题 【例题1】（多选）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数与对数函数、的对称性知与关于直线对称，利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称， 设与图象的交点为A， 与图象的交点为， 则与关于直线对称，则，． 因为，所以，则，即， 因为的图象与直线的交点为， 所以，，，则． 故选：ABD. 【例题2】（25-26高一上·广东东莞·期末）（多选）已知函数的零点分别为a，b，c，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得函数，，与函数的交点的横坐标分别为，画出函数图，结合图象及函数的对称性即可逐项求解. 【详解】由函数的零点分别为， 得函数，，的图象与函数的交点的横坐标就是， 如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，    由图知，，故A错误，B正确； 因为，互为反函数，其图象关于直线对称. 因为与垂直，所以与的中点是直线与的交点. 由得，所以，. 又，所以，所以，故C正确； 又，，所以，故D正确. 故选：BCD 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，运用零点存在定理可判断；对于B，运用指对同构将转化为，得到，再根据函数的单调性得到，即可判断；对于C，将选项B代入，即可判断；对于D，运用零点存在定理求出的范围，再将选项C代入选项D，解出，即可判断. 【详解】对于A：易知与在上单调递减，故在上单调递减， 又因为，， 根据零点存在定理，可知零点，故A正确； 对于B：由题可知，，， ，易知与在上单调递增， 因此在上单调递增， 又因为，故，得，即，故B正确； 对于C：由B可知，，， 故，得，故C正确； 对于D：由B可知，在上单调递增， ，，由零点存在定理可知. 由C可知，则，因此， 令，解得，与矛盾，故D错误. 故选：ABC. 【巩固练习2】（多选）已知函数，的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】函数的图象关于直线对称，是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，则有，． ，直接变形判断AB，利用基本不等式判断C，由零点存在定理判断，构造函数，确定单调性，再计算函数值，利用单调性判断D． 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标， 因此已知，． 又 ，，即， 因而A、B均正确． 又，当且仅当即时等号成立， 但， 因而，上式等号不成立， 所以．C正确． 记，， 因此 而函数在区间范围内单调递增， 所以，所以D正确． 故选：ABCD． 【巩固练习3】（26-27高三上·北京·开学考试）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到a与b的关系式，再将选项中的式子全部化简成只含有a的表达式，最后验证结果. 【详解】由题可得，则，将代入中得 ， 因为与为单调递增函数，所以为单调递增函数， 所以，又因且与为单调递增函数， 所以为单调递增函数，所以. 对于A，B选项，，令， 为一个开口向下的一元二次函数，对称轴为， 故，因为，所以， 故A选项错误，B选项正确 对于C，D选项，，故C，D选项错误. 【题型9】 函数的性质与零点和的问题 基础知识 核心知识 奇函数：零点关于原点对称；偶函数零点关于轴对称 对称轴：若都是零点，则 周期函数零点周期性重复出现 方法技巧 先判断奇偶性、对称性，直接写零点之和 多个零点时，成对配对求和，单独处理落在对称轴上的零点 分段对称函数，分段找对称零点 先确定零点个数，再分组求和，避免重复计算 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河北·期末）已知函数的定义域为，且，设函数与函数的交点共有2026个，且这些交点的坐标依次记为，，…，，则（     ） A．0 B．1013 C．2026 D．4052 【答案】C 【分析】根据已知判断和的图象关于同一个对称中心对称，利用对称性及交点个数求即可. 【详解】已知，则的图象关于点对称， 由 ，且， 所以，故的图象关于点对称， 所以和的交点必然也是成对的，且关于对称， 若是它们的一个交点，则也必然是它们的交点， 所以横坐标之和为，已知交点有个，因此可以配成对， 每一对交点的横坐标之和为，所以所有交点横坐标的总和为. 【例题2】（25-26高一上·山东·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，.关于的方程在区间内所有实数根的和为（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，分析函数的性质并作出在内的图象，结合图象求解. 【详解】函数是上的奇函数，当时，， 当时，，则， 于是当时，，由，得是函数图象的对称轴， 由奇函数性质可得也是函数图象的对称轴，作出函数在上的图象，如图， 观察图象知，也是函数图象的对称轴，直线与函数在上的图象有4个交点， 因此方程在内有4个根，所有实数根的和为. 故选：A 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）函数是R上的奇函数，函数，若函数与有n个交点分别为，，，，则的值为（    ） A．2n B．3n C．4n D．5n 【答案】D 【分析】根据奇函数及分式型函数的性质确定、的对称中心为，进而求目标式的值. 【详解】由是R上的奇函数，则的对称中心为， 由，显然的对称中心为， 由函数与有n个交点分别为，，，， 所以，， 所以. 故选：D 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数满足，若函数有6个零点，则6个零点的和为______． 【答案】6 【分析】根据题意，得到函数的图象关于点对称，结合对称性，进而求得所有零点的和. 【详解】由，可得，即的图象关于点对称， 又由函数的图象也关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 因为函数有6个零点，可得该函数的零点之和为． 故答案为：6. 【巩固练习3】（24-25高三上·广西·阶段检测）偶函数满足，当时，，则方程在上所有的实数根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得时，，且，从而可得出在区间上的图象，结合图象及函数的性质，即可求解. 【详解】当时，，当时，，则， 又是偶函数，则，所以时，， 又，所以的周期，其在区间上的图象如图所示， 不妨设与在区间上的交点分别为， 由图可知，， 则方程在上所有的实数根之和为， 故选：C. 【题型10】 零点/方程的解的综合问题 基础知识 核心知识 综合融合：零点存在定理、单调性、对称性、指对运算、数形结合 核心等价链：零点方程实根图像交点 方法技巧 先审题判断方向：求值、求范围、零点个数、零点和、零点比大小 优先尝试：分离参数、换元、同构、数形结合 有单调性条件优先用单调性；有对称性优先配对 多问递进题，上一问结论可以直接用于下一问 最后检验定义域，排除不符合条件的解 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·期中）（多选）已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ABC 【分析】由知直线与的图象恰有四个交点，数形结合求得k的范围判断A；根据对称性和对数运算性质计算判断BC；将化为，利用对勾函数性质求解范围即可得解. 【详解】由知直线与的图象恰有四个交点. 在同一平面直角坐标系中作出的图象,如图所示： 知直线与的图象恰有四个交点,横坐标依次为，且. 由图可知在和上单调递减，在和上单调递增. 因此，，，. 对于A，由图可知，A正确. 对于B，由得，由得. 所以，这与在的图象关于直线对称一致，B正确. 对于C，由得，由得. 所以，C正确. 对于D，. 令，则，而对勾函数在上单调递增. 故，即. 当时,，上界可取到， 而时，下界取不到，D错误. 【例题2】（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）（多选）已知定义在上的函数满足，，且当时，．若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．当时， C．当时，单调递减 D．实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案． 【详解】根据题意得：由知是偶函数， 由知是周期为2的周期函数， 因为当时，，所以函数图象如图所示， 对于A：由图可知图象关于对称，所以A正确； 对于B：当时，，所以，所以B正确； 对于C：当时，由图象可知单调递增，所以C错误； 对于D：设， 则函数在上至少有三个不同的零点， 等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点， 若，则函数与图象在上无交点，所以，如图所示， 结合图象可知，有， 即，解得，所以D正确． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐一判断即可． 【详解】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 【巩固练习2】（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为_______，记函数的三个不同零点分别为，且.则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】将函数有三个不同的零点转化为与有三个交点的问题，分析的单调性以及最值，即可判断的取值范围；根据交点得到，利用指数与对数的互化，得到，令，构造函数，，根据此函数的单调性，即可求得所求范围. 【详解】由题知，函数有三个不同的零点， 等价于与有三个交点， 当时，单调递增， 且时，，， 所以时，， 当时，递减，， 当时，递增，， 当时，， 所以当时，与有三个交点， 其中时，有一个交点，时，有两个交点， 即函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为. 由，且， 所以，， 所以， 所以， 令，因为，所以， 构造函数，， 则在上单调递增， 又， 所以， 所以. 【巩固练习3】（26-27高三上·天津河西·阶段检测）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，给出下列四个结论：①；②；③；④函数有8个零点；其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【分析】因为时是二次函数，可配方求值域和零点情况；时去绝对值分析的单调性、值域，所以能画出的大致图象，找到方程有四个不同实根时的取值范围.对于，因为是时二次方程的两个根，所以用韦达定理可直接得到、的表达式.对于，因为是时方程的两个根，所以去掉绝对值后可得，，进而推导、的取值范围，再结合的结果得到的范围.分析的零点：先令，解方程得到的所有取值，再分别判断每个对应的的实根个数，相加得到的零点总数. 【详解】时，，值域为，顶点，时； 时，，值域为 作函数图象如图： 方程有四个不同根的条件是，故①正确； 是方程即的两根，由韦达定理：； 是的两根，得，， 故，即； 因此，其取值范围为，故②错误； ，，故，，其取值范围为，故③错误； 的零点等价于， 解得的根为：； 分别计算的根个数： ：无实根； ：共2个实根； 当时，有个实根. 因此的总零点个数为个，④正确. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二下·天津静海·期末）函数的零点所在区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，在定义域内单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 所以函数至多有一个零点， 又因为，， 所以函数有且仅有一个零点，且零点所在区间是. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知单调递增函数的零点在区间内，且，则n的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由解析式知在定义域上单调递增，且， 所以的零点在，故. 3．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数性质，作出函数图象，数形结合即可求解. 【详解】结合二次函数性质，作出函数图象如下： 关于的方程有三个不同的实数根， 则函数与函数的图象有三个不同的交点， 结合图象可知. 4．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数，若关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图象，根据题意，转化为与的图象有两个不同的交点，结合图象，即可求解. 【详解】画出函数的图象，如图所示， 要使得方程有两个不同的解，即方程有两个不同的解， 即与的图象有两个不同的交点， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 5．（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知函数，则函数的零点个数为（      ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】将函数零点问题转化为方程 的解的个数问题，对分段函数分定义域分别解方程，再统计所有有效解的总数. 【详解】函数的零点，等价于方程的解的个数， 当时，，令，解得，因为，满足条件； 当时，，令 ，去绝对值得两种情况： ，显然，满足条件； ，显然，满足条件； 综上，方程 共有个解，即函数零点个数为3. 6．（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）设，分别是关于的方程和的根，则（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将两个方程分别变形，利用函数互为反函数，图像对称以及垂直条件进行求解。 【详解】方程等价于，因此是函数与直线交点的横坐标； 方程等价于，因此是函数与直线交点的横坐标. 函数与函数互为反函数，图像关于对称， 同时直线与直线互相垂直， 因此两个交点、关于直线对称， 则，即. 7．（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数，若关于的方程有两个实数根，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据绝对值对数方程求出两根 关于参数的表达式，代入转化为可利用基本不等式的形式，再求最小值. 【详解】函数，方程有两个实根，则， 由，，则， 即 ，， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号，因此的最小值为. 8．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数，若方程有三个互不相等的实数解，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定方程在上有一个解，从而得在上必有两个不同解，即必有两个非正数解，由二次函数根的分布情况列出不等式组求解即可. 【详解】当时，，单调递增且值域为， 所以此时直线与函数的图象始终有一个交点， 即方程在上有一个解； 由题意可得在上必有两个不同解， 即在上必有两个非正实数解， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 9．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用换元法，令，由得出，方程化为；恒有1根，只需让段恰有1根，解不等式得到a的取值范围． 【详解】令，方程化为， ， 若，由得， 若，，当时无解；当时有无穷多解，不符合题意． 故只有解，原方程等价于， 当时，，解得，始终有1个根； 当时，，则，，即， 解得， 要使该根满足，则，，， 故当时，方程有两个实根，和， 即实数的取值范围是． 二、多选题 10．（26-27高一上·湖北·阶段检测）已知函数．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得； 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 故不存在，使得关于的方程有三个不同的根； 当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为.则答案为ABC. 11．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【分析】根据幂函数、对数函数、二次函数在各自定义域的图像特点，画出函数，由数形结合思想直线与图象的有两个交点，即可求解. 【详解】当时，为增函数，值域为. 当时，为增函数，值域为. 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则此时，值域为. 作出函数的图象如下：     由函数恰有个零点，得恰有两个不等实数解， 即与有两个不同交点. 由图象可知， 当或或时，满足条件，故AD正确. 故选：AD. 12．（25-26高二下·广西南宁·期末）设函数 则下列说法正确的是（     ） A．方程的解集为 B．的单调递增区间是 C．若方程有个不等实根，则实数的取值范围是 D．若 则 【答案】ABD 【分析】根据分段函数直接求方程的解集判断A，分析函数单调性判断B，作函数图象判断C，根据图象及函数性质判断D. 