精品解析：江苏常州市前黄高级中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试卷

2026常州前黄高级中学高二月考数学试卷 省前中2028届高二年级上学期第一次学情调研数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】D 【解析】 【详解】直线与轴垂直，倾斜角为，斜率不存在. 2. 若点在圆外，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 3. 已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】圆即为， 则，解得，可知圆心为，半径， 可知圆心到直线的距离， 由题意可得：，即，解得. 4. 已知曲线为椭圆，且，则数对个数为（ ） A. 5 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆方程的性质对数对进行列举即可. 【详解】曲线为椭圆，则， 且，则满足条件的正整数对有， 在上述数对中，只有满足，所以需要排除这个情况，剩下的数对共 8 对， 因此，满足条件的数对的个数为 8. 5. 已知三点，则“三点共线”是“或”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件． 故选：C. 6. 已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出线段的方程及横坐标的取值范围，将转化为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解最小值. 【详解】由点，点，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，整理得. 由于点在线段上，故横坐标的取值范围为，且. 所以， 该式为关于的一次函数，斜率，在区间上单调递增， 因此当时，取得最小值，最小值为. 因此的最小值 为. 7. 点已知动直线恒过定点，为圆上一点，若（为坐标原点），则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点的坐标，连接，分析可知，求出直线的方程，可求出原点到直线的距离，并计算出，利用三角形的面积公式即可求得结果. 【详解】将直线的方程变形得，所以直线过定点，易知点在圆上． 连接，因为，，，则， 所以，，即为的角平分线，所以，， 又，所以，则直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 点到直线的距离． 又，所以， 故选：C． 8. 在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】在等腰直角中，，建立如图所示的直角坐标系，则， 直线方程为，且的重心为， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 而关于轴的对称点为， 由光的反射定律知四点共线，且，， 因此直线的方程为，即， 由直线过，得，而，解得， 即点，，，则， 所以的周长为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 椭圆离心率为 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：椭圆的焦距为，故A正确； 选项B：由椭圆的定义得，又，因此的周长为，故B正确； 选项C：椭圆上的点到焦点的距离最小值为，即的最小值为1，不是，故C错误； 选项D：椭圆的离心率，故D正确. 10. 已知圆的半径为．则（ ） A. B. 圆上一动点到点距离的最小值为 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由圆的性质结合直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】选项A，由题知，解得，A正确. 选项B，由题知圆的圆心坐标为，设动点到点距离为， 圆心到点的距离为， 可得点在圆内，由圆的性质可知的最小值为 ， B正确. 选项C，圆的圆心坐标为，半径为， 可得两圆心的距离为，两圆的半径之和为， 两圆的圆心距离等于两圆的半径之和，圆与圆外切，C正确. 选项D，由直线平分圆的周长，可得圆心在直线上， 将圆心坐标代入直线方程得，解得，D错误. 11. 已知曲线，点在上，为坐标原点，，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于原点中心对称 B. 的最小值为 C. 围成的图形面积为 D. 若，，则的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用曲线方程的对称性判断A；把转化为点到直线距离的倍进行计算；将曲线分象限配方，计算围成图形的面积；对D选项，先变形，结合曲线在时的方程化简，转化为两点距离，再利用三角不等式求最值. 【详解】曲线，配方可得. 当且时，， 当时，， 当时，， 当时，， 曲线在每个象限内是半径的半圆， 对于A，若点在曲线上，把代入方程得， 即，所以点也在曲线上，即曲线关于原点对称，故A正确； 对于B，， 表示曲线上的点到直线的距离的倍. 原点到直线的距离是，曲线上的点到原点距离的最大值为， 所以曲线上点到该直线的最小距离为， 即，故B错误； 对于C，曲线围成的图形由四个半径为的半圆和一个边长为的正方形组成， 所以面积为：，故C正确； 对于D，因为时，方程变为， ，等价于到点的距离. 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先讨论y的系数为零的情况是否满足题意，再讨论y的系数不为零时的情况，根据直线在一般方程形式时平行所满足的系数关系即可求解． 【详解】当或时两直线不平行， 当且时，∵，∴， 故答案为：． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为分别是C上的两个动点，当最大时，，则C的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的性质先确定P点位置，根据向量共线的坐标计算Q坐标，代入椭圆方程得出齐次方程计算离心率即可. 【详解】由题意得，当最大时，点P位于椭圆上顶点或下顶点处，设椭圆半焦距为c， 此时， 由，可得，将点代入椭圆方程， 可得，解得，故离心率为. 14. 新月联盟的标志中有一轮新月与栖息于其上的鸽子，其中新月部分可看作将圆被直线所截得的劣弧部分绕该直线向内折叠得到的图形，如图所示．若直线与该图形的边缘恰有4个交点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原点关于直线的对称点，得到折叠后劣弧所在圆的圆心与圆方程；直线过定点，求出该直线与折叠后圆弧所在圆相切时的斜率；再求出定点与截点连线的斜率；数形结合，得到直线与图形边缘恰有4个交点时斜率的取值范围. 【详解】设原点关于直线的对称点为. 两点连线与对称轴垂直，中点在对称轴上，列出方程组 ，解得，即. 折叠后的圆弧所在圆的圆心为，半径为，圆的方程为. 直线恒过定点. 若直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即 整理得到，两边平方，， ，，解得. 联立，代入得， ，解得. 取交点， 所以 结合图形， 若直线与该图形的边缘恰有4个交点，则直线斜率满足. 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆． （1）过点向圆作切线，求切线的方程； （2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论直线的斜率是否存在，根据圆心到直线的距离运算求解即可； （2）求圆心到直线的距离，可得，结合切线长运算求解即可. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 若直线的斜率不存在，则直线，圆心到直线的距离为，不合题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 由题意可得：，整理可得，解得或， 则直线的方程为或； 综上所述：切线的方程为或. 【小问2详解】 圆心到直线的距离，则， 因为， 所以的最小值为. 16. 在平面直角坐标系中，已知点，，，点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知，求的最大值； （3）若，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义，得的轨迹是以，为左、右焦点的椭圆，再求出，即可求解； （2）点，利用点在椭圆上及两点间的距离，得到，即可求解； （3）根据条件，利用椭圆的定义，得到，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以的轨迹是以，为左、右焦点的椭圆， 设轨迹的方程为，则，， 可得，， 所以轨迹C的方程为． 【小问2详解】 设点，则，又， 所以， 而，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为． 【小问3详解】 因为，所以． 由，可得， 由的面积． 17. 已知点，圆，以为直径的圆与相交于两点. （1）求的方程及的值； （2）若直线与平行，且上到的距离为1的点有且仅有两个，求直线截距的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）先求出圆的圆心和半径，再根据的中点和长度得到圆的方程；两圆公共弦的长度可通过两圆方程相减得到直线的方程，再计算到的距离，结合勾股定理求解. （2）由的斜率得到直线的斜率，设出直线的方程，根据到的距离为的点有且仅有两个，可知圆心到直线的距离满足，进而求出截距的取值范围. 【小问1详解】 圆可化为，所以圆心，半径. 已知，则的中点为， ，所以圆的半径. 圆的方程为： 展开得：， 即. 将圆与的方程相减，得到公共弦的方程： ，化简得：. 圆心到直线的距离为：. 由勾股定理，，故. 【小问2详解】 直线的方程为，斜率为，故直线的斜率也为. 设直线的方程为，即. 因为上到的距离为的点有且仅有两个，所以圆心到直线的距离满足： ，即. 圆心到直线的距离为： 因此：.即， 解得. 18. 如图，已知圆M：，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦，. （1）求证：为定值； （2）当时，求直线的方程和直线的方程. 【答案】（1）证明： 如图，当直线斜率不存在时，直线的斜率为0. 在方程中，令得，令得， ∴，∴. 当直线斜率为0时，直线的斜率不存在，，. 当直线斜率存在且不为0时，设，则， 由得，， 设，则， ∴，∴， ∴， ∴， 综上得，为定值，定值为. （2）， 【解析】 【分析】（1）计算特殊情况下的值，当直线斜率存在且不为0时，设，利用弦长公式表示，即可证明结论. （2）利用条件得到，为等腰直角三角形，，根据（1）可求出直线斜率，利用求出直线的斜率，联立直线与圆方程求点坐标即可得到直线方程. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由圆周角定理得，. 由得，， ∵，∴，为等腰直角三角形， ∴，∴. ∵，∴. 由（1）得，当直线斜率不存在或斜率为0时不合题意. 取中点，连接，则，故三点共线， ∵，∴. 易知斜率大于0， 由得， 由得或， ∴. 方程为，即，方程为，即. 综上得，， 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是利用垂径定理和等腰直角三角形的性质得到，求得直线的斜率，根据（1）中的结论求出直线的斜率，即可得到点的坐标，进而计算出直线方程. 19. 已知点为线段的中点，，点为圆上动点. （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点）， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）是，5 【解析】 【分析】（1）设，，利用相关点法即可求出轨迹方程； （2）设直线的方程为，，，联立直线和曲线的方程，消去后，利用韦达定理及可求出斜率的取值范围，利用斜率公式及韦达定理可求出. 【小问1详解】 设，，由中点坐标公式得， 因为点为圆上动点， 所以， 所以， 整理得曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立直线和曲线的方程：， 消去得：， （i）因为直线与曲线交于异于坐标原点的两点，， 所以， 解得. （ii）, 代入韦达得：， 所以是定值5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026常州前黄高级中学高二月考数学试卷 省前中2028届高二年级上学期第一次学情调研数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 若点在圆外，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线为椭圆，且，则数对个数为（ ） A. 5 B. 10 C. 9 D. 8 5. 已知三点，则“三点共线”是“或”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 点已知动直线恒过定点，为圆上一点，若（为坐标原点），则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在等腰直角中，，点P是边上异于端点的一点，光线从点P出发经，边反射后又回到点P，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点为上的动点，以下正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 的周长为6 C. 的最小值为 D. 椭圆离心率为 10. 已知圆的半径为．则（ ） A. B. 圆上一动点到点距离的最小值为 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 11. 已知曲线，点在上，为坐标原点，，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于原点中心对称 B. 的最小值为 C. 围成的图形面积为 D. 若，，则的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，，若，则的值为________． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为分别是C上的两个动点，当最大时，，则C的离心率为________. 14. 新月联盟的标志中有一轮新月与栖息于其上的鸽子，其中新月部分可看作将圆被直线所截得的劣弧部分绕该直线向内折叠得到的图形，如图所示．若直线与该图形的边缘恰有4个交点，则的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆． （1）过点向圆作切线，求切线的方程； （2）若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 16. 在平面直角坐标系中，已知点，，，点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知，求的最大值； （3）若，求的面积． 17. 已知点，圆，以为直径的圆与相交于两点. （1）求的方程及的值； （2）若直线与平行，且上到的距离为1的点有且仅有两个，求直线截距的取值范围. 18. 如图，已知圆M：，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦，. （1）求证：为定值； （2）当时，求直线的方程和直线的方程. 19. 已知点为线段的中点，，点为圆上动点. （1）求点的轨迹曲线的方程； （2）过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点）， （i）求直线斜率的取值范围； （ii）直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $