16.3.2 完全平方公式（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版数学八年级上册

16.3.2 完全平方公式（第1课时） 教学设计 课题 16.3.2 完全平方公式（第1课时） 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课（公式课） 教学目标 1. 经历探索完全平方公式的过程，理解公式的推导过程与几何背景； 2. 掌握完全平方公式的结构特征，能正确运用公式进行简单计算； 3. 在观察、归纳、验证中发展符号意识与推理能力，体会数形结合与从一般到特殊的思想。 教学重点 完全平方公式的结构特征及直接应用。 教学难点 公式中积的 2 倍项的符号与系数；理解 (a±b)² 与 a²±b² 的区别。 教学方法 探究发现、讲练结合 教学准备 多媒体课件、正方形面积教具 课后练习 完成教材 P110 习题 16.3 第 2、3、4、5 题；对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、 复习回顾 提出问题 （约5分钟） 一、复习回顾，提出问题 1. 多项式乘多项式法则：(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn。 2. 计算下列各式，观察结果有什么规律： (1) (p+1)² ＝ (p+1)(p+1) ＝ p²+2p+1； (2) (p−1)² ＝ (p−1)(p−1) ＝ p²−2p+1； (3) (m+2)² ＝ m²+4m+4； (4) (m−2)² ＝ m²−4m+4。 提问：等式左边都是什么形式？右边有几项？各项与左边的两项有什么关系？ 引出课题：这就是今天要学习的完全平方公式。 按多项式乘法法则计算四个式子，观察并猜想规律。 由学生已掌握的多项式乘法出发，通过计算—观察—猜想，让学生亲历公式的发现过程，避免直接灌输。 二、 探究新知 （一） 推导公式 （约8分钟） 二、探究新知 （一）代数推导与几何解释 1. 代数推导： (a+b)² ＝ (a+b)(a+b) ＝ a²+ab+ab+b² ＝ a²+2ab+b²； (a−b)² ＝ (a−b)(a−b) ＝ a²−ab−ab+b² ＝ a²−2ab+b²。 2. 几何解释（课件展示边长为 a+b 的正方形）： 大正方形被分成四块：边长 a 的正方形、边长 b 的正方形、两个长 a 宽 b 的长方形； 大正方形面积 ＝ (a+b)² ＝ a²+2ab+b²，与代数推导一致。 （差的平方可由 (a−b)²＝[a+(−b)]² 类比得到。） 3. 得出公式： (a+b)² ＝ a²+2ab+b²； (a−b)² ＝ a²−2ab+b²。 两个公式都叫做（乘法的）完全平方公式。 师生活动：学生口述代数推导过程；教师结合面积图说明几何意义，渗透数形结合。 口述代数推导，结合正方形面积图理解公式的几何背景。 代数推导与几何解释双线并行，让学生从数与形两方面理解公式，避免死记硬背。 二、 探究新知 （二） 公式特征 （约5分钟） （二）公式特征与记忆口诀 观察公式结构： (a+b)² ＝ a² + 2ab + b²； (a−b)² ＝ a² − 2ab + b²。 特征： ① 左边是两数和（或差）的平方； ② 右边是三项：首平方、尾平方、积的两倍在中央； ③ 中间项符号：同号取正，异号取负（与左边括号内符号一致）； ④ 两项平方项恒为正。 记忆口诀： 首平方，尾平方，积的两倍在中央； 中间符号看前方，两项平方永为正。 辨析：(a+b)² ＝ a²+b² 对吗？（不对，少了 2ab 这一项！） 归纳公式结构特征，记忆口诀，辨析常见错误。 用口诀降低记忆负担；通过反例辨析 (a+b)²≠a²+b²，突破本节最常见错误。 二、 探究新知 （三） 例题精析 （约12分钟） （三）例题精析 例1 运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)²； 解：原式 ＝ (4m)² + 2·4m·n + n² ＝ 16m² + 8mn + n²。 (2) (y − 1/2)²； 解：原式 ＝ y² − 2·y·(1/2) + (1/2)² ＝ y² − y + 1/4。 例2 运用完全平方公式计算： (1) 102²； 解：102² ＝ (100+2)² ＝ 100² + 2·100·2 + 2² ＝ 10000+400+4 ＝ 10404。 (2) 99²； 解：99² ＝ (100−1)² ＝ 100² − 2·100·1 + 1² ＝ 10000−200+1 ＝ 9801。 例3 计算 (−x+2y)²。 解：原式 ＝ (−x)² + 2·(−x)·2y + (2y)² ＝ x² − 4xy + 4y²。 （也可先变形为 (2y−x)²，结果相同。） 师生活动：例1 教师示范，强调“谁是 a、谁是 b”；例2 学生板演简便计算；例3 教师引导学生把负号看作 a 的一部分。 按公式规范计算，板演简便计算，处理含负号的式子。 例题由直接套公式到简便计算再到含负号变式，层层递进；例2 让学生体会公式的简便价值。 三、 当堂练习 （约8分钟） 三、当堂练习 1. 下列计算正确的是（ ）。 A. (a+b)² ＝ a²+b² B. (a−b)² ＝ a²−b² C. (a+b)² ＝ a²+2ab+b² D. (−a−b)² ＝ −a²−2ab−b² 答案：C。 2. 运用完全平方公式计算： (1) (x+6)²； (2) (y−5)²； (3) (−2x+5)²； (4) (3a−2b)²。 答案：(1) x²+12x+36；(2) y²−10y+25； (3) 4x²−20x+25；(4) 9a²−12ab+4b²。 3. 用简便方法计算： (1) 97²； (2) 103²。 答案：(1) (100−3)² ＝ 9409；(2) (100+3)² ＝ 10609。 师生活动：限时完成；教师巡视，重点检查中间项 2ab 是否漏乘系数 2、符号是否正确。 限时独立完成，板演第 2 题；针对错例分析原因。 练习覆盖公式辨析、直接套用、简便计算三类题型，及时反馈中间项漏乘、符号错误等问题。 四、 课堂小结 布置作业 （约4分钟） 四、课堂小结，布置作业 教师引导学生回顾： 1. 完全平方公式是什么？它有什么结构特征？ 2. 运用公式时最容易出错的地方在哪里？ 3. (a+b)² 与 a²+b² 相等吗？为什么？ 梳理主线：多项式乘法 → 观察规律 → 公式推导（代数+几何）→ 结构特征 → 应用。 布置作业： 必做题：教材 P110 习题 16.3 第 2、3、4 题； 选做题：思考 (a+b+c)² 等于什么？下节课交流。 围绕三个问题梳理本节主线，记录作业。 回收“公式—特征—应用”知识结构；选做题为下节课公式拓展埋下伏笔。 板书设计 16.3.2 完全平方公式（第1课时） 一、公式： (a+b)² ＝ a² + 2ab + b² (a−b)² ＝ a² − 2ab + b² 二、口诀：首平方，尾平方，积的两倍在中央； 中间符号看前方，两项平方永为正 三、注意：(a+b)² ≠ a²+b²（别漏 2ab） 学生板演区 教学反思 1. 成功之处： 本节课从多项式乘法出发，让学生通过计算四个具体式子观察规律，再用代数推导和正方形面积图“双线”得出完全平方公式，学生对公式的来龙去脉理解较深。口诀“首平方，尾平方，积的两倍在中央”朗朗上口，学生记忆效果好；例2 简便计算 102²、99² 让学生体会到公式的实用价值，课堂参与度高。 2. 不足之处： (1) 部分学生把 (a+b)² 与 a²+b² 混淆，漏掉中间项 2ab； (2) 中间项 2ab 漏乘系数 2，如把 (4m+n)² 写成 16m²+4mn+n²； (3) 含负号时符号出错，如 (−x+2y)² 误写为 x²+4xy+4y²； (4) 首项平方时忘记把系数也平方，如 (3a)² 误写为 3a²。 3. 改进措施： (1) 在公式得出后立即用 (a+b)² 与 a²+b² 对比，用具体数字代入（如 a=1,b=1）让学生看到二者不等； (2) 板演时用红笔圈出“2ab”这一项，强调“积的两倍”中的 2 不能丢； (3) 含负号的题目先让学生口述“谁是 a、谁是 b”，再代入公式； (4) 强调“首项平方要连同系数一起平方”，配套 2~3 道专项板演。 学科网（北京）股份有限公司 $