17.2 用公式法分解因式 教学设计 2026—2027学年人教版八年级数学上册

姓名

学科段

初中数学

授课班级

职称

教龄

授课时间

课题

17.2 用公式法分解因式（人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册 第十七章“因式分解”第 2 课时）

教材分析

本节是第十七章的第 2 课时，承接 17.1 提公因式法。教材的编排分四步：第一步，由整式乘法与因式分解“方向相反”，把平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 左右互换，得到 a2−b2=(a+b)(a−b)，并用面积图（图 16.3-1 的逆向使用）说明；第二步，例 1、例 2 学习“两项都是平方、符号相反”的多项式分解，包括 4x2−9、a2−25b2、x2−y4、(x+p)2−(x+q)2（整体代换）；第三步，由完全平方公式反向得到 a2±2ab+b2=(a±b)2，给出完全平方式的定义，例 3、例 4 学习 x2+4x+4、16x2−24x+9、(a+b)2−12(a+b)+36、−x2+4xy−4y2（整体与提负号）；第四步，给出公式法的定义，例 5 强调“分解到不能再分解”（x4−y4 连续两次用平方差），例 6 强调“先提公因式、再用公式”（3ax2+6axy+3ay2、−ax2+2a2x−a3）。

从地位看，公式法是因式分解的第二种基本方法，与提公因式法构成“一提二套”的基本流程；平方差与完全平方两个公式正是第十六章两个乘法公式的逆向使用，使第十六章与第十七章形成完整的闭环。

从后续看，解一元二次方程（因式分解法）、分式的约分与通分、二次根式的化简、代数式的求值与证明，都要依赖公式法；而“分解彻底”的意识直接决定后续运算的成败。

从学段衔接看，学生已具备“逆向思维”的经验（17.1），本节要把“识别结构—选择公式—分解彻底”三步固化为程序。

核心素养目标

1. 运算能力：能根据多项式的结构选择平方差公式或完全平方公式进行分解，能处理“先提后套”的综合题。

2. 推理能力：能说明两个分解公式是由乘法公式“左右互换”得到的，能解释“分解到不能再分解”的含义。

3. 结构意识：能识别“两项平方差”与“完全平方式”的结构特征，会用“两项、同号、平方”“三项、两平方、中间 2 倍”两句话判断。

4. 整体思想：能把 (x+p)、(a+b)、−x2+4xy−4y2 中的某几项看成整体，通过添括号或提负号化成公式的形式。

5. 应用意识：能用因式分解进行简便计算、整除说明与代数求值。

教学重点

平方差公式、完全平方公式分解因式；公式法的基本流程“一提二套三查”。

教学难点

完全平方式的判断（中间项是否为两数积的 2 倍、符号是否匹配）；整体代换与提负号；分解的彻底性。

学情分析

（1）已有基础：学生刚学过提公因式法，理解因式分解与整式乘法互逆，对平方差、完全平方两个乘法公式的形式比较熟悉。

（2）可能困难：①看到 a2−b2 只会想到“乘法公式展开”，不会反向使用；②把 x2+y2、−x2−y2 误认为可用平方差；③完全平方式判断时只看“三项”，不检查中间项是否为 2ab；④(x+p)2−(x+q)2 中看不出整体；⑤−x2+4xy−4y2 不会先提负号；⑥x4−y4 只分解一次就停止；⑦综合题忘记先提公因式。

（3）教学对策：用“结构卡片”把两类式子的特征并排呈现；用“先看项数、再看符号、最后看中间项”的三步判断法；用“分解后乘回去检验”与“还能不能继续分”两问收尾；用错例集中训练“不是平方差”“分解不彻底”。

教学方法

教法：逆向思维训练法、结构识别法、变式教学法、辨析纠错法。

学法：观察—判断—分解—检验—反思。

手段：多媒体课件、结构卡片、彩色粉笔、当堂检测单、分层作业单。

课时安排

1 课时（45 分钟）：复习导入 4 分钟；平方差公式分解与例 1 8 分钟；例 2 与判断练习 6 分钟；完全平方式与例 3 8 分钟；例 4 整体与负号 6 分钟；公式法与例 5、例 6 8 分钟；当堂检测 3 分钟；小结与作业 2 分钟。

教学资源

人教版八年级上册教材、多媒体课件、结构卡片、彩色粉笔、当堂检测单、分层作业单。

教学流程设计

任务/环节

教学内容与问题设计

教师活动

学生活动

学习评价设计

环节一

复习导入

逆向使用

1. 把整式乘法与因式分解的关系用箭头表示：

(a+b)(a−b) ⇄ a2−b2。

2. 把平方差公式左右互换，得到 a2−b2=(a+b)(a−b)。

追问：什么样的多项式可以用这个公式分解？

先让学生写出平方差公式，再追问“反过来写是什么”；引导学生说出“两项、都是平方、符号相反”。

写出 (a+b)(a−b) = a2−b2，互换得 a2−b2 = (a+b)(a−b)；观察发现“两项、平方、差”。

能否说出逆向后的式子；能否概括结构特征。

设计意图：把“乘法公式”与“分解公式”放在同一张图上，突出互逆。

环节二

平方差分解

例 1 示范

平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)。

例 1　分解因式：（1）4x2−9；（2）a2−25b2。

解：（1）4x2−9=(2x)2−32=(2x+3)(2x−3)；

（2）a2−25b2=a2−(5b)2=(a+5b)(a−5b)。

面积说明：边长 a 的正方形挖去边长 b 的小正方形，剪拼成 (a+b)×(a−b) 的长方形，面积不变。

示范“先写成平方差的形式，再套公式”；强调 4x2 = (2x)2、25b2 = (5b)2，不能写成 4x2 = (4x)2。

按“写成 ( )2−( )2”的格式书写，再套公式。

是否先把两项写成平方；括号内符号是否正确。

设计意图：“写成平方差”是套公式前的必要一步，必须格式外显。

环节三

判断结构

辨析练习

下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？

（1）x2+y2；（2）x2−y2；（3）−x2+y2；（4）−x2−y2。

引导学生逐项检查“两项、平方、符号相反”三个条件；对（3）示范先交换位置：−x2+y2 = y2−x2。

判断：（1）不能（同号相加）；（2）能；（3）能，y2−x2；（4）不能（两项都是负）。

能否用三个条件说理；能否对（3）作位置交换。

设计意图：四个式子把“能”与“不能”的边界划清，防止盲目套公式。

环节四

例 2 示范

整体与高次

例 2　分解因式：

（1）x2−y4；（2）(x+p)2−(x+q)2。

解：（1）x2−y4=x2−(y2)2=(x+y2)(x−y2)；

（2）原式=[(x+p)+(x+q)][(x+p)−(x+q)]=(2x+p+q)(p−q)。

第（1）题强调“y4 也是平方”；第（2）题把 (x+p)、(x+q) 用彩色框框住，示范设 a = x+p、b = x+q 的整体代换。

说出“把 x+p 看成 a，把 x+q 看成 b”；独立完成 (m+n)2−(m−2n)2。

能否识别“整体是平方项”；括号内化简是否彻底。

设计意图：整体代换是公式法的重要策略，例 2 是第一次集中训练。