第28章专题07 相似多边形与位似多边形（暑假自学讲义） 2026--2027学年沪教版九年级数学上册

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题07 相似多边形与位似多边形 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 相似多边形的判定与性质 题型2 位似图形的辨识 题型3 利用位似图形性质计算 题型4 位似图形的画图 · 理解相似多边形、相似比定义，掌握相似多边形的性质与判定； · 理解位似多边形的概念，分清相似与位似的关系； · 掌握平面直角坐标系中原点位似图形的坐标变化规律； · 会利用位似放大或缩小图形，结合相似进行计算、作图。 知识点讲解 1. 相似多边形 （1）定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似. （2）相似比 两个相似多边形的对应边的比值叫作相似比。 （3）性质 ①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例。 2. 位似多边形 （1） 基本性质 ①两个位似图形一定相似； ②所有对应顶点连线交于同一顶点O（位似中心）； ③对应边互相平行； （2）位似与相似的关系 相似包含着位似，但相似不一定是位似。 （3）平面直角坐标系中的位似规律（以原点为位似中心） ①两图形在原点同侧，位似比k为正；两图形在原点异侧，位似比k为负； ②当|k|>1时，利用位似放大；当|k|<1时，利用位似缩小； ③坐标规律： 原图形上点的坐标（x，y），相似比为k⇒位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. （4）位似图形的画图步骤 ①普通位似图形 首先，连接位似中心和原图各顶点并延长成射线； 然后，在射线上按位似比截取对应顶点； 最后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 ②以坐标原点为位似中心的位似图形 首先，按位似比计算各新顶点的坐标； 然后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 题型归纳 题型1 相似多边形的性质与判定 【例1】如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【例2】如图所示，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数． 【变式练习】 1．下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 2．下列图形中，一定是相似图形的是（   ）． A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 3．现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 4．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（     ） A．60 B．40 C．36 D．16 6．五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 7．如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 8．平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 9．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 10．在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 11．如图，将矩形沿线段翻折，使点恰好落在边上的点处，再沿边将矩形剪开，所得的另一个矩形和原来的矩形相似，则原来的矩形的宽与长的比值为______． 12.如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 题型2 位似图形的辨识 【例1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式练习】 1．下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 2．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 题型3 利用位似图形性质计算 【例1】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【例2】以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式练习】 1．如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，若点，则正六边形的周长为_________； 4．如图，和是位似图形，点O是它们的位似中心，若与的面积之比为，则的值为 _______． 5．如图，以点为位似中心的与的周长比为，则的值是多少？ 6．如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为_____． 题型4 位似图形的作图 【例1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点） (1)以点为位似中心，将放大到原来的倍，在第四象限内画出，则点的对应点的坐标为______； (2)______． 【变式练习】 1．位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：取一点P为位似中心，作出矩形，使它与已知矩形的相似比是，且与原矩形的组合图形位中心对称图形。 2．综合实践 (1)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是．联结、，如果把沿翻折，所得四边形恰为菱形，若在直线上存在点Q，使与相似，求出点Q的坐标．    (2)若（1）中点Q位于x轴上方，指出与是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的（点A，B，C的对应点分别是，，）； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出．使与位似，且相似比为，请写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是，，）； (3)请在图中画出与的位似中心M，并写出点M的坐标． 过关练习 一、单选题 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 2．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若，则的长为（    ） A．16 B．12 C．8 D．6 4．如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（ ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 6．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 7．纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），若轴，点的坐标为，与的相似比为，则点的坐标为____________． 10．如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若点，，则和的相似比为___________． 11．我们定义：如果一个图形上的点和另一个图形上的点A，B，…，，P分别对应，并且满足：（1）直线都经过同一点O；（2），那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比，如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，如果点，那么点的坐标为_______．    12．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为______． 13．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 14．如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 15．按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有______． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 16．下图是用12个相似的直角三角形组成的图案.    （1）与位似的三角形是______； （2）已知的面积是3，则的面积为______． 三、解答题 17．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 18．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为； (2)以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出． 19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点，点的坐标为． (1)求证：； (2)把向右平移6个单位长度得到，画出平移后的三角形，并判断与是否位似，如果是，请写出位似中心的坐标，如果不是，请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题：    (1)绕点旋转后得到，请画出 (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为； (3)若点为轴上一点，且知是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标_____； 21．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 22．综合实践 阅读教材内容 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．    图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”） (2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．    ①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式； ②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题07 相似多边形与位似多边形 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 相似多边形的判定与性质 题型2 位似图形的辨识 题型3 利用位似图形性质计算 题型4 位似图形的画图 · 理解相似多边形、相似比定义，掌握相似多边形的性质与判定； · 理解位似多边形的概念，分清相似与位似的关系； · 掌握平面直角坐标系中原点位似图形的坐标变化规律； · 会利用位似放大或缩小图形，结合相似进行计算、作图. 知识点讲解 1. 相似多边形 （1）定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似. （2）相似比 两个相似多边形的对应边的比值叫作相似比。 （3）性质 ①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例。 2. 位似多边形 （1） 基本性质 ①两个位似图形一定相似； ②所有对应顶点连线交于同一顶点O（位似中心）； ③对应边互相平行； （2）位似与相似的关系 相似包含着位似，但相似不一定是位似。 （3）平面直角坐标系中的位似规律（以原点为位似中心） ①两图形在原点同侧，位似比k为正；两图形在原点异侧，位似比k为负； ②当|k|>1时，利用位似放大；当|k|<1时，利用位似缩小； ③坐标规律： 原图形上点的坐标（x，y），相似比为k⇒位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. （4）位似图形的画图步骤 ①普通位似图形 首先，连接位似中心和原图各顶点并延长作射线； 然后，在射线上按位似比截取对应顶点； 最后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 ②以坐标原点为位似中心的位似图形 首先，按位似比计算各新顶点的坐标； 然后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 题型归纳 题型1 相似多边形的性质与判定 【例1】如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】不相似，理由见解析 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，灵活运用相似多边形的对应边成比例这一判定定理是解题的关键．先根据边框宽度计算出内边缘矩形的长和宽，再分别计算内外矩形对应边的比值，通过判断比值是否相等来确定两个矩形是否相似． 【详解】解：不相似，理由： ， ，， ， ，， ， 不相似． 【例2】如图所示，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了相似多边形的性质； 根据相似多边形的对应边成比例，对应角相等，以及四边形内角和定理计算即可． 【详解】解：四边形与四边形相似， ， ，， 又， ， 即． 【变式练习】 1．下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． 2．下列图形中，一定是相似图形的是（   ）． A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】对应角相等，对应边成比例的两个图形是相似图形，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A ：两个矩形对应角都为直角相等，但对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项B ：两个菱形对应边一定成比例，但对应角不一定相等，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项C ：两个三角形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项D ：两个正方形的所有内角都是，对应角相等，且所有对应边的比值相等，即对应边成比例，因此一定是相似图形，符合要求． 3．现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的判定，掌握好相关知识是关键． 判断矩形相似需比较长宽比是否相等，通过计算各矩形的长宽比进行判断． 【详解】解：矩形甲的长宽比为，矩形乙的长宽比为，矩形丙的长宽比为， ∵，且矩形各内角都是， ∴甲、丙相似，和乙不相似． 故选：C． 4．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 5．两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（     ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【分析】利用相似多边形周长比等于相似比得到两个多边形的周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为，相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为， 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为， 故选：A． 6．五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算面积比． 【详解】解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比, ∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方, ∴两面国旗的面积比为． 7．如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似多边形的性质、折叠的性质，设直线交于点，交于点，由折叠的性质并结合矩形的性质可得，再由矩形矩形，得出，即，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：设直线交于点，交于点， ， 由矩形的性质可得：， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 8．平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知对应边长度和原平行四边形面积，即可求出目标平行四边形的面积. 【详解】解：平行四边形与平行四边形相似，，的对应边， 相似比为， 由相似多边形面积比等于相似比的平方，得：， ， ， 解得. 9．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 【答案】90 【分析】先说明大风筝和小风筝相似，且相似比为，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为， ∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， ∴大风筝较短的那条对角线长度为． 10．在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 【答案】8 【分析】原矩形的长宽之比为，根据相似多边形的性质可知，留下的矩形长宽之比也为，据此即可求解． 【详解】解：原矩形的长宽之比为， ∵留下的矩形与矩形相似， ∴留下的矩形长宽之比为， 由图可知，留下的矩形的长为， ∴留下的矩形的宽为， ∴留下的矩形的面积为． 11．如图，将矩形沿线段翻折，使点恰好落在边上的点处，再沿边将矩形剪开，所得的另一个矩形和原来的矩形相似，则原来的矩形的宽与长的比值为______． 【答案】 【分析】根据翻折变换的性质得到，根据相似多边形的性质得到比例式，整理得到一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知，， 则， ∵矩形和矩形相似， ∴，即， 整理得，， 解得，（负值已舍去）， ∴原来的矩形的宽与长的比值为． 12.如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【分析】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 内外矩形的对应角相等，所以当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可． 【详解】解：当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 解得； 答：当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 题型2 位似图形的辨识 【例1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 根据位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 故选：C． 【变式练习】 1．下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可． 【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形； 图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形； 图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形； 图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形， 故选：A． 2．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 题型3 利用位似图形性质计算 【例1】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了位似的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：与位似， ． ． 的面积为4， 故选：D． 【例2】以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或． 位似变换中，以原点O为位似中心，放大倍数为2时，对应点坐标可能同向或反向，因此有两种情况，据此求解即可． 【详解】解：∵ 位似中心O为原点，位似比为2， ∴ 点的对应点坐标满足：或 ， ∴ 坐标为或， 故选A． 【变式练习】 1．如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的面积之比等于位似比的平方，据此可得答案． 【详解】解：∵有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是， ∴与的面积之比是， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算，可得答案． 【详解】解：以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标为 或，即或， 故选：C． 3．如图，正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，若点，则正六边形的周长为_________； 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．连接，由题意得，则有，，，进而可得，，然后可求，最后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴正六边形的周长为； 故答案为：． 4．如图，和是位似图形，点O是它们的位似中心，若与的面积之比为，则的值为 _______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质得到，证明，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵和是位似图形， ∴，， ∵与的面积之比为， ∴与的相似比为，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，以点为位似中心的与的周长比为，则的值是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，由位似图形的性质可得，，且相似比，再由得到，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，与的周长比为， ，，且相似比， ， ， ． 6. 如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标系下的位似．理解并掌握位似图形的定义，是解题的关键． 根据位似图形的定义，得到，求出位似比，即可得，求解即可． 【详解】解：∵点的坐标分别为、， ∴， ∵四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴， 故答案为：． 题型4 位似图形的作图 【例1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点） (1)以点为位似中心，将放大到原来的倍，在第四象限内画出，则点的对应点的坐标为______； (2)______． 【答案】(1)画图见解析，； (2)． 【分析】本题考查了位似变换，画位似图形，相似三角形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． （）根据位似变换的性质解答即可求解； （）根据位似图形和相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ∴点， 故答案为：； （2）解：∵点为位似中心，将放大到原来的倍， ∴与的相似比为， ∴， 故答案为：． 【变式练习】 1．位似图形：如图，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点、、…、、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． (1)下列各图，是位似图形的有______ (2)①由（1）可知，位似图形______相似图形，相似图形______位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图，，下列说法不正确的是（   ） A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为 D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 (3)请作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：取一点P为位似中心，作出矩形，使它与已知矩形的相似比是，且与原矩形的组合图形位中心对称图形。 【答案】(1) (2)①一定是，不一定是；②C (3)图见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键： （1）根据位似图形的定义，进行判断即可； （2）①根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；②根据位似图形和位似比的定义进行判断即可； （3）连接，交于点，作线段的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径，画弧，分别交于点，则矩形即为所求． 【详解】（1）解：由题意，可知：为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵， ∴， 又∵对应点和对应点的连线交于点， ∴两个三角形是位似图形，点为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故选：C； （3）如图，矩形即为所求 由作图可知：， ∴矩形与矩形位似，位似中心为，且相似比为． 2．综合实践 (1)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是．联结、，如果把沿翻折，所得四边形恰为菱形，若在直线上存在点Q，使与相似，求出点Q的坐标．    (2)若（1）中点Q位于x轴上方，指出与是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 【答案】 (1)或， (2)是位似三角形，位似中心为点 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，位似图形的定义．理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据菱形性质可得，垂直平分线，由此求出点，再根据与相似可得对应关系为，由此得出对应相等比，继而求出，得出点Q的坐标， （32）根据定义判断它们的对应边平行（或共线）且对应顶点所在的直线相交于一点，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接交轴于点，交轴于点； ∵ 四边形恰为菱形， ∴，垂直平分线， ∵点B的坐标为，， ∴点、的横坐标为， 又∵点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是． ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴直线垂直平分， ∴， 如图，当在第一象限时，与相似，即， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 当在第四象限时，即点为关于轴对称点， 综上所述：点为或， （2）和为位似三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵、、在同一直线上，、、在同一直线上， ∴与是位似三角形，位似中心的坐标为点． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的（点A，B，C的对应点分别是，，）； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出．使与位似，且相似比为，请写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是，，）； (3)请在图中画出与的位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，的坐标为 (3)作图见解析，位似中心M的坐标为 【分析】本题考查了图形的平移变换、位似变换及位似中心的确定，求一次函数的解析式． （1）根据“左减右加，上加下减”计算平移后各点坐标，再描点作图即可； （2）以原点为位似中心，相似比且在y轴右侧，通过原坐标乘以2得到对应点坐标； （3）连接对应点连线，其交点即为位似中心，通过计算确定位似中心的坐标． 【详解】（1）解：根据“左减右加，上加下减”计算平移后各点坐标， 向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 将向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 描点连接得． （2）解：以原点O为位似中心，相似比且在y轴右侧，的对应点坐标为． 描点连接得（见上图）， 故点的坐标为． （3）解：作射线、、，交点即为位似中心M（见上图）． 设直线的解析式为， 将和代入解析式， 得到方程组：， 解方程组得，代入得， 因此，直线的解析式为， ∵，，故直线为， 联立求解得． ∴位似中心M的坐标为． 过关练习 一、单选题 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【答案】D 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 2．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似的两图形必须是相似形且对应点的连线都经过同一点、对应边平行或共线是解题的关键． 根据位似图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中两个图形中是位似图形；选项C中两个图形中不是位似图形． 故选：C． 3．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若，则的长为（    ） A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 4．如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据位似比计算即可． 【详解】解：∵点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为． 故选：B ． 5．如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（ ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得到位似比，，进而得到，根据相似比得到两个三角形的面积比即可． 【详解】解：以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ，，点、、三点在同一条直线上， ， ；则选项B和C正确； ， ， ， 则选项A、B、C正确，D错误； 故选：D． 6．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查相似图形，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键；因此此题可根据相似图形的定义进行排除选项即可． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件． 故选：B． 7．纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，通过设大长方形的长和宽，利用相似多边形对应边成比例的性质列方程求解相似比即可． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，则折叠后小长方形的长为，宽为， ∵大长方形与小长方形相似 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴大长方形与小长方形的相似比为． 故选C． 8．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，正方形和矩形的性质，设，根据相似多边形的性质，列出比例式求出的值，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 设， 矩形矩形，， ． ， 或（舍弃）， ， 故选：． 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），若轴，点的坐标为，与的相似比为，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据与关于原点位似，与的相似比为，得，，因为点在第一象限，所以点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），与的相似比为， ∴ ∵点的坐标为， ∴，， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为． 10．如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若点，，则和的相似比为___________． 【答案】 【分析】本题考查位似的概念，根据点坐标求出，的值，相似比等于对应边之比． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵由以原点为位似中心放大后得到， ∴与为对应边， ∴和的相似比为． 故答案为：． 11．我们定义：如果一个图形上的点和另一个图形上的点A，B，…，，P分别对应，并且满足：（1）直线都经过同一点O；（2），那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心，k叫做位似比，如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，如果点，那么点的坐标为_______．    【答案】 【分析】根据位似图形的定义，得到，求出位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标系下的位似．理解并掌握位似图形的定义，是解题的关键． 12．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似的定义、相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．由题意可得，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片， ∴， ∵的面积为6， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 13．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 14．如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先根据位似图形的性质得，且，即可求出 ，进而得出，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵和是以点A为位似中心的位似图形，且位似比是， ∴， ∴，． ∵，正方形的边长为1， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 15．按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有______． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，对应的周长的比等于相似比． 【详解】解：如图符合位似图形的定义， ∴①与是位似图形， 正确； ∵位似是相似的特殊形式， ∴②与是相似图形， 正确； ∴③与周长之比等于相似比为，正确； ∴④与的面积之比等于相似比的平方为， 错误； ∴正确的为：①②③． 故答案为：①②③． 16．下图是用12个相似的直角三角形组成的图案.    （1）与位似的三角形是______； （2）已知的面积是3，则的面积为______． 【答案】 4 【分析】（1）先根据垂直的定义和直角的性质即可解答； （2）先说明，设，则、，由可得；再设，则、，即，然后运用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴， 故答案为． ∵12个相似的直角三角形， ∴, ∴， 设，则、， ∵ ∴ 再设，则、， ∴，即 ∴ 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了位似的判定、直角三角形的性质、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键 三、解答题 17．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （）根据相似四边形的性质求解即可． 【小问1】 解：四边形与四边形相似， ， ． 【小问2】 解：∵四边形与四边形相似， ， ， 解得． 18．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为； (2)以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出的对应点，然后顺次连接即可； （2）直接利用旋转的性质得出对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． 19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点，点的坐标为． (1)求证：； (2)把向右平移6个单位长度得到，画出平移后的三角形，并判断与是否位似，如果是，请写出位似中心的坐标，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，与位似，位似中心坐标为 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，位似图形的判定，勾股定理： （1）根据勾股定理求出，的长，可得到，即可求证； （2）根据平移的性质可得到，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ， 即， ． （2）解：如图所示，即为所求， 与位似， 位似中心坐标为． 20．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题：    (1)绕点旋转后得到，请画出 (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为； (3)若点为轴上一点，且知是以为腰的等腰三角形，请写出符合条件的所有点的坐标_____； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意可先得出点A、B、C关于原点对称的点； （2）点为位似中心，按位似比为即可求解： （3）分别以点A、C为圆心，长为半径画弧与轴交点即可求解． 本题主要考查点的坐标关于原点对称,位似图形及等腰三角形的定义，熟练掌握点的坐标关于原点对称及等腰三角形的定义是解题关键． 【详解】（1）解：由题可得，如图所示：    （2）解：由题可得，如图所示：    （3）解：由题意得：,,    21．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图，位似图形的性质，求格点三角形的面积，熟练掌握位似图形的作图及位似图形的性质是解题的关键． （1）连接，，根据位似图形的性质，即知两线段的交点P即为所求； （2）由图可直接得到点P的坐标；根据位似图形的性质，即可求得与的面积比；用正方形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据位似图形的性质，分别取，，的中点，，，连接，，即可． 【详解】（1）解：如图，点P就是位似中心； ； （2）解：由图可知，点P的坐标为； 根据图形可知，，， 与关于点P位似， 与的面积比为， ． 故答案为：；；． （3）解：如图，就是所求作的三角形． 22．综合实践 阅读教材内容 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．    图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”） (2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．    ①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式； ②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由． 【答案】(1)P；位似；相似 (2)①图形见解析；；②和为位似三角形，理由见解析 【分析】（1）根据位似图形的定义，即可求解； （2）①根据位似图形的定义，画出图形，再求出、的坐标，即可求解；②过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，联立求出点M，N的坐标，可得，从而得到，进而得到，再由点的坐标为，点A的坐标为，可得，然后根据新定义，即可求解． 【详解】（1）解：在上图中位似中心是点P；位似多边形是特殊的相似多边形． 故答案为：P；位似；相似 （2）解：①如图，即为所求；    令，则， 解得：或0， ∴点A的坐标为， 设点B的坐标为， ∴，解得：或0， ∴点B的坐标为， ∵以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设经过O、、三点的抛物线的表达式为， 把点，，代入得： ，解得：， ∴经过O、、三点的抛物线的表达式为， ②和为位似三角形，理由如下： 如图，过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，    联立得： ，解得：或， ∴点M的坐标为， ∴，，， 同理点N的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴和为位似三角形． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $