16.3.2 完全平方公式 教学设计 2026—2027学年人教版八年级数学上册

姓名

学科段

初中数学

授课班级

职称

教龄

授课时间

课题

16.3.2 完全平方公式（人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册 第十六章“整式的乘法”第 3 节第 2 课时）

教材分析

本节是“乘法公式”的第 2 课时，紧接平方差公式之后。教材的编排分五步：第一步，计算 (p+1)2、(m+2)2、(p−1)2、(m−2)2，观察积的结构；第二步，用多项式乘法法则推出 (a+b)2=a2+2ab+b2、(a−b)2=a2−2ab+b2，给出公式与文字表述，并指出它们是 (a+b)(p+q) 中 p=a、q=±b 的特殊情形；第三步，用图 16.3-2、图 16.3-3 的面积拼图给出几何解释；第四步，例 3 学习直接套用，例 4 学习 1022、992 的简便计算，“思考”栏目再讨论 (−a−b)2 与 (a+b)2、(a−b)2 与 (b−a)2、(a−b)2 与 a2−b2 的关系；第五步，由去括号逆推出添括号法则，例 5 通过添括号把 (x+2y−3)(x−2y+3)、(a+b+c)2 转化为可用公式的形式。

从地位看，完全平方公式与平方差公式是初中阶段仅有的两个乘法公式，一个解决“和乘差”，一个解决“和（差）的平方”，合起来覆盖了多项式乘法中最常见的特殊结构。公式中的“中间项 2ab”正是学生最容易漏掉的地方，也是第十七章判断完全平方式、配方法的关键。

从后续看，17.2 用完全平方式分解因式、一元二次方程的配方法、二次函数顶点式、勾股定理中的 (a+b)2 变形，都要以本节为基础；添括号法则又是分式运算、根式化简中“整体处理”的基本功。

从学段衔接看，小学阶段学生只会算“边长为 a+b 的正方形面积”，本节要把这张面积图翻译成代数恒等式，实现“由图到式、由式到图”的双向转化。

核心素养目标

1. 运算能力：能正确运用完全平方公式进行整式乘法运算，能进行 1022、992 一类数的简便计算。

2. 推理能力：能用多项式乘法法则推导两个公式，能说明中间项 2ab 的来源，能由去括号法则逆推出添括号法则。

3. 几何直观：能借助四块面积图解释 (a+b)2 与 (a−b)2，说出每一块对应公式中的哪一项。

4. 结构意识：能识别“首项、尾项、中间项”，会用“首平方、尾平方、积的 2 倍放中央”概括公式；能通过添括号把式子化成公式的形式。

5. 应用意识：能在图形面积、代数求值、规律说明等情境中使用公式。

教学重点

完全平方公式的推导、结构识别与运用；添括号法则。

教学难点

中间项 2ab 的符号与系数处理；三项式相乘时如何添括号、如何把某几项看成整体。

学情分析

（1）已有基础：学生刚学过平方差公式，熟悉“先看结构、再套公式”的思路，能熟练进行多项式乘法，也具备由去括号逆推添括号的经验。

（2）可能困难：①把公式记成 (a+b)2=a2+b2，漏掉中间项；②(a−b)2 写成 a2−2ab−b2，尾项符号出错；③(−2x+5)2 中把 b 当成 5 还是 −2x 分不清；④系数忘记平方，如 (3a)2 写成 3a2；⑤添括号时该变号的项没有全部变号；⑥例 5 中看不出“哪两项先括起来”。

（3）教学对策：用“首、尾、中间”三个位置的颜色标记把结构外显；用面积图说明中间两项从哪里来；用“先定首尾、再算中间、最后检查符号”的三步口令规范书写；用对比表把平方差与完全平方并列；用“添括号前后逐项验算”的方法防止变号遗漏。

教学方法

教法：归纳法、数形结合法、对比辨析法、变式训练法。

学法：计算—观察—归纳—说理—应用—反思。

手段：多媒体课件、面积拼图动画、彩色粉笔、当堂检测单、分层作业单。

课时安排

1 课时（45 分钟）：复习与导入 4 分钟；探究与推导 6 分钟；归纳结构与面积解释 6 分钟；例 3、例 4 示范 6 分钟；辨析与“思考” 5 分钟；添括号法则 5 分钟；例 5 示范 5 分钟；当堂检测 4 分钟；小结与作业 4 分钟。

教学资源

人教版八年级上册教材、多媒体课件、面积拼图动画、彩色粉笔、当堂检测单、分层作业单。

教学流程设计

任务/环节

教学内容与问题设计

教师活动

学生活动

学习评价设计

环节一

复习导入

提出新问题

1. 说出平方差公式，并计算 (x+3)(x−3)。

2. 计算下列各题，观察结果有什么共同特点：

（1）(p+1)2；　（2）(m+2)2；　（3）(p−1)2；　（4）(m−2)2。

先让学生复述平方差公式，再板演四个小题；提示 (p+1)2 表示 (p+1)(p+1)。

独立计算，得到 p2+2p+1、m2+4m+4、p2−2p+1、m2−4m+4，发现“结果都是三项，中间项的绝对值是两数积的 2 倍”。

能否算对四个式子；能否说出“三项、中间项、2 倍”这几个关键词。

设计意图：从旧知出发，用具体计算引出新公式，避免直接给结论。

环节二

一般化

推导公式

把四个式子统一成 (a±b)2 的形式：

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2；

(a−b)2=(a−b)(a−b)=a2−ab−ab+b2=a2−2ab+b2。

关键：中间两项同类项，合并后是 2ab 或 −2ab。

板书推导，用彩色粉笔标出两个 ab；追问“为什么平方差公式里这两项抵消了，这里却要相加”。

跟着推导，说出“平方差是 ab 与 −ab 抵消，完全平方是 ab 与 ab 合并”。

能否说清两个公式的差别就在中间项；能否正确合并同类项。

设计意图：把两个公式放在一起对比，从“抵消”与“合并”看清本质区别。

环节三

归纳公式

分析结构

完全平方公式：

(a+b)2=a2+2ab+b2；(a−b)2=a2−2ab+b2。

文字：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。

口诀：首平方、尾平方，积的 2 倍放中央，中间符号看前方。

把“首项、尾项、中间项”三个位置分别用红、蓝、绿标出；强调 a、b 可以是数、单项式或整体，符号跟着项一起走。

齐读文字表述；在练习本上给 (2x−3)2 标出首项、尾项，并写出中间项 −12x。

能否准确指出首项与尾项；能否先写中间项再写平方项。

设计意图：用口诀降低记忆负担，用颜色标记把“结构”变成看得见的位置。

环节四

面积解释

数形结合

图 16.3-2：边长为 a+b 的正方形分成 a2、ab、ab、b2 四块，所以 (a+b)2=a2+2ab+b2。

图 16.3-3：边长为 a 的正方形中挖去两个带子，剩下的 (a−b)2 与 a2−2ab+b2 对应。

用课件动画把四块分别着色、逐块说出面积；再引导观察图 16.3-3 中“重复减去的那一小块要补回来”，即 +b2。

指着图说出“大正方形 = a2 + ab + ab + b2”；在图 16.3-3 中找出被减两次的小正方形。

能否把四块面积与公式四项一一对应；能否解释 (a−b)2 中为什么是加 b2。

设计意图：面积图是理解“中间项”和“加 b2”的最好工具，比反复背诵有效。

环节五

例 3 示范

规范书写

例 3　运用完全平方公式计算：

（1）(4m+n)2；（2）。

解：（1）(4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2；

（2）。

示范“先定首尾、再算中间、最后检查符号”的三步格式；第（2）题强调，不要漏写也不要多写。

按三步格式书写；第（2）题说出“尾项是，它的平方是”。

系数是否平方；中间项的 2 倍有没有漏；分数平方是否正确。

设计意图：例题要把“过程”示范到位，尤其是系数与分数的处理。