精品解析：江苏南京东南实验学校2026-2027学年高二第一学期十月月考数学试卷

2026-2027学年第一学期高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分） 1. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆锥与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 3. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 6. 已知非零向量、满足在方向的投影向量是，且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 7. 我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. 3 D. 9 8. 椭圆与直线交于M，N两点，连接原点与线段中点所得直线的斜率为，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若复数，则（） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的复数根 10. 已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆的直径为 B. 若是圆上任一点，则的取值范围为 C. 若点在圆上，则直线的斜率为 D. 过点作圆的切线，则切线段长为4 11. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的蒙日圆的方程为， B. 对直线上任意一点，， C. 记点到直线的距离为，则的最小值为， D. 若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形面积的最大值为. 三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分） 12. 已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 13. 化简＝________． 14. 已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为______ 四、解答题（第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分） 15. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一，为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值并计算这100名游客的平均评分； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（保留两位小数）； （3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 16. 已知圆M过点，圆心M在直线上，且直线与圆M相切． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段的中点，求直线l的方程． 17. 在直三棱柱中，，，，，． （1）若平面，求的值； （2）设二面角与二面角的平面角分别为，若，求的值． 18. 已知、、分别为的内角、、的对边． （1）满足，，且，求； （2）在（1）的条件下，若，且的面积为，求的周长； （3）在锐角中，若，求的取值范围． 19. 在直角坐标系中，点，动点在直线的左侧，且到直线的距离恒为，记的轨迹为． （1）求的方程； （2）设不经过的直线的方程为，已知交于，两点，设，，且的值与的值无关． （i）求的值； （ii）是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分） 1. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，. 2. 已知圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆锥与球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知用球的半径表示圆锥的底面圆半径和高，分别求出圆锥与球的体积得到比值. 【详解】设球的半径为，则圆锥的底面半径为，高为， 所以圆锥的体积为，球的体积， 所以. 3. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用中心对称的坐标变换关系，将所求直线上点的对称点代入原直线方程，化简即可得到对称直线的方程． 【详解】设所求对称直线上任意一点的坐标为， 则该点关于点的对称点在原直线上， 根据中点坐标公式，可得：， 将代入原直线方程：， 整理得：， 因此所求对称直线方程为． 4. 已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得， 所以无论取多少，当时， 为 所以，以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 5. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A与B相互独立 D. 若A与B相互独立，则 【答案】B 【解析】 【分析】由互斥的独立事件的性质和概率逐项判断可得. 【详解】对于A，由互斥事件的加法公式可得，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，，即， 所以A与B相互独立，故C正确； 对于D，若A与B相互独立，则，故D正确. 故选：B. 6. 已知非零向量、满足在方向的投影向量是，且，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用即数量积为得到，再利用投影向量的计算公式即可计算与的夹角. 【详解】设与的夹角为，. 由，得，即， 因为为非零向量，所以. 又在方向的投影向量为，所以. 所以，解得. 又因为，所以. 7. 我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据轨迹方程的求法求出圆的方程，确定圆心坐标，进而可得，再利用基本不等式求解. 【详解】设， 因为，所以， 整理得：，表示以为圆心的圆， 又因为点P的轨迹关于直线对称， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值是3， 故选:C. 8. 椭圆与直线交于M，N两点，连接原点与线段中点所得直线的斜率为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用点差法可推出，设线段中点为，结合题意推出，，代入化简，即可得答案. 【详解】设，则， 两式相减得， 由已知椭圆与直线交于M，N两点，可知， 故，即， 设线段中点为，则，而， 连接原点与线段中点所得直线的斜率为，即， 故，即， 故选：A 二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若复数，则（） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的复数根 【答案】AC 【解析】 【详解】. 选项A：，正确. 选项B：的虚部为，不是，错误. 选项C：在复平面内对应点为，位于第四象限，正确. 选项D：将代入方程可得： ，故不是该方程的根，错误. 10. 已知圆及点，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆的直径为 B. 若是圆上任一点，则的取值范围为 C. 若点在圆上，则直线的斜率为 D. 过点作圆的切线，则切线段长为4 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，将圆化成标准方程为， 所以圆心，半径，直径为，故A正确； 对于B，，所以点在圆外， 所以，得，即的取值范围为，故B正确； 对于C，若点在圆上，则，解得，故， 所以直线的斜率为，故C正确； 对于D，切线段长为，故D错误. 11. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的蒙日圆的方程为， B. 对直线上任意一点，， C. 记点到直线的距离为，则的最小值为， D. 若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形面积的最大值为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据蒙日圆定义代入所过点的坐标即可判断A正确，取点可知，因此B错误，利用点共线特征可知当时，取得最小值再由点到直线的距离公式计算可得C正确，结合矩形与椭圆位置关系写出面积表达式并利用基本不等式计算可知D正确. 