陕西省榆林市靖边中学2026-2027学年第一学期第一次月考试卷高二数学

2025级2026~2027学年度第一学期第一次月考试卷 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章一第二章第3节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.化简：AB+BD+DB,= A.DA B.BA C.AD D.AB 2.点P(2,一3，一4)关于平面Oxy对称的点是 A.(2,-3,4) B.(2,-3,-4) C.(-2,3,-4) D.(-2,3,4) 3.直线x一√J3y十1=0的倾斜角为 A.否 B哥 c D. 4.已知点A(-5,一2,3)，B(1,一4,2)，点P满足BP=2PA,则点P的坐标是 A.(-11,0,4) &-,-9) C.(7,-6,1) 5.过点(-1,6)且与直线2x十6y-7=0平行的直线方程为 A.3x+y-3=0 B.x-3y+19=0 C.x+3y-17=0 D.3x-y+9=0 6.已知点A(1,0,一2)，B(3,1,0),若平面a的一个法向量n=(0,一2,1)，则直线AB与平面a 的位置关系是 A.AB∥a B.AB⊥a C.ABCa D.AB∥a或ABCa 【高二第一次月考试卷·数学第1页（共4页）】 27-T-066B 7.已知两点M(3,一2)，N(一1,4)，直线1过点P(一3，一3)，若直线l与线段MN相交，则直 线（的斜率的取值范围是 A.(o,]U[3+o） B[合] c[号6 D(-oo,号]U[6,+o∞) 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形， O为△PBC的重心，Pi=号Pi,且PA=3,AB=2,则点O到直线DM 的距离为 A.⑥6 6 B.Y66 4 C33 6 D33 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知空间向量a,b,c,则 A.|a|=|b|是a=b的必要不充分条件 B.若a,b,c不共面，则a,b,a十c也不共面 C.若a·b=b·c,且b≠0，则a=c D.若a∥b,b∥c,则a∥c 10.已知O为坐标原点，过点M(一1,1)的直线l与坐标轴交于A,B两点，若△AOB的面积为 2,则直线1在x轴上的截距可以是 A.2+22 B.2-22 C.-2 D.2 11.如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB=4,PA=6,空间两点M,N满足CM=入C第+CD, A衣=tAP+(1-t)AC,则 A.CM-C的最小值为4 B.|A的最小值为4@ 3 C.当入=1时，|M的最小值为√/14 D D.当u=1时，则M到平面PBC的距离为√14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若2x1十5y=1,2x2十5y2=1,且x1≠x2,则经过M(x1yM),N(x22)的直线1的一般方 程为 13.直线a.x+y-a-2=0(a∈R)一定经过点 14.设点A(1,2),点B是y轴上的动点，点C是直线x-y-1=0上的动点，则△ABC周长的 最小值是 【高二第一次月考试卷·数学第2页（共4页）】 27-T-066B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知A(2,2),B(3,1),C(0,4). 求：(1)过点A且与BC垂直的直线方程； (2)过点B且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程。 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱柱ABCD-ABCD,中，∠BAD=∠BAA=∠DAA=号，四边形ABCD是 边长为2的菱形，AA=3,O为AC与BD的交点. (1)求AO的长； D (2)证明：OA1⊥BD. D 17.(本小题满分15分)》 如图，正方体ABCD-A,BCD1的棱长为2，E,F分别为DD1,BC的中点. (1)求证：EF∥平面ABCD: D (2)求直线AF与平面BC1E所成角的正弦值. B E D 【高二第一次月考试卷·数学第3页（共4页）】 27-T-066B 18.(本小题满分17分)》 在△ABC中，B(4,3),边BC上的中线所在直线的方程为I1:x一2y+7=0,边AB上的高所 在直线的方程为l2:3.x一y一9=0，求： (1)点A的坐标； (2)边AC所在直线的方程； (3)△ABC中∠ABC的角平分线所在直线的方程. 19.(本小题满分17分)》 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AD∥BC,AB⊥AD,AD=2CD =12,∠ADC-S,E为AD的中点，PE1CD,PA⊥PD,PA=PD. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值： G (3)若C萨-Cd,AG-}A立，平面EFG与PB,PC分别交于点 A M,N,求线段MN的长度. 【高二第一次月考试卷·数学第4页（共4页）】 27-T-066B2025级2026~2027学年度第一学期第一次月考试卷·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.DAB+Bd+DB,-AD+DB=AB.故选D. 2.A关于平面Oxy对称的两点的x轴，y轴坐标相同，之轴坐标互为相反数，所以点P(2,一3，一4)关于平面 Oy对称的点是(2，一3,4).故选A. 3A由题意知该直线的斜率为号，故其倾斜角0清足am0气，0C[0,x),所以0-吾.故选A. 4.D 设点P(x,y2),又A(-5,-2,3),B(1,-4,2),所以B2=(x-1,y十4，-2)，PA= (-5-x,-2-y,3-x),又BP=2PA,所以(x-1,y十4，x-2)=2(-5-x,-2-y,3-x),解得x=-3, y=-8 =号，所以点P的坐标是(-3，号，号）)放选D 5.C直线2x十6y-7=0的斜率为-号，所以所求直线的方程为y-6=-号(+1D,即x+3y-17=0. 故选C. 6.D因为AB=(2,1,2),所以AB·n=(2,1,2)·(0,-2,1)=0,所以AB∥a或ABCa.故选D. 1B由题意知=产》-古=气动一名由图可知直线1的斜率的取值范周是 [合]故选B 8.A如图，以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标 系，则P0,03,B20,0),DX0,20,C2,2.0),M00,2,所以0（告号，1）， i=(-专，专，-1)，成=(0，-2,2)，故点0到直线DM的距离为 D √成-(·离)√售(=故选 B 【高二第一次月考试卷·数学参考答案第1页（共6页）】 27-T-066B 9.ABa=b的充要条件是a,b的大小相等，方向相同，故由a=b→|a=|b|,反之则不然，故A正确：假设 a,b,a十c共面，则存在实数x,y,使得a十c=a0十3b,所以c=(x一1)a+3b,所以a,b,c共面，与条件矛盾， 故B正确：在空间直角坐标系中，三个坐标轴上的单位向量显然满足C中的条件，但任何两个都不相等，故C 错误；对于D,若b=0,a,c不一定共线，故D错误.故选AB. 10.AC由题意直线1显然不过原点，所以不妨设直线l的方程为若+=1，其中a,b分别为l在x轴，y轴 上的截距，A(a,0),B(0,b),又点M(-1,1)在直线1上，所以+方=1，又△A0B的面积为2，所以2 6=2,即6=4或6=-告当6=音时，合+号-1，即a2-4a-4=0,解得a=2-22或a=2+2; a 当6=一时，。-景=1，即a2+4a+4=0,解得a=-2.故选AC 11.BCD由CM=AC第+CD,得点M在平面ABCD上，|Ci-C|= 2 |P,要使|PM最小，则PM为正四棱锥的高，易求PM=27,故A错 误；由AN=tAP+(1-t)AC,得点N在直线PC上，要使|A1最小，则 AN心8水式外值为四技BF当断点M布在，二 D 上EMB 线AB上.分别取棱AB,BC的中点E,F,正方形ABCD的中心O,易证OE,OF,OP两两垂直，以O为坐标 原点，直线OE,OF,OP分别为x轴，y轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,一2,0)， B(2,2,0),C(-2,2,0),P(0,0,27),所以AB=(0,4,0),CP=(2,-2,27),设与AB和PC都垂直的 n·AB=0,4y=0, 直线的方向向量n=(x,y,之)，则 即 令=1，解得x=一√7，y=0,所以n n.C2=0,(2x-2y+2√/7x=0, =(-万，0,1，又流-（一40,0），所以衣的最小值为n:产==压，故C正确：当4=1 n2√2 时，点M在直线AD上，易证AD∥平面PBC,故点M到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离d, 由V发D=Vc,得子×8X2厅=号×名×4X-2d,解得d=V正，故D正确，故选CD. 12.2x+5y-1=0因为2x1+5y=1,2.2+5y=1,所以M(x,)在直线2.x+5y-1=0上，N(22,y2)在 直线2.x+5y-1=0上，所以经过M(m,y),N(x2,y2)的直线l的一般方程为2x+5y一1=0. x一1=0， x=1, 13.