4.5.1 函数的零点与方程的解讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“函数的零点与方程的解”核心知识点，系统梳理函数零点的概念、与方程解及图像交点的关系，通过表格呈现常见函数零点情况，并深入讲解零点存在定理及推论，为后续函数性质应用与方程求解搭建学习支架。 资料以结构化知识梳理和分层题型设计为特色，通过二次函数零点与判别式关系等实例，培养学生用数学眼光观察数量关系，用数学思维进行逻辑推理，课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过例题与跟踪训练巩固知识，查漏补缺。

4.5.1 函数的零点与方程的解 知识点一、函数的零点与方程的解 1.函数的零点 （1）概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. （2）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 方程f(x)＝0有实数解函数y＝f(x)的图像与x轴有公共点函数y＝f(x)有零点. （3）常见函数的零点 函数 零点（或零点个数） 一次函数y=kx+b(k≠0) 一个零点 反比例函数 (k≠0) 无零点 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 两个零点 一个零点 无零点 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1) 无零点 对数函数y＝logax(a>0且a≠1) 一个零点1 幂函数y＝ 一个零点0 无零点 知识点二、函数零点存在定理 1.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 2.推论：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调，其图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有且只有一个零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0. 题型一：求函数的零点 例1.求函数f(x)＝的零点. 例2.已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点. 跟踪训练： 1.求下列函数的零点： （1）f(x)＝(lg x)2－lg x. （2）f(x)＝x3－2x2－x＋2. （3）. 题型二：零点个数的问题 例1.判断下列函数零点的个数. （1）f(x)＝x2－x＋； （2）f(x)＝ln x＋x2－3. 跟踪训练： 1.已知函数f(x)＝和函数g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是 . 2.函数的零点个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 3.设函数是上的奇函数，当时，，则的零点个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 题型三：判断零点所在的区间 例1.f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　) A.(－2，－1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(1,2) 例2.由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是(　　) x 0 1 2 3 4 ex 1 2.72 7.39 20.09 54.60 3x＋2 2 5 8 11 14 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 跟踪训练： 1.函数f（x）＝log2x的零点所在区间（　　） A.（1，2） B.（2，3） C.（0，） D.（，1） 2.方程的实数根所在的区间为（　　） A.（4，5） B.（3，4） C.（2，3） D.（1，2） 3.若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于(　　) A.－2 B.1 C.－2或1 D.0 题型四：已知函数零点求参数的取值范围 例1.函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围. 例2.已知a＞0，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 （　　） A.（0，1） B. C.[1，+∞） D. 跟踪训练： 1.若函数f（x）＝﹣x2+（k﹣1）x+1﹣k在区间（﹣1，0）和（0，2）上各有一个零点，则 实数k的取值范围是（　　） A. B. C.（﹣3，1） D.（﹣∞，1）∪（5，+∞） 2.已知函数在（1，e）上存在零点，则实数a的取值范围为（　　） A.（0，e） B.（1，e） C. D.（2，e） 3.函数f（x），方程f（x）＝k（k＜0）有3个实数解，则k的取值 范围为　 　. 4.已知函数f（x）＝ax2﹣5x+a. （1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围； （2）若函数f（x）的一个零点在（0，1）内，另一个零点在（2，3）内，求实数a的取值范围. 1.函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　) A.(1，＋∞) B. C. D. 2.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　　) A.方程f(x)＝0一定有一实数解 B.方程f(x)＝0一定无实数解 C.方程f(x)＝0一定有两实根 D.方程f(x)＝0可能无实数解 3.函数y＝4x﹣2x+3+16的零点是（　　） A.0 B.1 C.2 D.（2，0） 4.已知函数f（x）＝x2﹣kx+2在区间（1，3）上有零点，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有 个. 6.若是函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点，则f(x)的另一个零点是 . 7.设常数k＞0，设g（x）＝f（x）﹣k，若函数y＝g（x）恰有三个 零点，则k的取值范围是 . 8.设，若g（x）＝f（x）﹣a有三个不同的零点，则实数a的取值范 围是 . 1.函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间(　　) A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 2.已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于(　　) A.0 B.1 C.