【详解】当时，由可得，解得或， 当时，由可得，解得， 综上，方程的解集为，故A正确； 当时，，在上单调递增； 在上单调递减，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以的单调递增区间是，故B正确； 作函数，的图象，如图， 由图象知，方程有个不等实根，则实数的取值范围是，故C错误； 当时，由图象可知，， 且，所以，故，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 13．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】令，由方程求得或，根据方程有且仅有5个不同实数根，作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令，有，即， 解得或，作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 即或无解，所以. 故答案为：. 14．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数在区间有零点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】若 或. 当时，由 ； 当时，由 . 若 ，此时方程有两个不相等的根. 当这两个根只有1个在区间内时， ； 当这两个根都在区间时， ，结合，可得. 综上可得，的取值范围是. 15．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数 ，若关于 x 的方程 恰有 3个不同的实数根，则实数 a =______． 【答案】 【分析】利用换元法将复合方程转化为一元二次方程，结合的图象与零点个数，通过数形结合讨论参数取值. 【详解】令 ，原方程可整理为关于的一元二次方程： ，因式分解得 ， 因此一元二次方程的两个根为：. 函数的图象特征： 当时，方程有2个不同实数根； 当时，方程仅有1个实数根； 当时，方程没有实数根. 原方程恰有3个不同实根，说明两个方程，的根的总数为3 结合，只能是：其中一个等于0（1个根），另一个对应2个根. 因此仅存在两种符合要求的情况： ①若，得，此时，两个方程一共只有一个根，不符合要求； ②若，得，此时.令，；令，.总根个数为，符合要求. 综上，. 16．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】换元，将指数函数零点问题转化为二次方程根的分布问题，利用二次函数判别式、对称轴、端点函数值，列出不等式组即可求解. 【详解】因为函数在区间上有两个不同的零点， 令，因为，则，则原函数等价为， 即在内有两个不同的根， 则，解得：. 17．（26-27高三上·山东泰安·阶段检测）设函数，若函数有四个零点，，，，且，则k的取值范围是______，______． 【答案】 【分析】作出分段函数的图象，利用数形结合的思想确定k的取值范围，再根据二次函数的性质以及对数函数的性质可求解的值. 【详解】设，则， 作出的图象如下， ， 函数有4个零点，等价于方程有4个不相等的实数根， 所以数形结合可知，，所以， 由图可知，， 由二次函数的对称关系可得，， 又由图可知，所以， 则有，所以， 所以. 18．（2026·河北·一模）已知函数，当方程的实数根的个数最多时，的取值范围是________. 【答案】或. 【分析】令，考虑方程的解，根据题设条件可得，且有两个不同的解，结合换元法和根分布可求的取值范围. 【详解】令，考虑方程的解即，即， 若，此时无解，故无解， 故的实数根的个数为零. 若，则的解为， 下面考虑的解即方程的解， 若的实数根的个数最多，则有两个不同的解， 令，故在上有两个不同的解， 故，故或. 四、解答题 19．（25-26高一上·山西晋城·期末）已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值； (3)设函数，若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2)1 (3)或. 【分析】（1）根据求出，再利用奇函数的定义检验； （2）先利用复合函数求出在上的值域，再结合一元二次函数求的最小值即可； （3）令，画出其函数图象，结合方程的根转化为一元二次方程的区间根问题求解. 【详解】（1）函数是上的奇函数，所以， 所以，得； 检验：当时，， 所以实数的值为1； （2）由（1）可知， 令，则， 因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 即当时，， 所以当时，有最小值，最小值是， 依题意，所以； （3）， 方程有三个不同的实数解， 令，则方程化为． 作出的函数图象，其中是函数图象在上的渐近线， 所以有两个根，不妨设， 则或， ①设， 则，解得， ②设，所以，得，则方程化为， 解得，满足题意， 所以实数的取值范围为或. 20．（25-26高一上·山东淄博·期末）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)设函数，若对于任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，若函数有且仅有6个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解集求参数即可； （2）利用函数最值，结合存在性和任意性来确定参数范围； （3）利用数形结合，来确定二次方程根的分布，从而可求参数范围. 【详解】（1）由函数的定义域为，则的解集为， 所以，解得， 故实数的取值范围为； （2）由， 当时，，根据二次函数性质可知：， 对于任意的，总存在，使得不等式成立， 则任意的，都有不等式成立， 即由，因为， 所以原不等式可变形为：， 由于函数在上单调递增，所以， 即，解得， 故实数的取值范围是； （3）作出函数图象如下： 由图可得，要使得函数有且仅有6个零点， 则满足方程必有两个不等于0的根，根据韦达定理可知，这两个根互为倒数， 则必有一个根在，满足有4个解，且另一个根在，满足有2个解， 当时，，此时方程的两根为和， 此时满足题意，故， 再根据两个根分别落在区间和，则有，解得， 综上可得：实数的取值范围是 $