【详解】对于A，过点可作椭圆的两条互相垂直的切线：， 所以点在椭圆的蒙日圆上，因此蒙日圆方程为， 由，可得， 所以椭圆的蒙日圆的方程为，即A正确； 对于B，由直线的方程可知点在直线上， 又点满足蒙日圆方程，所以点在圆上， 当，恰为过点所作椭圆两条互相垂直的切线的两个切点时，，即B错误； 对于C，因为在椭圆上，当时，取得最小值，最小值为到直线的距离， 又到直线的距离为，，即C正确. 对于D，当矩形的四条边均与椭圆相切时，蒙日圆为矩形的外接圆， 所以矩形的对角线即为蒙日圆的直径， 设矩形的长和宽分别为，则, 所以矩形的面积， 当且仅当时，等号成立， 即矩形面积的最大值为，所以D正确. 三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分） 12. 已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】设所求椭圆的方程为． 将两点，的坐标代入，得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为． 13. 化简＝________． 【答案】 【解析】 【分析】分子可利用两角和的余弦化为，分母结合二倍角的正弦可化为，最后结合辅助角公式即可得结果. 【详解】∵原式= 故答案为. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数间的平方关系、二倍角的正弦及辅助角公式的应用，属于中档题． 14. 已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合椭圆定义可得，在中，由余弦定理可得，再利用二倍角的余弦公式可得，从而求出椭圆的离心率. 【详解】如图， 点在椭圆上，所以， 由，代入上式得， 在，， 又，所以， 即 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解． 四、解答题（第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分） 15. 黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一，为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求的值并计算这100名游客的平均评分； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（保留两位小数）； （3）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】（1） ，平均评分为84分 （2） 83.33 （3） 【解析】 【小问1详解】 根据题意可得， 即，解得. 这100名游客的平均评分为：. 【小问2详解】 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 所以40%分位数位于区间内.  设40%分位数为，则， 解得， 所以. 故估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数为83.33. 【小问3详解】 评分在[50,60)的频率为，评分在[60,70)的频率为. 两组频率之比为， 采用分层抽样共抽取6人，则在[50,60)内抽取人，记为； 在[60,70)内抽取人， 记为. 从这6人中随机抽取2人，所有可能的情况有： ，，，，， ，，，， ，，，，，，共15种， 其中选取的2人评分分别在[50,60)和[60,70)内各1人的情况有： ，，，，，，，，共8种. 故所求概率. 16. 已知圆M过点，圆心M在直线上，且直线与圆M相切． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段的中点，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）对于求圆的方程，我们需要确定圆心坐标和半径，根据已知条件，利用圆过的点、圆心所在直线以及直线与圆相切的关系来建立方程组求解圆心坐标和半径. （2）在求直线方程时，先根据中点关系设出点的坐标，再代入圆的方程求出点的坐标，然后分情况根据两点确定直线斜率求出直线方程. 【小问1详解】 首先设圆M的方程为。. 因为圆M过点，把点代入圆的方程可得①. 又因为圆心M在直线上，所以②. 由于直线与圆M相切，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的关系，可得③. 联立①②③求解：由②可得, 将代入①和③. 把代入①得， 展开可得，进一步展开得到. 把代入③得. 因为. 由，解得. 把代入得. 再把，代入①可得，所以. 所以圆M的方程为. 【小问2详解】 设，因A为线段BD的中点，根据中点坐标公式，所以， 因为A，B在圆M上，所以， 对第一个方程展开得， 即④， 对第二个方程展开得， 即⑤， 由④⑤得：， 展开得化简得，即， 把代入④得， 即， 解得或， 当时，；当时，， 当时，因为，此时直线垂直于轴，所以直线的方程为； 当时，由可得直线的斜率， 根据直线的点斜式方程，这里， 所以直线的方程为，整理得， ，即. 综上所得，直线的方程为或 17. 在直三棱柱中，，，，，． （1）若平面，求的值； （2）设二面角与二面角的平面角分别为，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，由线面平行的性质可得出，再结合中位线的性质可得出的值； （2）过点在平面内作，垂足为，连接，分析可知二面角和二面角的平面角分别为、求得，的长，法一：利用二倍角的正切公式可得，即可求出的值；法二：利用角平分线的性质可得，可求解. 【小问1详解】 连接交于点，连接． ∵平面，平面，平面平面， ∴． 又在直三棱柱中，侧面为平行四边形， ∴是的中点， ∴是的中点，∴. 【小问2详解】 过点在平面内作，垂足为，连接， ∵，，，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面， ∴平面， 又平面，∴，， ∴二面角和二面角的平面角分别为， 即，， ∵，，， ∴， ∴， 法一：当时，， 而， ∵，∴，解得或 又，∴． 法二：当时，为的角平分线，且， ∴， 又，∴． 18. 已知、、分别为的内角、、的对边． （1）满足，，且，求； （2）在（1）的条件下，若，且的面积为，求的周长； （3）在锐角中，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示列式，再利用正弦定理边化角求解即可； （2）因为，化简得到，结合余弦定理得到，所以周长为； （3）由，结合余弦定理，化简得， 再由正弦定理可得，化简得，则可得到，因为锐角得到B的范围，所以，所以的取值范围是. 【小问1详解】 由，，且， 所以，即， 化简整理得， 再由正弦定理得， 因为，， 所以，且，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为． 【小问3详解】 因为， 又由余弦定理， 所以， 化简得， 因为，即， 由正弦定理可得（*）， 又因为， 代入（*）化简得：， 即， 又因为，，则， 所以，即， 因是锐角三角形，故，解得， 由， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是. 19. 在直角坐标系中，点，动点在直线的左侧，且到直线的距离恒为，记的轨迹为． （1）求的方程； （2）设不经过的直线的方程为，已知交于，两点，设，，且的值与的值无关． （i）求的值； （ii）是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）不存在，若存在实数符合题设， 则， 所以， 因为， 所以， 在中，由正弦定理， 得， 易知，且，所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以，即， 由(1)可知，所以，， 故，，从而的方程为， 显然这与不经过矛盾，所以不存在符合题设的实数． 【解析】 【分析】（1）设，由已知，得，平方后整理即可求解； （2）（i）设，，由(1)可知，，得出，再根据韦达定理得出，即可求解； （ii）若存在实数符合题设，进而得出，根据正弦定理得出，进而得出的方程，即可说明理由． 【小问1详解】 设，由已知，得， 所以，两边平方，化简得的方程为． 【小问2详解】 (i)设，，由（1）可知，， 所以， 由得， 所以， 且，， 因此， 因为的值与无关， 所以，解得（负值舍去）． (ii)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $