精品解析：江苏省沭阳南洋学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

沭阳南洋学校高二年级数学月考 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知、表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，P是正方体中棱上异于端点的一个内点，连接并延长，则与直线（ ） A. 相交 B. 相交 C. 相交 D. 相交 5. 如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 7. 设为实数，若直线与平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 10. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 直线一定经过第四象限 D. 点到直线的最大距离为 11. 已知直线与圆，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 直线与圆C相交 C. 圆C上到直线的距离为1的点共有2个 D. 圆C上到直线的距离为1的点共有3个 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，是正四面体棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为______. 13. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 14. 已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为_________． 四、解答题（本小题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 17. 已知圆． （1）求过点且与圆相切的直线的方程； （2）若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 18. 平面内一动点到点与的距离之比为． （1）求动点的轨迹方程； （2）斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 19. 如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 （1）求证：平面BCD； （2）求的值； （3）若二面角的大小为，求四面体的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沭阳南洋学校高二年级数学月考 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知、表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项中的已知条件判断各选项中线线、线面、面面的位置关系，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，，则或或或与斜交，A选项错误； 对于B选项，若，，则或或与相交，B选项错误； 对于C选项，若，，则，C选项正确； 对于D选项，若，，则与平行或相交，D选项错误. 故选：C. 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在直角梯形中，，， 则. 将直观图还原，则，，， 故该平面图形的高为. 3. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式求出圆锥的母线长，进而可求得扇形的弧长，圆锥的底面半径、高，最后可得体积. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为. 由扇形的面积公式得，解得. 所以圆锥的侧面展开图的弧长为， 又圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，即，解得. 所以圆锥的高为， 所以体积为. 4. 如图所示，P是正方体中棱上异于端点的一个内点，连接并延长，则与直线（ ） A. 相交 B. 相交 C. 相交 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线的含义可判断；根据线面平行的性质可判断B；说明四边形为梯形，可判断D. 【详解】由题意，P是正方体中棱上异于端点的一个内点，连接并延长， 则平面，而平面， 故与为异面直线，A错误； 因为平面，平面， 故平面，则与直线不可能相交，B错误； 平面，平面， 故与为异面直线，C错误； 由题意知,且，故四边形为梯形， 故与相交，D正确， 故选：D 5. 如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，，分析可知是与所成的角或其补角，结合题意运算求解即可. 【详解】取的中点，连接，， 可知，，且，， 则是与所成的角或其补角，即是与所成的角或其补角． 因为，在中，． 且，可得，则，所以． 故选：A. 6. 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为长方体，底面，，， 所以四棱锥的体积， 故选：B 7. 设为实数，若直线与平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求出，再根据两平行间的距离公式求解. 【详解】由题意，，解得， 所以直线，即与直线间的距离为. 故选：A. 8. 一次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数的图象过一二四象限可知，再判断一次函数、反比例函数的图象所在象限可得答案. 【详解】由一次函数的图象过一二四象限，可知， 所以一次函数的图象过一三四象限， 反比例函数的图象在一三象限. 故选：C. 二、多选题（本小题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线线平行证明线面平行，进而判断各选项. 【详解】因为为平行四边形对角线的交点，所以为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，A选项正确； 同理平面，平面，所以，B选项正确； 由四边形为平行四边形，所以，平面，平面，故平面，故D正确； 又与平面相交于点，故C错误； 故选：ABD. 10. 已知直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 当时，关于轴的对称直线为 C. 直线一定经过第四象限 D. 点到直线的最大距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据即可求解定点判断A，根据对称即可求解B，当时，直线，即可求解C，根据到定点的距离即可求解D. 【详解】对于选项A，由直线，得所以直线过定点，所以选项A正确； 对于选项B，当时，直线，所以关于轴的对称直线为，所以选项B正确； 对于选项C，当时，直线，不经过第四象限，所以选项C错误； 对于选项D，点到定点的距离为到直线的最大距离为，所以选项D正确． 故选：ABD． 11. 已知直线与圆，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 直线与圆C相交 C. 圆C上到直线的距离为1的点共有2个 D. 圆C上到直线的距离为1的点共有3个 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系可判断. 【详解】由圆，可知其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误. 故选：BD 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，是正四面体棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【详解】取中点，连接，由是的中点，得， 则是直线，所成的角或其补角，令正四面体的棱长为4， 由是的中点，得，， 在中，， 在中，. 故答案为： 13. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 14. 已知，两点，则以线段为直径的圆的标准方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心和半径即可求出圆的标准方程. 【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为， 半径， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 四、解答题（本小题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面，，、分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点为，连接， 因为、分别为、的中点，所以，， 又因为四边形为矩形，，，且为的中点， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以直线平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，证明四边形是平行四边形，则，再利用线面平行的判定即可； （2）以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，从而写出相关向量，求出相关平面的法向量，再利用线面夹角正弦值公式即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，、平面，则，， 以为原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，、所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，则， 因为，故为等腰直角三角形，且． 所以、，所以． 易知平面的一个法向量为， 则设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 16. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【小问1详解】 由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. 【小问2详解】 设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 17. 已知圆． （1）求过点且与圆相切的直线的方程； （2）若点是圆上两点， ①若共线，求的面积最大值及此时直线的方程； ②若直线斜率存在，且直线与斜率互为相反数，证明：直线经过定点． 【答案】（1）； （2）①3，； ②证明：设直线方程为，， 由消去得，则， 直线斜率，直线的斜率， 依题意，，整理得， 即有，化简得，经验证的， 因此直线：恒过定点， 所以直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）判断给定点在圆上，求出经过切点的半径所在直线的斜率即可求解出切线方程. （2）①利用三角形面积公式可得时，三角形面积最大，再结合点到直线距离公式求出直线方程；②设出直线方程，与圆的方程联立，结合韦达定理及斜率坐标公式计算推理即得. 【小问1详解】 由，得点在圆上，则过点的圆半径所在直线斜率为 因此所求切线斜率为，方程为，即. 【小问2详解】 ①显然直线的斜率存在且不为0，设方程为，而圆半径为， 则的面积， 当且仅当时取等号，此时圆心到直线的距离， 因此，解得，直线：，即， 所以的面积最大值为3，直线的方程为. ②略 18. 平面内一动点到点与的距离之比为． （1）求动点的轨迹方程； （2）斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【小问1详解】 设动点， 因为，则， 整理可得， 所以动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得， 所以直线的方程为. 19. 如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 （1）求证：平面BCD； （2）求的值； （3）若二面角的大小为，求四面体的体积. 【答案】（1） 在三角形ABO中，，，， 因此，可得 由于平面平面BCD，AO在平面ABD内，平面平面， 因此平面BCD； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理得出，进而应用平面平面BCD的性质定理证明线面垂直； （2）先根据线面平行性质定理得出，结合边长关系得出比例关系； （3）根据二面角定义得出即为二面角的平面角，再结合边长关系得出，最后应用三棱锥体积公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接PE，平面，平面ABD，平面平面， 因此因为，， 因此，，因此； 【小问3详解】 设四面体的体积为V， 由（2）得，则， 由于平面平面BCD，平面平面，，平面BCD， 因此平面ABD， 又平面BCD，平面BCD，则， 过O作于点F， ，FO，平面AFO，则平面AFO， 又平面AFO，因此， 因此即为二面角的平面角， 因为，，，则， 又，在中由勾股定理得，又， 由，得， 因此 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $