专题28.3-4 相似多边形和位似多边形（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦相似多边形与位似多边形核心知识点，系统梳理相似多边形的定义、性质及判定，衔接位似多边形的特殊性质、与相似的关系、坐标系中的坐标规律及作图方法，构建递进式知识支架。 资料通过即学即练及时巩固，典例与变式训练发展推理能力，综合实践题提升应用意识，助力学生用数学思维分析问题、用数学眼光观察图形，课中便于教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺。

专题28.3-4 相似多边形与位似多边形 教学目标 理解相似多边形、相似比定义，掌握相似多边形的性质与判定； 理解位似多边形的概念，分清相似与位似的关系； 掌握平面直角坐标系中原点位似图形的坐标变化规律； 会利用位似放大或缩小图形，结合相似进行计算、作图。 教学重难点 重点： 理解并掌握相似多边形、位似多边形的定义、性质、判定； 难点： 利用位似放大或缩小图形，结合相似进行计算、作图。 知识点01 相似多边形 1. 定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似。两个相似多边形的对应边的比值叫作相似比。 2. 性质 相似多边形对应角相等，对应边成比例。 核心点：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例。 【即学即练】 1. 下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． 2. 如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】不相似，理由见解析 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，灵活运用相似多边形的对应边成比例这一判定定理是解题的关键．先根据边框宽度计算出内边缘矩形的长和宽，再分别计算内外矩形对应边的比值，通过判断比值是否相等来确定两个矩形是否相似． 【详解】解：不相似，理由： ， ，， ， ，， ， 不相似． 知识点0 2 位似多边形 1. 基本性质 ①两个位似图形一定相似； ②所有对应顶点连线交于同一顶点O（位似中心）； ③对应边互相平行； 2. 位似与相似的关系 相似包含着位似，但相似不一定是位似。 3. 平面直角坐标系中的位似规律（以原点为位似中心） ①两图形在原点同侧，位似比k为正；两图形在原点异侧，位似比k为负； ②当|k|>1时，利用位似放大；当|k|<1时，利用位似缩小； ③坐标规律： 原图形上点的坐标（x，y），相似比为k⇒位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 4. 位似图形的画图步骤 ①普通位似图形 首先，连接位似中心和原图各顶点并延长作射线； 然后，在射线上按位似比截取对应顶点； 最后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 ②以坐标原点为位似中心的位似图形 首先，按位似比计算各新顶点的坐标； 然后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 【即学即练】 1. 下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可． 【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形； 图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形； 图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形； 图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形， 故选：A． 2．综合实践 (1)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是．联结、，如果把沿翻折，所得四边形恰为菱形，若在直线上存在点Q，使与相似，求出点Q的坐标．    (2)若（1）中点Q位于x轴上方，指出与是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 【答案】 (1)或， (2)是位似三角形，位似中心为点 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，位似图形的定义．理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据菱形性质可得，垂直平分线，由此求出点，再根据与相似可得对应关系为，由此得出对应相等比，继而求出，得出点Q的坐标， （32）根据定义判断它们的对应边平行（或共线）且对应顶点所在的直线相交于一点，即可得出结论． 【详解】（1）解：连接交轴于点，交轴于点； ∵ 四边形恰为菱形， ∴，垂直平分线， ∵点B的坐标为，， ∴点、的横坐标为， 又∵点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是． ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴直线垂直平分， ∴， 如图，当在第一象限时，与相似，即， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 当在第四象限时，即点为关于轴对称点， 综上所述：点为或， （2）和为位似三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵、、在同一直线上，、、在同一直线上， ∴与是位似三角形，位似中心的坐标为点． 题型01 相似多边形的辨析 【典例1】下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查相似图形的判定，需依据相似图形“对应角相等、对应边成比例”的定义逐项分析判断． 【详解】解： ∵相似图形的定义为对应角相等且对应边成比例． A选项：两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． B选项：两个正方形的每个内角均为，对应角相等，且各边都相等，对应边的比为定值， ∴一定相似． C选项：两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例， ∴不一定相似． D选项：两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． 故选：B． 【变式1】命题：“任意两个矩形都相似”是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及相似多边形的定义、矩形的性质，根据相似多边形的定义，判断对应角是否相等且对应边是否成比例． 【详解】解：任意两个矩形的对应角都相等（均为直角），但对应边不一定成比例，例如一个矩形长为2、宽为3，另一个矩形长为4、宽为5，对应边比分别为和，因此不相似，故该命题是假命题． 故答案为：假． 【变式2】下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据多边形相似的定义判断即可． 【详解】解：①两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故任意的矩形都相似是假命题； ②两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故任意的菱形都相似是假命题； ③任意的正方形都相似，是真命题； ④任意的圆都相似，是真命题； 故答案为：③④． 【变式3】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 【变式4】在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的定义，相似三角形的判定，根据图形的变换方式，以及相似图形的定义，相似三角形的判定，分析甲、乙两同学的观点，即可解题． 【详解】解：如图： 由题知，，延长， 则，， ， 同理可得，， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知，， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 题型02 相似多边形的性质和判定 【典例1】定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形． (1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：； (2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ， ，， 又∵， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：∵四边形是梯形，， 又∵， ∴， ∴，，，， ∵梯形中，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴梯形和都是等腰梯形， ∴，， 如图，作交于G，作交于H， 则四边形和 都是平行四边形， ∴，，，， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据等比性质可得，即， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先证四边形和四边形的四个角都是直角，从而可得四边形和四边形都是矩形，再证这两个矩形的四组对应边成比例即可得证． （2）由四边形是梯形，，，可得，从而可得梯形和的四个角对应相等．梯形是等腰梯形可推出梯形和都是等腰梯形，则，．作交于G，作交于H，则可得则四边形和 都是平行四边形，进而得，从而可得，结合和等比性质可得，则可得． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】下列命题中，真命题是（    ） A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似 B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似 C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似 D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似行的判定，掌握各角相等，各边成比例的图形是相似形是解题的关键． 【详解】解：A． 如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似，是真命题； B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形不一定相似，是因为没有说明相等的角是顶角还是底角，是假命题； C． 如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，缺少各边成比例，那么这两个梯形不一定相似，是假命题； D． 如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，缺少各边成比例，那么这两个梯形不一定相似，是假命题； 故选A． 【变式2】在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 【答案】8 【分析】原矩形的长宽之比为，根据相似多边形的性质可知，留下的矩形长宽之比也为，据此即可求解． 【详解】解：原矩形的长宽之比为， ∵留下的矩形与矩形相似， ∴留下的矩形长宽之比为， 由图可知，留下的矩形的长为， ∴留下的矩形的宽为， ∴留下的矩形的面积为． 【变式3】如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【分析】本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 内外矩形的对应角相等，所以当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可． 【详解】解：当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 解得； 答：当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【变式4】问题解决 （1）已知：如图1, 是以 为斜边的等腰直角三角形, 以 为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形． 求证：四边形 与四边形 相似． （2）已知：如图2，在中，点分别在边上，相交于点,点在的延长线上，联结如果四边形与四边形相似，且点分别对应． 求证：． 【分析】（1）利用、、是等腰直角三角形，求证两个四边形的对应角相等，设出，利用勾股定理求出两个四边形的边长，然后即可得到四组对应边的比相等，最后即可证明． （2）利用四边形的相似，先得出对应边的比和对应角相等，进而证明，得到 ，利用相似条件，求证，得到，再根据平行关系，，进而得到，最后即可证明结论． 【详解】（1）解：由题意可知：、、是等腰直角三角形， ，， ，，， 故有,， 设， 在，由勾股定理可知：， 在中，由勾股定理可知：， 在中，由勾股定理可知：， 在四边形 与四边形 中，，，，，且， 四边形 与四边形 相似． （2）解：四边形与四边形相似， ，， 在与中，，， ， ， 在与中，，， ， ，， ， ， 在与中，，， ， ， ， ． 题型03 位似多边形的辨析 【典例1】下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可． 【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形； 图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形； 图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形； 图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形， 故选：A． 【变式1】下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 【变式2】下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 【变式3】图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、由位似图形可知， ， ，故选项A正确，不符合题目要求； B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求； C、由位似图形可知，相似比为， ， 、、三点共线， ，故选项C错误，符合题目要求； D、由位似图形可知，相似比为， ，故选项D正确，不符合题目要求． 【变式4】如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 【答案】B 【分析】本题考查位似图形与相似图形的关系、位似图形的性质（对应边平行、周长比等于位似比），运用逐一分析验证法．解题关键是明确位似图形是特殊的相似图形，且位似图形具有对应边平行、对应顶点连线交于位似中心等性质；易错点是混淆相似图形与位似图形的关系（误认为相似图形一定是位似图形）． 分别根据位似图形与相似图形的关系对四个选项进行分析判断即可． 【详解】选项A：位似图形是特殊的相似图形，所以若与是位似图形，则这两个三角形相似，A正确． 选项B：相似图形不一定是位似图形，位似图形需要对应顶点的连线相交于一点（位似中心），而相似图形不一定满足这一条件，所以若与是相似图形，不一定是位似图形，B错误． 选项C：若、、分别是、、的中点，则与是位似图形，位似比为，根据相似三角形的性质，周长比等于位似比，所以与的周长比为，C正确． 选项D：若与是位似图形，根据位似图形的性质，对应边平行，所以，D正确． 故选：B． 题型04 画位似图形 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点） 以点为位似中心，将放大到原来的倍，在第四象限内画出． 【答案】画图见解析； 【变式1】在的网格图中，已知和点． 以点M为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； 【答案】如图，即为所求： 【变式2】在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 【答案】(1)如图，AC中点； (2) 【详解】解：（1）略 （2）由对应，得位似比为2，将各顶点坐标放大2倍，再取相反数，顺次连接即可得到．图略. 【变式3】在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） 以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； 【答案】如图，即为所求 【变式4】在边长为的正方形的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． ()以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）． (2)用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留画图痕迹） 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：过点、作，且满足，，连接，与的交点即为所求的点， ， ． 题型05 利用位似图形的性质计算 【典例1】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了位似的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：与位似， ． ． 的面积为4， 故选：D． 【变式1】如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的面积之比等于位似比的平方，据此可得答案． 【详解】解：∵有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是， ∴与的面积之比是， 故选：B． 【变式2】如图，正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，若点，则正六边形的周长为_________； 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．连接，由题意得，则有，，，进而可得，，然后可求，最后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴正六边形的周长为； 故答案为：． 【变式3】如图，和是位似图形，点O是它们的位似中心，若与的面积之比为，则的值为 _______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质得到，证明，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵和是位似图形， ∴，， ∵与的面积之比为， ∴与的相似比为，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】如图，以点为位似中心的与的周长比为，则的值是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，由位似图形的性质可得，，且相似比，再由得到，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，与的周长比为， ，，且相似比， ， ， ． 题型05 在直角坐标系中求位似图形中对应点的坐标 【典例1】如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； 【变式1】在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 【答案】或 【分析】以原点为位似中心，相似比为时，位似图形对应点的坐标为原对应点坐标乘以或． 【详解】解：以原点为位似中心，把按相似比为放大得到，点的坐标为， 的坐标为或， 即或． 【变式2】如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 【变式3】正方形如图所示，以原点O为位似中心，在第一象限内把正方形的各边缩小为原来的，则点C的对应点的坐标为_____________． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质及点、的坐标求出点的坐标，再根据位似变换的性质：以原点为位似中心，相似比为，且变换后的图形与原图形在位似中心同侧，则对应点的坐标为原坐标乘以，计算即可 【详解】解：由图可知， ∴ ∵四边形是正方形 ∴，且轴 ∴点的坐标为 ∵以原点为位似中心，在第一象限内把正方形的各边缩小为原来的 ∴位似比 ∴点的坐标为 ，即． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的（点A，B，C的对应点分别是，，）； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出．使与位似，且相似比为，请写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是，，）； (3)请在图中画出与的位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，的坐标为 (3)作图见解析，位似中心M的坐标为 【分析】本题考查了图形的平移变换、位似变换及位似中心的确定，求一次函数的解析式． （1）根据“左减右加，上加下减”计算平移后各点坐标，再描点作图即可； （2）以原点为位似中心，相似比且在y轴右侧，通过原坐标乘以2得到对应点坐标； （3）连接对应点连线，其交点即为位似中心，通过计算确定位似中心的坐标． 【详解】（1）解：根据“左减右加，上加下减”计算平移后各点坐标， 向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 将向左平移3个单位，向上平移2个单位得； 描点连接得． （2）解：以原点O为位似中心，相似比且在y轴右侧，的对应点坐标为． 描点连接得（见上图）， 故点的坐标为． （3）解：作射线、、，交点即为位似中心M（见上图）． 设直线的解析式为， 将和代入解析式， 得到方程组：， 解方程组得，代入得， 因此，直线的解析式为， ∵，，故直线为， 联立求解得． ∴位似中心M的坐标为． 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【答案】D 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若，则的长为（    ） A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 3．如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据位似比计算即可． 【详解】解：∵点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为． 故选：B ． 4．如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（ ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得到位似比，，进而得到，根据相似比得到两个三角形的面积比即可． 【详解】解：以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ，，点、、三点在同一条直线上， ， ；则选项B和C正确； ， ， ， 则选项A、B、C正确，D错误； 故选：D． 5．如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若点，，则和的相似比为___________． 【答案】 【分析】本题考查位似的概念，根据点坐标求出，的值，相似比等于对应边之比． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵由以原点为位似中心放大后得到， ∴与为对应边， ∴和的相似比为． 故答案为：． 6．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似的定义、相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．由题意可得，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片， ∴， ∵的面积为6， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 7．如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先根据位似图形的性质得，且，即可求出 ，进而得出，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】解：∵和是以点A为位似中心的位似图形，且位似比是， ∴， ∴，． ∵，正方形的边长为1， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 8．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （）根据相似四边形的性质求解即可． 【小问1】 解：四边形与四边形相似， ， ． 【小问2】 解：∵四边形与四边形相似， ， ， 解得． 9．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为； (2)以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出的对应点，然后顺次连接即可； （2）直接利用旋转的性质得出对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． 10．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点，点的坐标为． (1)求证：； (2)把向右平移6个单位长度得到，画出平移后的三角形，并判断与是否位似，如果是，请写出位似中心的坐标，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，与位似，位似中心坐标为 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，位似图形的判定，勾股定理： （1）根据勾股定理求出，的长，可得到，即可求证； （2）根据平移的性质可得到，即可求解． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ， 即， ． （2）解：如图所示，即为所求， 与位似， 位似中心坐标为． 1．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似的两图形必须是相似形且对应点的连线都经过同一点、对应边平行或共线是解题的关键． 根据位似图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中两个图形中是位似图形；选项C中两个图形中不是位似图形． 故选：C． 2．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查相似图形，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键；因此此题可根据相似图形的定义进行排除选项即可． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件． 故选：B． 3．纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，通过设大长方形的长和宽，利用相似多边形对应边成比例的性质列方程求解相似比即可． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，则折叠后小长方形的长为，宽为， ∵大长方形与小长方形相似 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴大长方形与小长方形的相似比为． 故选C． 4．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，正方形和矩形的性质，设，根据相似多边形的性质，列出比例式求出的值，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 设， 矩形矩形，， ． ， 或（舍弃）， ， 故选：． 5．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），若轴，点的坐标为，与的相似比为，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据与关于原点位似，与的相似比为，得，，因为点在第一象限，所以点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），与的相似比为， ∴ ∵点的坐标为， ∴，， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为． 6．下图是用12个相似的直角三角形组成的图案.    （1）与位似的三角形是______； （2）已知的面积是3，则的面积为______． 【答案】 4 【分析】（1）先根据垂直的定义和直角的性质即可解答； （2）先说明，设，则、，由可得；再设，则、，即，然后运用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴， 故答案为． ∵12个相似的直角三角形， ∴, ∴， 设，则、， ∵ ∴ 再设，则、， ∴，即 ∴ 故答案为4． 7．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题：    (1)绕点旋转后得到，请画出 (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意可先得出点A、B、C关于原点对称的点； （2）点为位似中心，按位似比为即可求解： 【详解】（1）解：由题可得，如图所示：    （2）解：由题可得，如图所示：    8．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； 【答案】(1)见解析 (2)；； 【分析】本题考查了位似图形的作图，位似图形的性质，求格点三角形的面积，熟练掌握位似图形的作图及位似图形的性质是解题的关键． （1）连接，，根据位似图形的性质，即知两线段的交点P即为所求； （2）由图可直接得到点P的坐标；根据位似图形的性质，即可求得与的面积比；用正方形的面积减去三个三角形的面积即可； 【详解】（1）解：如图，点P就是位似中心； ； （2）解：由图可知，点P的坐标为； 根据图形可知，，， 与关于点P位似， 与的面积比为， ． 故答案为：；；． 9.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出周长比即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且相似比为， ∴． 10．纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． (1)如图，设，则纸的宽________（用表示）；连接，过点作交于点，则________（用表示）； (2)如图，在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系； (3)如图，，若点为边上的一动点，沿折叠纸片，使点落在处，连接，，求的最小值． 【答案】(1)，； (2)，， 证明： ∵矩形，由（1）得，， ∴， ，， ∵矩形， ∴， ∵沿折叠得，点落在上的点处， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，，即， 整理得：， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵，即， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，即，解得：， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，； (3)． 【分析】（1）先根据对折的性质结合题意求出的值，根据矩形推出，，再根据矩形矩形，求出的值，然后结合，证明，最后运用相似的性质求解即可； （2）先结合矩形的性质和折叠的性质求出的长度和证明，运用相似的性质求出的值，再根据线段成比例和共角证明，运用相似的性质即可求证； （3）取的中点，连接，证明，求得，当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即取得最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）∵对折，， ∴， ∵矩形， ∴，， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，即，解得； （2）略 （3）如图，取的中点，连接， ∵， ∴由（1）得， ∵沿折叠得， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即取得最小值，最小值为， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.3-4 相似多边形与位似多边形 教学目标 理解相似多边形、相似比定义，掌握相似多边形的性质与判定； 理解位似多边形的概念，分清相似与位似的关系； 掌握平面直角坐标系中原点位似图形的坐标变化规律； 会利用位似放大或缩小图形，结合相似进行计算、作图。 教学重难点 重点： 理解并掌握相似多边形、位似多边形的定义、性质、判定； 难点： 利用位似放大或缩小图形，结合相似进行计算、作图。 知识点01 相似多边形 1. 定义 对两个边数相同的多边形，如果将一个多边形的顶点同另一个多边形的顶点依次对应，使得对应角相等，对应边成比例，那么称这两个多边形相似。两个相似多边形的对应边的比值叫作相似比。 2. 性质 相似多边形对应角相等，对应边成比例。 核心点：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例。 【即学即练】 1. 下列说法正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．等边三角形都是相似三角形 2. 如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 知识点0 2 位似多边形 1. 基本性质 ①两个位似图形一定相似； ②所有对应顶点连线交于同一顶点O（位似中心）； ③对应边互相平行； 2. 位似与相似的关系 相似包含着位似，但相似不一定是位似。 3. 平面直角坐标系中的位似规律（以原点为位似中心） ①两图形在原点同侧，位似比k为正；两图形在原点异侧，位似比k为负； ②当|k|>1时，利用位似放大；当|k|<1时，利用位似缩小； ③坐标规律： 原图形上点的坐标（x，y），相似比为k⇒位似图形上点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 4. 位似图形的画图步骤 ①普通位似图形 首先，连接位似中心和原图各顶点并延长作射线； 然后，在射线上按位似比截取对应顶点； 最后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 ②以坐标原点为位似中心的位似图形 首先，按位似比计算各新顶点的坐标； 然后，顺次连接新的各顶点得到位似图形。 【即学即练】 1. 下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 2．综合实践 (1)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是．联结、，如果把沿翻折，所得四边形恰为菱形，若在直线上存在点Q，使与相似，求出点Q的坐标．    (2)若（1）中点Q位于x轴上方，指出与是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标． 题型01 相似多边形的辨析 【典例1】下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【变式1】命题：“任意两个矩形都相似”是___________命题．（填“真”或“假”） 【变式2】下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有________．（填序号） 【变式3】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【变式4】在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 题型02 相似多边形的性质和判定 【典例1】定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形． (1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：； (2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证． 【变式1】下列命题中，真命题是（    ） A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似 B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似 C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似 D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似 【变式2】在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 【变式3】如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【变式4】问题解决 （1）已知：如图1, 是以 为斜边的等腰直角三角形, 以 为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边作等腰直角三角形． 求证：四边形 与四边形 相似． （2）已知：如图2，在中，点分别在边上，相交于点,点在的延长线上，联结如果四边形与四边形相似，且点分别对应． 求证：． 题型03 位似多边形的辨析 【典例1】下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【变式1】下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式4】如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 题型04 画位似图形 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点） 以点为位似中心，将放大到原来的倍，在第四象限内画出． 【变式1】在的网格图中，已知和点． 以点M为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； 【变式2】在边长为1的小正方形网格坐标系中，顶点均为格点，点，对应位似点． (1)描出AC中点D，写出点D坐标； (2)以原点O为位似中心，将放大得到，画出图形． 【变式3】在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） 以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； 【变式4】在边长为的正方形的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． ()以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）． (2)用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留画图痕迹） 题型05 利用位似图形的性质计算 【典例1】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，正六边形与正六边形是关于原点的位似图形，相似比为，若点，则正六边形的周长为_________； 【变式3】如图，和是位似图形，点O是它们的位似中心，若与的面积之比为，则的值为 _______． 【变式4】如图，以点为位似中心的与的周长比为，则的值是多少？ 题型05 在直角坐标系中求位似图形中对应点的坐标 【典例1】如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 【变式2】如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3】正方形如图所示，以原点O为位似中心，在第一象限内把正方形的各边缩小为原来的，则点C的对应点的坐标为_____________． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的（点A，B，C的对应点分别是，，）； (2)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出．使与位似，且相似比为，请写出点的坐标（点A，B，C的对应点分别是，，）； (3)请在图中画出与的位似中心M，并写出点M的坐标． 1．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若，则的长为（    ） A．16 B．12 C．8 D．6 3．如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（ ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 5．如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若点，，则和的相似比为___________． 6．如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O）、灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影，已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为6，则阴影部分的面积为______． 7．如图，与是以点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，正方形的边长为1，点在边上，点在边上，直线交于点，则的长度为_____． 8．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 9．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为； (2)以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出． 10．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点，点的坐标为． (1)求证：； (2)把向右平移6个单位长度得到，画出平移后的三角形，并判断与是否位似，如果是，请写出位似中心的坐标，如果不是，请说明理由． 1．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 3．纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），若轴，点的坐标为，与的相似比为，则点的坐标为____________． 6．下图是用12个相似的直角三角形组成的图案.    （1）与位似的三角形是______； （2）已知的面积是3，则的面积为______． 7．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题：    (1)绕点旋转后得到，请画出 (2)以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为； 8．如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； 9.如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 10．纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． (1)如图，设，则纸的宽________（用表示）；连接，过点作交于点，则________（用表示）； (2)如图，在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系； (3)如图，，若点为边上的一动点，沿折叠纸片，使点落在处，连接，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $