28.3 相似多边形 讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

28.3 相似多边形（解析版） 2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 课本 P69–71 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 10 分钟 · 复习相似多边形 本部分共 3 题，限时 10 分钟，复习相似三角形与相似比。 第 1 题 如图所示的各组图形中，是相似图形的是______（填序号）． 【答案与解析】 【答案】②③ 【分析】明确相似图形的判定依据：形状相同，大小可以不同，对应角相等、对应边成比例．依次分析每组的两个图形：先判断形状是否完全一致，再看对应元素的特征是否匹配．如果两个图形满足形状相同，那么这组图形是相似图形． 【详解】①中两个圆形脸部，一个是微笑的上扬嘴形，一个是难过的下弯嘴型，形状不一致，不是相似图形； ②中的两个正五边形，形状完全相同，仅大小不同，符合相似图形的要求； ③中的两个标志，内部的斜向图案朝向虽有差异，但整体形状细节一致，是相似图形． 因此是相似图形的是②③． 第 2 题 用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（     ） A．周长 B．各边的长度 C．面积 D．各内角大小 【答案与解析】 【答案】D 【详解】解：用放大镜观察三角形相当于相似变换. ∵相似变换仅改变图形大小，不改变形状， ∴各内角大小不变. ∴各边长度、周长、面积均会按比例放大. 故答案为. 第 3 题 若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】A 【分析】根据题意求出两个相似多边形的一组对应边的比，根据相似多边形的性质得到答案． 【详解】解：由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为， ∴它们的相似比为． 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 理解相似多边形的定义：对应角相等、对应边成比例，会写相似式与相似比 ★★★★ 2 能由相似比求多边形的边与角（含用内角和求角） ★★★★ 3 会判断两个多边形是否相似，能说清“角相等”“边成比例”缺一不可 ★★★★ 4 掌握相似多边形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方 ★★★ 5 会在方格纸中画（或找出）与已知多边形相似的多边形 ★★★ ⭐ 学习重点 对应边成比例与对应角相等两个条件同时成立；相似比在周长与面积中的不同地位。 🔥 学习难点 “角相等”或“边成比例”单独出现时为什么不能判定相似；由面积比反求相似比要开方。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 一、相似多边形的定义与相似比 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，对应边的比叫做相似比。记作四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′，顶点必须按对应顺序书写。 相似比等于 1 时，两个多边形全等；反过来，全等的两个多边形相似比为 1。相似三角形是相似多边形的特殊情形。 （答案：写相似式时把对应顶点对齐，后面的对应边、对应角才不会错位——这一点和相似三角形完全一致。 🔑 二、判定相似多边形：两条都要查 判定两个多边形相似，必须同时满足“对应角相等”与“对应边成比例”，只满足一条都不行。 只有四个角对应相等不够：两个矩形的四个角都是 90°，但长宽比不同就不相似； 只有边依次成比例也不够：两个菱形的四条边之比都是 1，但内角不同就不相似； 常见的“一定相似”：两个正方形、两个等边三角形、两个正 n 边形（同 n）。 🔑 三、求相似多边形的边与角 求边：由相似比列出对应边的比例式，解方程；注意“最长边对最长边、最短边对最短边”。 求角：先用多边形内角和公式 (n－2)×180° 求出未知角，再由对应角相等转移过去。 （答案：四边形的内角和是 360°，这是例 1 求角的关键一步，别直接当成相似比去算。 🔑 四、相似多边形的周长与面积 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方——因为可以把多边形分割成三角形，逐个用相似三角形的结论。 已知相似比求面积比：直接平方； 已知面积比求相似比或周长比：先开方（取正根）。 🔑 五、方格纸中的相似多边形 画相似多边形：先数清各边占几格，再按相似比逐边缩放，斜边用勾股定理核对。 判断两个格点多边形是否相似：分别量出对应边（数格＋勾股定理），看比值是否相等，再核对对应角。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图把相似多边形的定义、判定与三类比串起来，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型一 相似多边形的定义与相似比 ✏ 题型模版 第1 步 先看两个多边形的顶点对应顺序，写出相似式； 第2 步 找出对应边（最长边对最长边），求比值得到相似比； 第3 步 若题目给的是面积或周长，先回到相似比再回答。 典例 1 四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 【答案与解析】 【答案】 【分析】首先确定两个相似四边形的对应最长边，因为相似多边形的对应边成比例，所以最长边是对应边．提取四边形ABCD的最长边，以及四边形的已知最长边．根据相似比的定义，即相似多边形对应边的比值，代入两条最长边的数值计算即可． 【详解】四边形的四边长分别是，，，， 四边形的最长边为， 四边形四边形，四边形的最长边是， 四边形与四边形的相似比是． 变式 1-1 如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】C 【详解】解：∵四边形和四边形相似， ∴它们的相似比是． 变式 1-2 下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案与解析】 【答案】D 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项是否一定相似． 【详解】解：A．两个等腰直角三角形的内角均为、、，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故A不符合题意； B．两个等边三角形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故C不符合题意； D．两个等腰梯形的底角不一定相等，各边比例也不一定相同，不一定满足相似条件，故不一定相似，故D符合题意． 变式 1-3 按要求解答 (1)任意两个正n（是大于或等于3的自然数）边形相似吗？ (2)任意两个菱形相似吗？为什么？ 【答案与解析】 【答案】(1) 任意两个正（是大于或等于3的自然数）边形相似 (2) 解：任意两个菱形不一定相似，理由如下， ∵菱形的四条边都相等， ∴任意两个菱形的对应边成比例， ∵菱形的内角不一定对应相等，例如一个菱形的内角为和，另一个菱形的内角为和，此时对应角不相等， ∴这两个菱形不相似，即任意两个菱形不一定相似． 【详解】（1）解：∵正边形的各内角相等，各边长度相等， ∴任意两个正边形的对应角相等，对应边成比例 ∴任意两个正边形相似． （2）略 📌 题型二 求相似多边形的边与角 ✏ 题型模版 第1 步 由相似式写出对应边成比例，列比例式求未知边； 第2 步 用多边形内角和减去已知角，求出未知角； 第3 步 由对应角相等把角转移到另一个多边形上。 典例 2 已知四边形四边形，，，，，，．求的度数及的长． 【答案与解析】 【答案】， 【分析】先根据相似多边形的性质得到，，再利用四边形的内角和为和比例性质求解即可． 【详解】解：四边形四边形， ，， ，． 变式 2-1 如图，四边形四边形，求x，y的值和的度数． 【答案与解析】 【答案】，， 【分析】根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， 由图可得,， ∴，． 变式 2-2 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为________． 【答案与解析】 【答案】 【分析】由相似多边形的性质得出，，再由四边形内角和为求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，， ∴． 变式 2-3 如图，六边形与六边形相似．求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 【答案与解析】 【答案】(1)； (2)，； (3)，，， 【分析】（1）对应边的比就是相似比； （2）利用相似多边形对应角相等，可求出结果； （3）利用相似多边形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：∵六边形与六边形相似，与是对应边， ∴ ，即相似比为． （2）解：∵六边形与六边形相似， ∴，， 又∵，， ∴，． （3）解：∵六边形与六边形相似， ∴． 由，，得， ∴． 由，，得， ∴． 由，，得， ∴． 由，，得， ∴． 即，，，． 【点睛】本题主要考查相似多边形性质，熟记相似多边形的性质是解题的关键． 📌 题型三 相似多边形的判定 ✏ 题型模版 第1 步 逐组核对对应角是否相等； 第2 步 逐组核对对应边是否成比例； 第3 步 两条都成立才能下“相似”的结论，任一条不成立就举反例说明。 典例 3 （多选题）下列各组四边形中是相似多边形的是（     ） A．邻边长为和的矩形与邻边长为和的矩形 B．有一个内角为的两个菱形 C．边长分别为厘米和厘米的两个菱形 D．两个高相等的平行四边形 【答案与解析】 【答案】AB 【分析】根据相似多边形的定义解答即可． 【详解】解：相似多边形需满足对应角相等，对应边成比例． A选项：两个矩形的内角均为直角，对应角相等， ∵第一个矩形邻边长为和，且， ∴第一个矩形是正方形， 第二个矩形邻边长为和，由可得， ∴第二个矩形也是正方形， 所有正方形对应角相等，对应边成比例，故这两个矩形是相似多边形，符合题意； B选项：菱形的四条边都相等，因此两个菱形的对应边成比例， ∵两个菱形都有一个内角为，根据菱形对角相等、邻角互补，可得两个菱形的四个内角对应相等， 故这两个菱形是相似多边形，符合题意； C选项：两个菱形的边长分别为厘米和厘米，对应边成比例，但内角不一定对应相等，故不一定是相似多边形，不符合题意； D选项：两个高相等的平行四边形，内角不一定对应相等，对应边也不一定成比例，故不一定是相似多边形，不符合题意． 变式 3-1 所有的菱形都相似吗？为什么？ 【答案与解析】 【答案】 不是所有的菱形都相似，理由如下： 因为任意两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，所以菱形不一定相似， 例如：一个菱形的内角为和，另一个菱形的内角为和，二者对应角不相等， ∴ 这两个菱形不相似， ∴ 不是所有的菱形都相似． 【分析】从相似多边形的两个判定条件入手，结合菱形的边、角性质验证所有菱形是否均满足相似要求． 【详解】略 变式 3-2 如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案与解析】 【答案】四边形与四边形相似．理由如下： ∵，，，， ∴，， 即，，， ∵和中，，， ∴， ∴，且， ∵，， ∴， ∴，且， ∴， 综上，四边形与四边形相似． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及相似多边形的判定，根据四边形的四个角分别对应相等，四条边对应成比例可得答案． 【详解】略 变式 3-3 图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由． (1) (2) 【答案与解析】 【答案】(1)解：相似，理由如下： ∵矩形的四个角均为90度， ∴两个矩形的对应角都相等， ∵，即两个矩形的长和宽的比相等， ∴两个矩形相似； (2)解：不相似，理由如下： ∵矩形的四个角均为90度， ∴两个矩形的对应角都相等， ∵，即两个矩形的长和宽的比不相等， ∴两个矩形不相似. 【分析】根据相似多边形的判定进行判断即可. 【详解】（1）略 （2）略 📌 题型四 相似多边形的周长与面积 ✏ 题型模版 第1 步 先求相似比 k； 第2 步 周长比＝k，面积比＝k²； 第3 步 已知面积比时先开方得 k，再算周长或边长。 典例 4 在四边形与四边形中，，若四边形的周长为，则四边形的周长为_________． 【答案与解析】 【答案】42 【详解】解：∵ ， ∴ 四边形与四边形的周长比为， 设四边形的周长为， 则， 解得 ． 则四边形的周长为． 变式 4-1 两个相似多边形的面积比为，其中较大的多边形的周长为，则较小的多边形的周长为______． 【答案与解析】 【答案】 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求得相似比，再根据相似多边形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴相似比为， ∴周长比为， ∵较大的多边形的周长为， ∴较小的多边形的周长为． 变式 4-2 已知矩形矩形，，，则的长为_________． 【答案与解析】 【答案】 3 【分析】利用相似多边形对应边成比例的性质，结合已知的对应边数量关系建立比例式，求解未知边长． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴两个矩形的对应边成比例，即 ∵ ∴ 将代入上述比例式，得 解得． 变式 4-3 将一张矩形纸片对折后得到的两个矩形与原矩形相似，则原矩形较长边与较短边的比为______． 【答案与解析】 【答案】 【详解】解：设原矩形的较长边为，较短边为，由题意得： ，即， ∴． 📌 题型五 方格纸中的相似多边形 ✏ 题型模版 第1 步 数格定边：把每条边折成横向与纵向格数，斜边用勾股定理算长； 第2 步 按相似比逐边缩放，确定新顶点的格点位置； 第3 步 画完核对：对应角是否相等、对应边之比是否都等于相似比。 典例 5 在的格点图中分别画出两个相似的三角形、四边形、五边形． 【答案与解析】 【答案】 【分析】根据相似图形的定义进行画图即可． 【详解】略． 变式 5-1 如图，在正方形网格图内，延长到点E，延长到点F，使，，以，为邻边作．与是相似图形吗？为什么？ 【答案与解析】 【答案】与是相似图形． 理由：如图， ∵四边形、四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴与是相似图形． 【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等，对应边成比例，以此作为解题的突破口．因为两个图形都是平行四边形，所以结合平行四边形对角相等、对边平行的性质，以及在上、在上的位置关系，判断对应角是否分别相等．再根据已知的、，结合平行四边形对边相等的性质，判断所有对应边的比是否相等．最后结合相似多边形的判定条件，得出两个图形是否相似的结论． 【详解】略． 变式 5-2 以正方形各边中点为顶点的四边形是正方形，求正方形与正方形的相似比． 【答案与解析】 【答案】 【分析】设原正方形边长，利用中点性质与勾股定理求出新正方形边长，根据相似比定义计算． 【详解】解：如图， 设正方形的边长为 ∵分别为正方形各边的中点， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ 在中，由勾股定理得 ∴正方形与正方形的相似比为． 变式 5-3 如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形．若矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，求纵向小路的宽度与横向小路的宽度的比值． 【答案与解析】 【答案】 【分析】利用相似多边形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵相对两条小路的宽度相等， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ， ， ， ∴小路的宽度x与y的比值为． 🚀 六、拓展提升（挑战题） 综合运用 · 提升能力 本部分共 2 题，需要综合运用判定与周长面积关系，鼓励先独立思考再对照解析。 挑战 1 根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． (1)阿明在学习了特殊四边形后，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①两个大小不同的菱形相似．（ 命题） ②两个大小不同的长方形相似．（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似． (3)如图2，四边形中，．与相交于点，过点作分别交．于点，．若四边形与四边形相似，求证：． 【答案与解析】 【答案】(1)假，假，真 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）依据相似四边形“角分别相等、边成比例”的定义，结合菱形、长方形、正方形的内角与边长比例特性直接判断真假； （2）通过连接对角线构造相似三角形，先证推导出角相等和边的比例关系，再证，最后得四边形对应角分别相等、对应边成比例，即可证明； （3）先由相似四边形得对应边成比例，设公共比值为，推出，再由，得到​，​，两式相除消去和，推出即，可得，解得，故． 【详解】（1）解：①假：菱形边成比例，但内角不一定相等（如菱形和菱形不相似）； ②假：长方形角相等，但边不一定成比例（如和长方形不相似）； ③真：正方形四个角都是，四条边都相等，必然满足“角分别相等、边成比例”； （2）证明：如图1中，连接， ∵，且， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，，， ， ∴四边形与四边形相似； （3）证明：∵四边形与四边形相似， ∴​， 设这个公共比值为，则，，， ∴， ∵， ∴，， ∴​，​， ∴，即， ∴即， ∴， ∵，， ∴两边同除以得，， ∴， ∴． 挑战 2 如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】A 【分析】根据中点定义得到线段倍数关系，然后利用矩形相似得到对应边成比例，再设未知数代入比例建立等式，最后化简计算求出线段比值． 【详解】解：，分别是，的中点， ． 矩形与矩形相似， ． 设，，则． 代入比例式： ， ． ， ． ． ✅ 七、出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 3 题，限时 15 分钟，巩固相似多边形的判定与三类比。 第 1 题 下列各组图形属于相似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】D 【详解】解：根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形， 项中一个是四边形，一个是三角形，形状不同，不是相似图形； 项中一个是五边形，一个是六边形，形状不同，不是相似图形； 项中一个是平行四边形，一个是正方形，对应角不相等，形状不同，不是相似图形； 项中两个图形形状相同，大小不同，是相似图形． 第 2 题 所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？ 【答案与解析】 【答案】（1）所有的矩形不一定都相似．∵ 矩形的四个角都是直角，∴ 任意两个矩形的对应角相等．取长为、宽为的矩形，与长为、宽为的矩形，二者长的比为，宽的比为，，即对应边不成比例，∴ 这两个矩形不相似，故不是所有矩形都相似． （2）所有的正方形都相似． ∵ 正方形的四个角都是直角，四条边长度相等， ∴ 任意两个正方形的对应角相等． 设两个正方形的边长分别为和（，）， 则它们的对应边的比均为，即对应边成比例， ∴ 所有的正方形都相似． 【分析】依据相似多边形的判定条件，分别验证矩形、正方形的对应角是否相等、对应边是否成比例，即可得出结论． 【详解】略 第 3 题 如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】A 【分析】根据相似多边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵， ∴． 🏠 八、课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 4 题，建议课后 20 分钟内完成。 第 1 题 如图所示的两个多边形相似吗？说说你的理由． 【答案与解析】 【答案】不相似，理由如下： ∵， 即对应边不成比例，且不确定角是否对应相等， ∴这两个多边形不相似． 【分析】根据相似多边形的定义解答，即各边成比例，且各角分别相等的多边形相似． 【详解】略 第 2 题 如图，一块矩形草坪长、宽，外围有等宽（宽度为）的小路． (1)内外两个矩形相似吗？ (2)要使内外两个矩形相似，相邻两条小路的宽度不相等，并且相对两条小路的宽度相等，仍保证外矩形的横向边为较长边，求相邻两条小路宽度的比值． 【答案与解析】 【答案】(1)不相似 (2)相邻两条小路宽度的比值为 【分析】（1）根据题意求出小路外边缘矩形的长和宽，根据相似多边形的判定定理计算进行判断即可． （2）设横向小路的宽度为，纵向小路的宽度为，根据两矩形相似得出比例式，求出相邻两条小路宽度的比值即可． 【详解】（1）解：小路内外边缘形成的两个矩形不相似， 由题意得，小路外边缘矩形的长、宽， ∵， ∴小路内外边缘形成的两个矩形不相似． （2）解：如图，设相邻两条小路的宽度分别是和． ∵相对两条小路的宽度相等， ，． ∵矩形与矩形相似， ， ， ， ∴相邻两条小路宽度的比值为． 第 3 题 如图所示的两个矩形是否相似？ 【答案与解析】 【答案】两个矩形不相似 【分析】先计算得到小矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，验证对应角与对应边的比例关系即可判断． 【详解】解：∵矩形的四个内角都是直角， ∴两个矩形的对应角相等； 由图可知，大矩形的长为20，宽为12， 计算得小矩形的长为，宽为， 所以，对应边的比值： ，， ∵，对应边不成比例， ∴两个矩形不相似． 第 4 题 学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A． B． C． D． 【答案与解析】 【答案】A 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的两个图形是相似图形，分别对A、B、C、D各选项的图形进行判断即可得答案. 【详解】解：A.设A选项图形的内边框长为，宽为，内外边框之间的宽为，则外边框长为，宽为， ∴内、外边框的边长比为：，， 当时，， ∴， 此时A选项图形内外边框的图形对应边不成比例，不是相似图形. 当时，， ∴， 此时A选项图形的内外边框的图形对应边成比例， ∵A选项图形的内外边框的图形是矩形， ∴A选项图形的内外边框的图形对应角相等， ∴此时A选项图形的内外边框的图形是相似图形， 综上所述，A选项图形的内、外边框的图形不一定相似，故A符合题意. B. 根据B选项图形的内、外边框的图形是正方形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴B选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴B选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故B不符合题意. C. 根据C选项图形的内、外边框的图形是等边三角形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴C选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴C选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故C不符合题意. D. 根据D选项图形的内、外边框的图形是圆，设内边框的半径为，内外边框之间的宽为，则外边框的半径为， ∴D选项图形的内、外边框的图形的周长比为：，对应角为，也相等， ∴D选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故D不符合题意. 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.3 相似多边形（原卷版） 2026—2027学年沪教版五四制2024新课标数学九年级上册 · 课本 P69–71 📝 一、入门测（课前诊断） 限时 10 分钟 · 复习相似多边形 本部分共 3 题，限时 10 分钟，复习相似三角形与相似比。 第 1 题 如图所示的各组图形中，是相似图形的是______（填序号）． 第 2 题 用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（     ） A．周长 B．各边的长度 C．面积 D．各内角大小 第 3 题 若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 🧭 二、课程导航 明确方向 · 有的放矢 🎯 学习目标 序号 学习目标（学完本讲，学生能够……） 重要程度 1 理解相似多边形的定义：对应角相等、对应边成比例，会写相似式与相似比 ★★★★ 2 能由相似比求多边形的边与角（含用内角和求角） ★★★★ 3 会判断两个多边形是否相似，能说清“角相等”“边成比例”缺一不可 ★★★★ 4 掌握相似多边形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方 ★★★ 5 会在方格纸中画（或找出）与已知多边形相似的多边形 ★★★ ⭐ 学习重点 对应边成比例与对应角相等两个条件同时成立；相似比在周长与面积中的不同地位。 🔥 学习难点 “角相等”或“边成比例”单独出现时为什么不能判定相似；由面积比反求相似比要开方。 📚 三、知识梳理 夯实基础 · 构建网络 🔑 一、相似多边形的定义与相似比 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，对应边的比叫做相似比。记作四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′，顶点必须按对应顺序书写。 相似比等于 1 时，两个多边形全等；反过来，全等的两个多边形相似比为 1。相似三角形是相似多边形的特殊情形。 🔑 二、判定相似多边形：两条都要查 判定两个多边形相似，必须同时满足“对应角相等”与“对应边成比例”，只满足一条都不行。 只有四个角对应相等不够：两个矩形的四个角都是 90°，但长宽比不同就不相似； 只有边依次成比例也不够：两个菱形的四条边之比都是 1，但内角不同就不相似； 常见的“一定相似”：两个正方形、两个等边三角形、两个正 n 边形（同 n）。 🔑 三、求相似多边形的边与角 求边：由相似比列出对应边的比例式，解方程；注意“最长边对最长边、最短边对最短边”。 求角：先用多边形内角和公式 (n－2)×180° 求出未知角，再由对应角相等转移过去。 🔑 四、相似多边形的周长与面积 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方——因为可以把多边形分割成三角形，逐个用相似三角形的结论。 已知相似比求面积比：直接平方； 已知面积比求相似比或周长比：先开方（取正根）。 🔑 五、方格纸中的相似多边形 画相似多边形：先数清各边占几格，再按相似比逐边缩放，斜边用勾股定理核对。 判断两个格点多边形是否相似：分别量出对应边（数格＋勾股定理），看比值是否相等，再核对对应角。 🧠 四、思维导图 左脑逻辑 · 右脑记忆 下图把相似多边形的定义、判定与三类比串起来，可结合课堂笔记补充实例。 图1 本讲思维导图 💡 五、典例精讲 例题引领 · 变式深化 📌 题型一 相似多边形的定义与相似比 ✏ 题型模版 第1 步 先看两个多边形的顶点对应顺序，写出相似式； 第2 步 找出对应边（最长边对最长边），求比值得到相似比； 第3 步 若题目给的是面积或周长，先回到相似比再回答。 典例 1 四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 变式 1-1 如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 变式 1-2 下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 变式 1-3 按要求解答 (1)任意两个正n（是大于或等于3的自然数）边形相似吗？ (2)任意两个菱形相似吗？为什么？ 📌 题型二 求相似多边形的边与角 ✏ 题型模版 第1 步 由相似式写出对应边成比例，列比例式求未知边； 第2 步 用多边形内角和减去已知角，求出未知角； 第3 步 由对应角相等把角转移到另一个多边形上。 典例 2 已知四边形四边形，，，，，，．求的度数及的长． 变式 2-1 如图，四边形四边形，求x，y的值和的度数． 变式 2-2 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为________． 变式 2-3 如图，六边形与六边形相似．求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 📌 题型三 相似多边形的判定 ✏ 题型模版 第1 步 逐组核对对应角是否相等； 第2 步 逐组核对对应边是否成比例； 第3 步 两条都成立才能下“相似”的结论，任一条不成立就举反例说明。 典例 3 （多选题）下列各组四边形中是相似多边形的是（     ） A．邻边长为和的矩形与邻边长为和的矩形 B．有一个内角为的两个菱形 C．边长分别为厘米和厘米的两个菱形 D．两个高相等的平行四边形 变式 3-1 所有的菱形都相似吗？为什么？ 变式 3-2 如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 变式 3-3 图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由． (1) (2) 📌 题型四 相似多边形的周长与面积 ✏ 题型模版 第1 步 先求相似比 k； 第2 步 周长比＝k，面积比＝k²； 第3 步 已知面积比时先开方得 k，再算周长或边长。 典例 4 在四边形与四边形中，，若四边形的周长为，则四边形的周长为_________． 变式 4-1 两个相似多边形的面积比为，其中较大的多边形的周长为，则较小的多边形的周长为______． 变式 4-2 已知矩形矩形，，，则的长为_________． 变式 4-3 将一张矩形纸片对折后得到的两个矩形与原矩形相似，则原矩形较长边与较短边的比为______． 📌 题型五 方格纸中的相似多边形 ✏ 题型模版 第1 步 数格定边：把每条边折成横向与纵向格数，斜边用勾股定理算长； 第2 步 按相似比逐边缩放，确定新顶点的格点位置； 第3 步 画完核对：对应角是否相等、对应边之比是否都等于相似比。 典例 5 在的格点图中分别画出两个相似的三角形、四边形、五边形． 变式 5-1 如图，在正方形网格图内，延长到点E，延长到点F，使，，以，为邻边作．与是相似图形吗？为什么？ 变式 5-2 以正方形各边中点为顶点的四边形是正方形，求正方形与正方形的相似比． 变式 5-3 如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形．若矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，求纵向小路的宽度与横向小路的宽度的比值． 🚀 六、拓展提升（挑战题） 综合运用 · 提升能力 本部分共 2 题，需要综合运用判定与周长面积关系，鼓励先独立思考再对照解析。 挑战 1 根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． (1)阿明在学习了特殊四边形后，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①两个大小不同的菱形相似．（ 命题） ②两个大小不同的长方形相似．（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似． (3)如图2，四边形中，．与相交于点，过点作分别交．于点，．若四边形与四边形相似，求证：． 挑战 2 如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（     ） A． B． C． D． ✅ 七、出门测（课后巩固） 限时 15 分钟 · 巩固提升 本部分共 3 题，限时 15 分钟，巩固相似多边形的判定与三类比。 第 1 题 下列各组图形属于相似图形的是（     ） A． B． C． D． 第 2 题 所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？ 第 3 题 如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 🏠 八、课后作业（巩固提升） 独立完成 · 夯实所学 本部分共 4 题，建议课后 20 分钟内完成。 第 1 题 如图所示的两个多边形相似吗？说说你的理由． 第 2 题 如图，一块矩形草坪长、宽，外围有等宽（宽度为）的小路． (1)内外两个矩形相似吗？ (2)要使内外两个矩形相似，相邻两条小路的宽度不相等，并且相对两条小路的宽度相等，仍保证外矩形的横向边为较长边，求相邻两条小路宽度的比值． 第 3 题 如图所示的两个矩形是否相似？ 第 4 题 学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. 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