－1 D.不能确定 3.已知x＝1是函数f（x）＝2x+mx﹣5的零点，则m为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知函数f(x)＝，则函数f(x)的零点为(　　) A.，0 B.－2,0 C. D.0 5.方程x＋log3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 6.函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为(　　) A.至多有一个 B.有两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 7.若若函数f（x）＝|ex﹣b|﹣2有两个零点，则实数b的取值范围为（　　） A.（0，2） B.（0，2] C.[2，+∞） D.（2，+∞） 8.函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是 . 9.若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是 . 10.函数的零点在区间（k，k+1）（k∈N）内，则k＝ . 11.已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是 . 12.若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是 . 13.已知函数f（x）＝|2x﹣2|. （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出f（x）的大致图象，并写出f（x）的单调区间及值域； （2）若函数g（x）＝f（x）+a﹣2的图象与x轴有两个不同的交点，求实数a的取值范围. 14.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点. （1）f(x)＝－x2＋2x－1； （2）f(x)＝x4－x2； （3）f(x)＝4x＋5； （4）f(x)＝log3(x＋1). 15.已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1. （1）当a＝1时，求函数f(x)的零点； （2）若f(x)有零点，求a的取值范围. 16.已知函数f（x）＝ax2+2x﹣1，a∈R. （1）若f（x）在定义域内有唯一的零点，求实数α的值； （2）若f（x）在区间（﹣2，2）内有唯一的零点，求实数a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5.1 函数的零点与方程的解 知识点一、函数的零点与方程的解 1.函数的零点 （1）概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. （2）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 方程f(x)＝0有实数解函数y＝f(x)的图像与x轴有公共点函数y＝f(x)有零点. （3）常见函数的零点 函数 零点（或零点个数） 一次函数y=kx+b(k≠0) 一个零点 反比例函数 (k≠0) 无零点 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 两个零点 一个零点 无零点 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1) 无零点 对数函数y＝logax(a>0且a≠1) 一个零点1 幂函数y＝ 一个零点0 无零点 知识点二、函数零点存在定理 1.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 2.推论：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调，其图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有且只有一个零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0. 题型一：求函数的零点 例1.求函数f(x)＝的零点. 解：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍)； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2. 例2.已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点. 解：由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1). 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝. 所以函数g(x)的零点为0和. 跟踪训练： 1.求下列函数的零点： （1）f(x)＝(lg x)2－lg x. （2）f(x)＝x3－2x2－x＋2. （3）. 解：（1）令(lg x)2－lg x＝0，则lg x(lg x－1)＝0， ∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10，因此函数f(x)的零点是1,10. （2）令x3－2x2－x＋2＝0，得x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x＋1)(x－1)＝0， 解得x＝－1或x＝1或x＝2，∴函数f(x)有3个零点，分别为－1,1,2. （3）解：设2x＝t，令，去分母，得， 整理得t2+5t﹣24＝0，即（t﹣3）（t+8）＝0， ∵t＝2x＞0，∴t＝3，即2x＝3，∴x＝log23.故函数的零点为log23. 题型二：零点个数的问题 例1.判断下列函数零点的个数. （1）f(x)＝x2－x＋； （2）f(x)＝ln x＋x2－3. 解：（1）由f(x)＝0，即x2－x＋＝0，得Δ＝， 所以方程x2－x＋＝0没有实数根，即f(x)零点的个数为0. （2）方法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0， 所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数. 在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图). 由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点. 从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点. 方法二：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0， 所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是连续的， 所以f(x)在(1,2)上必有一个零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个. 跟踪训练： 1.已知函数f(x)＝和函数g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是 . 解：作出g(x)与f(x)的图像如图， 由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点，即h(x)有3个零点.故答案为：3. 2.函数的零点个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 解：当时，（解方程法）令，即，解得（舍去）. 当时，（图象法）令，即，即. 在一直角坐标系中作出函数与()的图象，由图可知两图象只有一个交点. 综上可知，函数的零点个数为2.故选：B. 3.设函数是上的奇函数，当时，，则的零点个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解：（方法1定理结合性质判断）因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以是函数的一个零点. 当时，， 所以.又在上单调递增， 所以在内有一个零点，且在上无其他零点. 由对称性知在上有且只有一个零点.所以共有3个零点. （方法2图象法）当时，. 由，得，变形为. 分别作出函数和的图象，如图，两函数图象只有一个交点， 即时只有一个零点.因为是上的奇函数，所以， 时也只有一个零点.所以共有3个零点.故选：C. 题型三：判断零点所在的区间 例1.f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　) A.(－2，－1) B.(－1,0) C.(0,1) D.(1,2) 解：方法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，f(x)为R上的连续函数，∴f(x)在(0,1)内有零点. 方法二　ex＋x－2＝0，即ex＝2－x， ∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间. 如图， 由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1).故选：C. 例2.由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是(　　) x 0 1 2 3 4 ex 1 2.72 7.39 20.09 54.60 3x＋2 2 5 8 11 14 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解：设f(x)＝ex－3x－2，f(x)为R上的连续函数，由题表知，f(0)，f(1)，f(2)均为负值，f(3)，f(4)均为正值，因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为(2,3).故选：C. 跟踪训练： 1.函数f（x）＝log2x的零点所在区间（　　） A.（1，2） B.（2，3） C.（0，） D.（，1） 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增， ∵f（1）＝log21﹣1＝﹣1＜0，f（2）＝log22， ∴在（1，2）内函数f（x）存在零点，故选：A. 2.方程的实数根所在的区间为（　　） A.（4，5） B.（3，4） C.（2，3） D.（1，2） 解：令，x＞0， 而函数在（0，+∞）上都单调递增， 则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 又， 因此函数的唯一零点在（1，2）内， 所以方程的实数根所在的区间为（1，2）.故选：D. 3.若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于(　　) A.－2 B.1 C.－2或1 D.0 解：由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象，如图所示， 由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，由lg3<1， lg4>lg可得，所以k＝－2或k＝1.故选：C. 题型四：已知函数零点求参数的取值范围 例1.函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围. 解：由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2， 因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点， 所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点， 画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示， 观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2. 例2.已知a＞0，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 （　　） A.（0，1） B. C.[1，+∞） D. 解：由x+a＝0，解得x＝﹣a，又a＞0，所以﹣a＜a，则﹣a是函数f（x）的一个零点， 由lnx+3＝0，解得，要使得函数有两个不同的零点， 则.故选：B. 跟踪训练： 1.若函数f（x）＝﹣x2+（k﹣1）x+1﹣k在区间（﹣1，0）和（0，2）上各有一个零点，则 实数k的取值范围是（　　） A. B. C.（﹣3，1） D.（﹣∞，1）∪（5，+∞） 解：因为函数f（x）在区间（﹣1，0）和（0，2）上各有一个零点，且函数f（x）的图像开口向下，所以，解得， 所以实数k的取值范围是.故选：A. 2.已知函数在（1，e）上存在零点，则实数a的取值范围为（　　） A.（0，e） B.（1，e） C. D.（2，e） 解：因为函数在（1，e）上单调递增， 所以函数在（1，e）上单调递增， 要使函数f（x）在（1，e）上存在零点，则， 解得0＜a＜e，则实数a的取值范围为（0，e）.故选：A. 3.函数f（x），方程f（x）＝k（k＜0）有3个实数解，则k的取值 范围为　 　. 解：方程f（x）＝k有3个实数解，等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝k有3个公共点，因当x≤0时，f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递减，在[﹣1，0]上单调递增，f（﹣1）＝﹣4，f （0）＝﹣3，当x＞0时，f（x）单调递增，f（x）取一切实数， 在同一坐标系内作出函数y＝f（x）的图象及直线y＝k，如图： 由图象可知，当﹣4＜k≤﹣3时，函数y＝f（x）的图象及直线y＝k有3个公共点， 方程f（x）＝k有3个解，所以k的取值范围为（﹣4，﹣3]. 故答案为：（﹣4，﹣3]. 4.已知函数f（x）＝ax2﹣5x+a. （1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围； （2）若函数f（x）的一个零点在（0，1）内，另一个零点在（2，3）内，求实数a的取值范围. 解：（1）由题意，可得，则或. 即实数a的取值范围为：{|或}； （2）由f（x）的两个零点一个在（0，1）内，另一个在（2，3）内，故a≠0， 当f（x）的图象开口向上时，，所以，解得. 当f（x）的图象开口向下时，，所以，解得a∈∅； 综上，a的取值范围为. 1.函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　) A.(1，＋∞) B. C. D. 解：易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增.由f(x)＝2x－，得＝－2<0， f(1)＝2－1＝1>0，∴·f(1)<0.∴零点所在区间为.故选：B. 2.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　　) A.方程f(x)＝0一定有一实数解 B.方程f(x)＝0一定无实数解 C.方程f(x)＝0一定有两实根 D.方程f(x)＝0可能无实数解 解：∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解.故选：D. 3.函数y＝4x﹣2x+3+16的零点是（　　） A.0 B.1 C.2 D.（2，0） 解：由4x﹣2x+3+16＝0，设t＝2x，则得t2﹣8t+16＝0， 解得t＝4，从而2x＝4，所以x＝2.故选：C. 4.已知函数f（x）＝x2﹣kx+2在区间（1，3）上有零点，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解：函数f（x）＝x2﹣kx+2在区间（1，3）上有零点， 即方程在区间（1，3）上有解， 因为函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以g（x）min＝g（）＝2，又因为g（1）＝3，g（3）， 所以函数y＝g（x）在（1，3）上的值域为[2，），所以. 故选：D. 5.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有 个. 解：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)， ∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.故答案为：3. 6.若是函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点，则f(x)的另一个零点是 . 解：由＝2×－a＋3＝0得a＝5，则f(x)＝2x2－5x＋3.令f(x)＝0，即2x2－5x＋3＝0， 解得x1＝，x2＝1，所以f(x)的另一个零点是1.故答案为：1. 7.设常数k＞0，设g（x）＝f（x）﹣k，若函数y＝g（x）恰有三个 零点，则k的取值范围是 . 解：作出函数的图象，如图所示： 令g（x）＝f（x）﹣k＝0，得f（x）＝k， 由题意可得直线y＝k与y＝g（x）的图象有三个交点，所以k∈（0，1]. 故答案为：（0，1]. 8.设，若g（x）＝f（x）﹣a有三个不同的零点，则实数a的取值范 围是 . 解：由题设f（x）与y＝a有三个交点， 而f（x）在（﹣∞，0]、（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减， 且在（﹣∞，0]上值域为（1，2]，在（0，+∞）上值域为[0，+∞）， 由f（x）的解析式可得其函数图象大致如下： 由图知1＜a≤2时，f（x）与y＝a有三个交点.故答案为：（1，2]. 1.函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间(　　) A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 解：f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0. 又因为f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4).故选：B. 2.已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于(　　) A.0 B.1 C.－1 D.不能确定 解：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.故选：A. 3.已知x＝1是函数f（x）＝2x+mx﹣5的零点，则m为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解：因为x＝1是函数f（x）＝2x+mx﹣5的零点， 所以f（1）＝2+m﹣5＝0，解得m＝3.故选：C. 4.已知函数f(x)＝，则函数f(x)的零点为(　　) A.，0 B.－2,0 C. D.0 解：当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝(舍). 综上所述，函数f(x)的零点为0.故选：D. 5.方程x＋log3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解：设f(x)＝x＋log3x－3，则f(1)＝1＋log31－3＝－2<0，f(2)＝2＋log32－3＝log32－1<0， f(3)＝3＋log33－3＝1>0，又易知f(x)为单调增函数， 所以方程x＋log3x＝3的解在(2,3)内，因此n＝2.故选：C. 6.函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为(　　) A.至多有一个 B.有两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 解：若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个； 若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1,2)上有两个零点， 则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾.若f(x)在(1,2)上没有零点，则必有f(1)·f(2)≥0，与已知矛盾. 故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.故选：C. 7.若若函数f（x）＝|ex﹣b|﹣2有两个零点，则实数b的取值范围为（　　） A.（0，2） B.（0，2] C.[2，+∞） D.（2，+∞） 解：因为函数f（x）＝|ex﹣b|﹣2有两个零点，即方程|ex﹣b|﹣2＝0有两个不同的解， 化简得|ex﹣b|＝2，解得ex＝b+2或ex＝b﹣2，由于函数y＝ex在R上单调递增， 值域为（0，+∞），函数f（x）有两个零点， 则方程ex＝b+2和ex＝b﹣2各有一个不同的解，所以，即， 解得b＞2，即实数b的取值范围为（2，+∞）.故选：D. 8.函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是 . 解：函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数.如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象. 由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点.故答案为：3. 9.若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是 . 解：∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0， ∴Δ＝－3b2<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根. ∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点.故答案为：0. 10.函数的零点在区间（k，k+1）（k∈N）内，则k＝ . 解；由题意知，函数在（0，+∞）上连续， 且yx﹣5与y＝log2x在（0，+∞）上单调递增， 所以函数y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在（4，5）内，结合题意可得k＝4.故答案为：4. 11.已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是 . 解：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示， 观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a<b<c.故答案为：a<b<c. 12.若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是 . 解：由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象， 则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0<a<4.故答案为：0<a<4. 13.已知函数f（x）＝|2x﹣2|. （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出f（x）的大致图象，并写出f（x）的单调区间及值域； （2）若函数g（x）＝f（x）+a﹣2的图象与x轴有两个不同的交点，求实数a的取值范围. 解：（1）因为y＝2x﹣2的图象是由y＝2x的图象向下平移两个单位而得， 而f（x）＝|2x﹣2|的图象是由y＝2x﹣2的图象保留x轴上方的图象， 再将x轴下方的图象沿着x轴向上翻折而得， 所以f（x）＝|2x﹣2|的图象如下： 所以f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），单调递增区间为（1，+∞），值域为[0，+∞）. （2）因为函数g（x）＝f（x）+a﹣2的图象与x轴有两个不同的交点， 所以f（x）+a﹣2＝0有两个零点， 即函数y＝f（x）的图象与直线y＝2﹣a的图象有两个交点， 结合图象可知，0＜2﹣a＜2，解得0＜a＜2，即实数a的取值范围为（0，2）. 14.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点. （1）f(x)＝－x2＋2x－1； （2）f(x)＝x4－x2； （3）f(x)＝4x＋5； （4）f(x)＝log3(x＋1). 解：（1）令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1. （2）令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1， 故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1. （3）令4x＋5＝0，则4x＝－5，因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解. 所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点. （4）令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0. 15.已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1. （1）当a＝1时，求函数f(x)的零点； （2）若f(x)有零点，求a的取值范围. 解：（1）当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1.令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0， 解得2x＝1或2x＝(舍去).∴x＝0，∴函数f(x)的零点为0. （2）若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解， 于是2a＝，令＝t，则g(t)＝t＋t2＝－. ∵t>0， ∴g(t)在(0，＋∞)上单调递增，其值域为(0，＋∞)， ∴2a>0，即a的取值范围是(0，＋∞). 16.已知函数f（x）＝ax2+2x﹣1，a∈R. （1）若f（x）在定义域内有唯一的零点，求实数α的值； （2）若f（x）在区间（﹣2，2）内有唯一的零点，求实数a的取值范围. 解：（1）函数f（x）＝ax2+2x﹣1的定义域为R， 当a＝0时，f（x）＝2x﹣1，此时由f（x）＝0，得x，满足题意； 当a≠0时，要使f（x）在定义域内有唯一的零点， 则需Δ＝4+4a＝0，所以a＝﹣1，所以实数α的值为0或﹣1. （2）当a＝0时，f（x）＝2x﹣1，此时由f（x）＝0得x∈（﹣2，2），满足题意； 当a≠0时，若Δ＝0，则a＝﹣1，此时有：f（x）＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x2﹣2x+1） ＝﹣（x﹣1）2， 其零点为1∈（﹣2，2），满足题意； 若△≠0，要使f（x）在区间（﹣2，2）内有唯一的零点， 则需，即，解得且a≠0， 综上，实数a的取值范围为{a|或a＝﹣1}. 1 学科网（北京）股份有限公司 $