(1,2)直线可化为a(x一1)+(y一2)=0，若直线过定点，则 解得 所以直线过定 y-2=0, y=2, 点(1,2). 【高二第一次月考试卷·数学参考答案第2页（共6页）】 27-T-066B 14.2√5如图，作点A关于y轴的对称点A1,关于直线x一y一1=0的对称点 A2,易得A的坐标为（一1,2），设点A2的坐标为(a,b),则 号×1=-1 a=3 解得 所以A2(3,0),因为AB=A1B,AC=A2C,所 a+1_6+2-1=0, b=0, 2 以当A,B,C,A2四点共线时，△ABC的周长最小，最小值为AA2=√(3+1)2+(-2)7=2√5. 15.解：0)设过点A且与BC垂直的直线的斜率为，直线BC的斜率灰m-。号-1， ……2分 由kx·k=一1，得k=1,… …4分 所以y一2=1×(x一2)，即所求直线的方程为x一y=0. 6分 (2)直线AB的斜率k=二号 一1，设直线AB的倾斜角为a,则tana=一1，…9分 又0°≤a<180°，所以Q=135°，…10分 由题意知所求直线的倾斜角为35=45，故所求直线的斜率为an45=1, 11分 所以y-1=1X(x一3)，即x一y一2=0.…13分 16.1)解：以{A成，A市，AA)为一个基底，由题意知A=|AD=2,AA1=3,A·A市=2×2X号=2， i.A=市.A=2X3×2=3, …3分 又Aò-Aò-AA=2AB+2A市-AA, 4分 所以A,ò1=(2A+2A市-AA) =A+A亦+AA+号A店.AD-A店.AA-Aò·AA =×4+1×4+9+号×2-3-3=6， …7分 所以A,O=|AO1=6. … 8分 (2)证明：由1)知A0=号A市+2A市-AA, 在菱形ABCD中，BD=AD-AB,…10分 所以Aò·BD=(2A苏+2AD-AA)·(AD-A) 【高二第一次月考试卷·数学参考答案第3页（共6页）】 27-T-066B =号A店·A币+号A亦-AM·A市-号A形-AD·AB+AM·AB =7X2+号X4-3-号X4-号X2+3=0… 14分 所以AOLBD,即A,OLBD. 15分 17.(1)证明：取BC的中点为G,连接FG,DG 因为F,G分别是BC,BC的中点，所以FGL2CC. 2分 在正方体中，DD1LCC,又E为DD1的中点， 所以DEL2CC=FG,四边形DEFG是平行四边形，EF∥DG. …4分 又EFC吐平面ABCD,DGC平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.…7分 (2)解：以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体ABCD-A,BCD1的棱长为2，E,F分别为DD1,BC的中点， 所以A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,2),E(0,0,1),F(1,2,1),…9分 所以AF=(-1,2,1),B2=(-2,-2,1),BC=(-2,0,2), nB2-0, f-2x-2y十x=0, 设n=(,yx)是平面BCE的法向量，则 即 n.BC=0, -2x+2x=0, 令x=1,则y=一号，=1，所以n=(1,-号，1)是平面BCE的-个法向量，…11分 设直线AF与平面BCE所成角为0，则sm0=cosA市，m=n=1 Am5×喜 9 即直线AF与平面BC,E所成角的正弦值为E, 91 15分 18.解：(1)设A(x1,y), 因为边BC上的中线所在直线：x一2y十7=0经过点A,所以m一2y十7=0，…1分 因为边AB上的高所在直线的方程为l2:3x一y一9=0，所以AB⊥2，即3k8=一1， 又kg=为，所以3X93=-1,即0十3y-13=0,……2分 x-4 x一2y+7=0,=1， 得 所以点A的坐标为(1,4).… 4分 (x+3y-13=0,y=4, (2)设C(2,y2),因为边AB上的高所在直线l2:3a-y一9=0经过点C,所以32一y2-9=0,…5分 【高二第一次月考试卷·数学参考答案第4页（共6页）】 27-T-066B 因为边BC上的中线所在直线的方程为l1:x一2y+7=0, 所以边BC的中点（生，3生2）在4：-2y+7=0上，即22-(3+为)+7=0， 2 所以x2-2y2+12=0, …6分 3.2-2一9=0， x2=6, 得 所以点C的坐标为(6,9).…… 8分 z2一2y2+12=0, (y2=9, 因为边AC所在直线的斜率kx-号二1， 所以边AC所在直线的方程为y一4=1×(x一1)，即x-y十3=0. 10分 (3)因为边AB所在直线的斜率k他=子二一子， 所以边AB所在直线的方程为y一3=一3（x-4),即x十3y一13=0.…11分 因为l2:3x一y一9=0过B,C两点，所以边BC所在直线的方程为3x一y一9=0.…12分 设P(x,%)是∠ABC的角平分线所在直线上任意一点， 由角平分线的性质可得P到边AB所在直线，边BC所在直线的距离相等， 即+3-131-13。-6-91 14分 √+32 /32+(-1)2 所以20-2h十2=0或2x0十h-11=0.…15分 因为∠ABC的角平分线应该与边AC(不含端点)有交点，所以∠ABC的角平分线所在直线的斜率k∈ (-∞，一号)U(3,+∞)，所以-2%十2=0不符合，2十为-11=0符合， 所以△ABC中∠ABC的角平分线所在直线的方程为2x十y一11=0.…17分 19.(1)证明：因为PA=PD,E为AD的中点，所以PE⊥AD, 又PE⊥CD,AD∩CD=D,AD,CDC平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD,…2分 又PEC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD.…4分 (2)解：如图，在平面ABCD内，作EH⊥AD,交CB于点H,则EH,ED,EP两两垂直， 以E为原点，EH,ED,EP所在直线分别为x轴，y轴，x轴，建立如图所示 的空间直角坐标系， G 由题意，得P(0,0,6),A(0,-6,0),B(3√5，-6,0)，C(35,3,0), 所以AB=(33,0,0),Pi=(3√5，-6，-6)，Ci=(0,-9,0), 【高二第一次月考试卷·数学参考答案第5页（共6页）】 27-T-066B AB.m=35x=0, 设m=(x,y,之)是平面PAB的法向量，则 Pi.m=35x-6y-6z=0, 令y=1,则x=0,之=一1，所以m=(0,1,一1)是平面PAB的一个法向量，…6分 CB.n=-9b=0, 设n=(a,b,c)是平面PBC的法向量，则 pi.n=33a-6b-6c=0, 令a=2,则b=0,c=√3，所以n=(2,0,√5)是平面PBC的一个法向量，…8分 设平面PAB与平面PBC的夹角为0， n·n 3 则1cos0l=|cosm,m|=1m·1m-2xJ7 14,sin0=√-cos0=5 42 149 即平面PAB与平面PBC夹角的正弦值为☑ 14 …10分 (3)解：由(2)，得Dc0,6,0>,C市=号i,得C=号d=号(-333,0)，所以F(2,40), 由AG=号市，得AG=号A市=号(0,6,6)，所以G(0,-4,2). E市=(23,4,0)，EC=(0,-4,2), E市.u=23m+4物=0， 设u=（x,%,)是平面EFG的法向量，则 Ed.u=-4h+2=0, 令x0=2,则b=一5,0=一25，所以u=(2,-√5，-2√3)是平面E℉G的一个法向量，…12分 由平面EFG与PB交于点M,设PM=AP市=A(33,-6,-6),则M(33x,-6,6-6A),EM =(35A,-6x,6-6入)， 因为u是平面EFG的法向量，所以u·EiM=(2,一3，-23)·(33X,-6x,6-6以)=0， 即245a-125=0,解得X=号所以M35,-3.3 14分 由平面EFG与PC交于点N,设P=uP元=u(33,3,-6),则N(354,3,6-6u),E =（354,34,6-6u), 因为u是平面EFG的法向量，所以u·E式=(2，-，-23)·(33,3,6-6)=0， 即15一125=0，解得-号所以N(2,号.号) 16分 所以MN=A (92)+(-3-号)+(8-号)- 10 17分 【高二第一次月考试卷·数学参考答案第6页（共6页）】 27-T-066B